книги / Принципы динамической теории решетки

Эллиптическая функция sn периодична с периодом 4К, где К - пол­ ный эллиптический интеграл (4.3.38) с параметром k.

что представляет собой решение типа доменной стенки (4.3.74). Форма решений с большой и малой амплитудами представлена на рис. 4.19.

Обратимся теперь к устойчивости решения типа кинка (уединен­ ной волны) (4.3.75). Заметим вначале, что уравнение движения (4.3.61)

где ш и ш ' — производные по т и у. Потенциал имеет минимум теперь при ш= ±1, а высота потенциального барьера равна 1/4 .

Условием устойчивости решения (4.3.75) является тот факт, что малое возмущение остается малым и через большие промежутки времени. Это возмущение можно рассмотреть, предположив следующий вид решения [ 21}:

устойчивость ш0(у) означает устойчивость любого другого решения (4.3.75).

В первом порядке по v, где v (у, t) = е,со*/(у), (4.3.87) сводится к урав­ нению Шредингера для собственных значений

(4.3.88)

которое имеет следующие решения:

,, v__ 6^(3 tanh2у — 1 — Ai2— 3ifc tanh i/)

“[2я(4 + 5к2 + к*)]Ч*

Поскольку (в первом порядке по a) tanh (у + а) = tanh у + a(cosh у)~2, то / т описывает небольшое смещение кинка хр0(у). Функция/т , следова­ тельно, соответствует "трансляционной м о д е " . То, что /т позво­

ляет описать движение кинка, оказывается очень важно при рассмот­ рении движения кинка в присутствии внешних возмущений [ 144] и кинк-фононного взаимодействия [ 106, 173, 382]. Это рассмотрение основывается на разложении решения по полному набору функций (4.4.89) — (4.4.91) и использовании теории возмущений для нахожде­ ния коэффициентов разложения. Функция / ь описывает локализован­ ную моду, соответствующую внутренним колебаниям кинка. Континуум решений fk (фононов) похож на линеаризованные решения (4.3.72), за исключением наличия локализованного возмущения вблизи кинка. Рассматривая асимптотическое поведение этих решений при у ±«> 9 находим, что благодаря безотражательному характеру потенциала в (4.3.88) присутствие кинка сказывается лишь в появлении фазового сдвига 6А =2агс tan [ЗА/(2 - А2)] при его прохождении. Дисперсион­ ные соотношения (4.3.91) и (4.3.73) идентичны.

Решения (4.3.89) - (4.3.91), таким образом, позволяют сделать вывод об устойчивости кинка, поскольку все собственные частоты w?(i = Tf L, А) неотрицательны. Отметим, что (4.3.87) коэффициент при го2 описывает кинк-фононное взаимодействие, а при ш3 - дает вклад в собственную энергию фонона. При наличии флуктуаций фоненной амплитуды (тепловых фононов) кинк-фононные столкновения при­ водят к стохастическому движению фононов [216, 382] (рис. 4.20).

Обратимся теперь к рассмотрению задачи о нескольких кинках. Отметим вначале, что в одномерной системе кинки, вообще говоря

Трансляционная мода нулевой частоты является так называемой голдстоуновской модой. В рассматриваемой системе она восстанавливает транс­ ляционную инвариантность, нарушенную из-за присутствия кинка.

296 Глава 4

Рис. 4.20. Результаты численных экспериментов по моделированию взаимо­ действия фононного волнового пакета с кинком. Волновой пакет приближа­ ется к кинку слева. Он смещает кинк, проходя через него. Время измеряется в единицах ( A f /M I )1 ^2 (см. (4 .3 .8 4 )). (Согласно [173] .)

не обладают свойством солитонов не аннигилировать при прохожде­ нии друг через друга. На рис. 4.21 приведены результаты численного моделирования методом молекулярной динамики процесса столкнове­ ния между антикинком (и изменяется от + и0 до - и 0) и кинком (и из­ меняется от -u Q до + ы0). Мы видим, что при некоторых значениях v наблюдаются обычные солитонные свойства (рис. 4.21, а), при других - кинк и антикинк разрушают друг друга (рис. 4.21, 6). Пос­ ледний процесс обратим: фононы могут создавать пары кинк - антикинк. Исследования с помощью метода молекулярной динамики [ 216] показывают, кроме того, что при низких температурах картина сме­ щений имеет вид, показанный на рис. 4.22. Такая картина соответст­

вует большому числу кластеров (доменов), разделенных кинками и антикинками (доменными стенками). Флуктуации (фононы) накладывают­ ся на кластеры. Плотность доменных стенок растет с температурой.

При высоких температурах тепловые флуктуации полностью разрушают доменные стенки.

. Следует отметить, что в одномерной системе в отсутствие дальнодействующих сил истинный дальний порядок при конечных темпера-

(Ш=0

+UQ1

О

-Uol-

(4)i~S0

Рис. 4.21. Результаты численного моделирования методами молекулярной динамики столкновений между кинками и антикинками: а — без аннигиля­ ции iv = ±0 ,5 с о ) ; б — с аннигиляцией l « s ±0,1 CQ ). (Согласно [21] .)

турах невозможен [ 229]. Следовательно, систему, испытывающую фазовый переход при Тс , нельзя рассматривать в рамках одномерной модели. В частности, одномерная система (4.3.59) обладает тем недос­ татком, что температура, при которой обращается в нуль плотность кинков, совпадает с Тс . Очевидно, что в системах большей размер­ ности ситуация будет иной. Таким образом, важным оказывается ис­ следование систем большей размерности (4.3.58).

