книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf282 Глава 4
1 |
М |
4 sinh2 — (tXj + аз) —^ (Pi + Рч)2 |
|
А лАо — |
(4.3.25) |
(Pi - Pi)2 ~ |
4 sinh2 у (*! - <x2) |
Знаки корней (4.3.24) можно выбрать четырьмя различными спо собами, но лишь два из них дают независимые решения (Р iP2 > 0 и PiP2 < 0)» Здесь мы ограничимся лишь случаем PjP2 > 0* Из (4.3,24) и (4.3.25) находим
А = 2 | / £ |
8in h £ , |
А = |
2] |
/ £ s i n h £ , |
] |
|
|
|||
|
Jlf |
|
2 |
|
|
|/ Jtf |
2 |
|
|
|
|
/ sinh -4- («1 + |
<*г)\ |
|
|
|
|
|
(4.3.26) |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
А\Аг = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ sinh |
(«! — “ г) / |
|
|
|
|
|
|
||
Рассмотрим поведение функции xpt |
в области, где <p j = осxl - р xt =0. |
|||||||||
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(р2 = |
(Х2£ — p2t = |
— 9l + |
|
|
|
|
|
(4.3.27) |
||
где |
|
|
«I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.28) |
|
|
*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поскольку рг/р 2 = sh(a1/2 )/sh (a a/2 ) > a^/ajj при ocj > |
a2 > 0. Таким |
|||||||||
образом, выражение (4.3.23) принимает вид |
|
|
|
|||||||
y>i |
1 + |
exp (<*jZ — pxt) |
при t ->■ —с», |
1 |
|
(4.3.29) |
||||
y>i cz А2 -f exp (ocxl — pxt) |
при t -> +oo. J |
|
||||||||
|
|
|||||||||
Аналогично в области, где <р2 = a2l - Р2* 550, имеем |
|
|||||||||
У/ ^ |
i4j + exp (a2l — p2t) |
при t -> — оо, | |
|
(4.3.30) |
||||||
У/ ^ |
1 -Ь -^2exp («2Я— р2*) |
при * |
+оо. j |
|
||||||
|
|
|||||||||
В соответствии с (4.3.17), (4.3.29) и (4.3.30) (ср. (4.3.18) и (4.3.20)) |
||||||||||
можем записать, что асимптотически |
|
|
|
|
||||||
|
4аЬ |
|
2 |
|
|
|
< = |
(1) |
при |
« - - « о , |
|
|
|
|
|
|
w |
|
(4.3.31) |
||
e-^i — 1 = |
рл aech2-i- («,г — |
|
Т й+) , |
г = |
|Л |
при |
I '-*■+ оо, |
|||
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
283 |
||
где |
и |
<5+ =1пЛ2. |
(4.3.32) |
д~ = In А г |
|||
Таким образом, при *-»-«> это решение описывает два солитона, расположенных так, что медленный солитон (2) находится впереди быстрого солитона (1), а при t -> + *> они расположены в обратном по рядке (рис. 4.13). Подразумевается при этом, что солитоны устой чивы по отношению к столкновениям15.
В случае р,р2 < 0 солитоны движутся в противоположных направ лениях. За более детальным рассмотрением этого случая и /V солитонной проблемы мы отсылаем читателя к работам Тоды [390, 3911 и цитированной там литературе.
Получим теперь периодические решения для решетки Тоды. При этом мы используем следующую теорему для эллиптических функций
Якоби: |
d |
sn и сп. и dn и sn2v |
|
|
|
||
8 П 2 (и + |
v) — sn2(и — v) = 2 dv |
1 — к2sn2и sn2v |
(4.3.33) |
где эллиптические функции Якоби sn, сп и dn определяются соотно шениями (об используемых ниже свойствах этих функций см., напри-
Рис. 4.13. |
Двухсолитонное решение для решетки Тоды при Р1Р2 > 0 (см. |
текст). а) |
при t - ° р ; б) t г* + °°;. 1 - быстрый солитон, 2 — медленный |
солитон. |
|
15 Интересно отметить, что численные методы, использованные для ис следования столкновений уединенных волн в одномерной цепочке с потен циалом Леннард-Джонса (см. (1.4.46)) привели к результатам, которые ана логичны полученным для решетки Тоды [ 398].