Трехмерную однокомпонентную модель (4.3.58) изучали Шнейдер и Столл [ 340] методом молекулярной динамики. В этой модели при конеч­ ной Тс происходит плавный структурный переход (т.е. при Т -> Тс па­ раметр порядка < щ > непрерывно обращается в нуль). Наблюдаются

Рис. 4.22. Схематическое изображение картины смещений в одномерной сис­

теме (4.3.59) при низких температурах.

ся и система начинает вести себя как набор независимых осцилля­ торов с энгармонизмом четвертой степени. Ясно, что в трехмерных системах, особенно вблизи температуры Тс , решения типа клинков (доменных стенок) также играют важную роль. Отметим, что в лю­ бой модели среднего поля доменные эффекты утрачиваются [ 47].

На рис. 4.22 и 4.23 приведена лишь мгновенная фотография кар­ тины пространственных смещений. Эта картина меняется со време­ нем: доменные стенки движутся через систему; это движение вызы­ вается перескоком атомов из одной потенциальной ямы в другую: кластеры обладают лишь конечным временем жизни. Кроме того, атомы колеблются около средних положений мгновенных смещений. Таким образом, локальный параметр порядка отличен от нуля в масш­ табах времени, больших по сравнению с характерной обратной фонон­ ной частотой. Конечное время жизни кластера означает, что в рас­ сматриваемой системе в отличие от задачи Ферми - Пасты - Улама (см. разд. 4.4.1.) может наблюдаться эргодическое поведение.

Крумхансл и Шриффер [ 224], используя классический метод функ­ ционального интегрирования (см. в разд. 4.4.2 метод оператора пере­ носа), построили статическую механику одномерной модели (4.4.59).

Они нашли, что при низких температурах доменные стенки (кинки) вместе с колебаниями (фононами) можно рассматривать как элемен­ тарные возбуждения в системе. В последние годы для исследования кинков в различных одномерных моделях использовались методы квантовой и классической статистической механики. Эти исследова­ ния позволили твердо установить, что солитоны представляют новый класс элементарных возбуждений в одномерных системах (см. [46, 49, 106, 373, 374] и цитированные там работы). В какой степени данные соображения применимы к системам большей размерности, пока неяс­ но

В заключение этого раздела обратим внимание на необычное по­ ведение динамического структурного фактора (см. ПЗ) при Т -* Тс+ в перовските SrTiOs, который считается образцом систем, испыты­ вающих структурный фазовый переход типа смещения: в добавление

^При d > 1 энергия сояитонов (пропорциональная их макроскопически

большому размеру), по-видимому, слишком велика, чтобы их можно было рассматривать как элементарные возбуждения [241, 261]. Однако Вентура [ 403] отметил, что выше некоторой критической температуры солитоны мо­ гут возникать спонтанно благодаря выигрышу в энтропии, связанному с их появлением.

300 Глава 4

к двум пикам, соответствующим смягчению квазигармонических фо­ нонов, появляется Центральный пик при со= 0 (см. разд. 4.4.1).

Этот центральный пик оказывается исключительно узким, и его интен­ сивность аномально растет при приближении температуры к Тс . Фо­ нонные частоты продолжают смягчаться, но при Тс они имеют конеч­ ные значения (в качестве обзора см. [ 751).

Хотя природа центрального пика понята еще не до конца, можно по­ лагать, что его появление обусловлено в основном дефектами (см. [75, 170, 293] и цитированные там работы); нет также сомнений, что и кластерная динамика (движение доменных стенок) дает вклад в центральный пик [ 165, 224, 327, 3381. В соответствии с последним механизмом центральный пик связан с динамически индуцированными кластерами (ближним порядком), выступающими предвестниками брэгговских пиков ниже Тс . Предполагается, что этот ближний поря­ док стабилизирует частоту мягких фононов так, что она остается ко­ нечной и при Тс [ 5, 77, 78]. Аналитическая теория центрального пика пока отсутствует.

Отметим, что в системах с малой классической величиной пара­ метра порядка при нулевой температуре квантовые флуктуации (нуле­ вые колебания) могут подавлять структурный фазовый переход типа искажения [273, 337]. Кроме того заметим, что статистическая ме­ ханика динамических свойств нелинейных систем разработана значи­ тельно меньше, чем статистическая механика статических свойств таких простых систем. В рамках модели (4.3.58) динамические свой­ ства исследовали Шнейдер и Столл [ 342] методом молекулярной ди­ намики.

4.4. Решеточные неустойчивости, вызванные электронфононным взаимодействием, возбуждения типа волн

зарядовой плотности и несоизмеримые структуры

4.4.1. 'Теория среднего поля пайерлсовской неустойчиврсти в одномерном металле и возбуждения типа волн заря­ довой плотности

Как отмечалось в разд. 1 .6.З., микроскопическая фононная теория для одномерной металлической системы предсказывает появление гигант­ ской коновской аномалии (фононного смягчения) для мод с волновым вектором 2kF(fikF - фермиевский импульс). Эта аномалия вызвана логарифмической особенностью при 2kF в диэлектрической функции таких систем (см. (1.6.48) и рис. 1.16).