288 Глава 4
н ~ ? |
Ш + f [ т “ ,г + Т М'4] + Т £ |
{щ ~ Щ,)2 > (4.3.58) |
с л < 0; В, |
С > 0 (см ., например, [ 32, 72, 73, 340]). Здесь иг и pt - |
|
смещение и импульс атома, расположенного в /-м узле регулярной |
||
(простой кубической для d = 3) решетки, М - |
атомная масса и третье |
|
суммирование в (4.3.58) осуществляется лишь по ближайшим сосе дям. Этот гамильтониан соответствует набору связанных гармони ческих осцилляторов с идентичными одночастичными потенциалами, представляющими собой две потенциальные ямы (рис. 4.16). Он мо делирует кристалл с двумя подрешетками, где атомы одной подре шетки (предполагается, что она жестко зафиксирована) создают двухъямный потенциал для подвижных атомов другой подрешетки.
Как можно показать, модель (4.3.58) описывает систему, в ко торой (в случае d > 1) при ненулевой температуре Тс происходит фазовый переход в упорядоченное состояние с конечным средним смещением (< иг > ф 0). Здесь возможны два предельных случая - это переход порядок — беспорядок и переход типа смещения. Разни цу между этими предельными случаями легко понять с помощью изо браженной на рис. 4.16 модели. При низких температурах все подвиж ные атомы расположены на дне, скажем, левой потенциальной ямы. С ростом температуры возможна, однако, реализация двух различ ных ситуаций. В одном случае наиболее вероятное положение ато мов соответствует вершине потенциального барьера (переход типа смещения), а в другом случае оно отвечает дну потенциальной ямы, в результате чего ямы оказываются заполненными равновероятно (переход порядок - беспорядок).
Деформационные переходы можно классифицировать на основе от ношения f = EQ/ EC где Е0 = А2/4В и Ес ЛС\ А\/ В обозначают соот-
Рис. 4.16. Схематическое изображение модели (4.3.58) дл" d " 1* (Согласно
[73] .)
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
291 |
Если нас интересуют решения (4.3.61) с постоянным профилем, т.е. решения, зависящие лишь от одной переменной х - vt с постоян ной скоростью v, то (4.3.61) можно записать в виде
§ |
+ п - |
Vя = 0; |
|
(4.3.62) |
здесь мы использовали безразмерные переменные |
||||
ulu0 = rj, |
|
|
(4.3.63) |
|
(х — vt)/£ = в, |
|
|
||
где |
М(с02 — v2)l\A\ |
(квадрат длины). |
(4.3.04) |
|
f 2 = |
||||
Рассмотрим вначале решения уравнения (4.3.62), описывающие |
||||
колебания с малой амплитудой. При г|а << r\« |
1 (4.3.62) сводится |
|||
к уравнению |
|
|
|
|
1?" + V = |
0, |
|
(4.3.66) |
|
которое имеет решения вида |
|
|||
г) = |
осsin (s + 0), |
|
(4.3.66) |
|
где а - |
амплитуда и © - |
фаза. Используя (4.3.66) и (4.3.63), полу |
||
чаем |
<хщsin [(а? — vt) f-i + 0]. |
|
||
и = |
(4.3.67) |
|||
Это — фонон с волновым вектором k = g-1, частотой v/ § и фазовой скоростью v. Из (4.3.67) и (4.3.64) находим дисперсионное соотно шение
о.>2(к) = v2k2 = с02к2 + А/М. |
(4.3.68) |
Поскольку А < 0, частота со(А) действительна лишь при к > (| А\/ЪЛс*)Ъ Решение (4.3.67) описывает колебания с малой амплитудой около положения и = 0.
Колебания с малой амплитудой около ± и0 |
можно получить, под |
ставляя |
|
*7 = ± 1 + У |
(4.3.69) |
в (4.3.62) и сохраняя лишь линейные по у члены. В результате имеем уравнение
V" ~ 2У = 0» |
(4.3.70) |
с решениями вида |
|
у = <х sin (г}/28 -f 0). |
(4.3.71) |