книги / Принципы динамической теории решетки

172 Глава 2

Более детальные сведения о ПУТ и ПКП читатель может найти в

обзорах [128],. где содержится также другая информация о методах вычислений в рамках ПУТ и ПКП (например, о диаграммной технике и методе условно усредненных функций Грина).

В заключение этого раздела мы суммируем наиболее важные свой­ ства ПКП и ПУТо Метод ПКП есть самосогласованное одноузельное приближение, причем наилучшее одноузельное приближение. Метод сим­ метричен относительно замены исходных и примесных атомов и дает правильную собственную энергию в обоих предельных случаях разбав­ ления: слабого с -* 0 и сильного (1 - с) -►0, Он воспроизводит точно фононный спектр в первом порядке по концентрации с или (1 — с). Далее, метод ПКП точен в пределе слабого и сильного рассеяния, он сохраняет трансляционную инвариантность исходного (виртуального)

кристалла и дает правильные аналитические свойства собственной энергии. Отметим, что последнее обстоятельство существенно для получения единственного решения самосогласованных уравнений и пра­ вильной передачи физического поведения спектра колебаний [123]* Недостаток ПКП заключается в том, что он не учитывает многократ­ ного рассеяния.

Метод ПУТ есть несамосогласованное одноузельное приближение.

Он легче в работе, чем ПКП, но его результаты имеют ограниченную ценность. Как и ПКП, он симметричен относительно исходных и при­

спектра, обусловленные одиночными примесями, уже в первом поряд­ ке по с или (1 - с).

2 .3 .5 . ^Кластерные приближения

В предыдущем разделе эффекты беспорядка масс и силовых постоян­ ных рассматривались в рамках одноузельного приближения. Однако некоторые эффекты неупорядоченных систем не могут быть воспро­ изведены в рамках такого подхода. В частности, структура острых пиков в плотности состояний формируется кластерами атомов, и ее описание требует выхода за рамки одноузельного приближения. Здесь мы остановимся на некоторых подходах такого типа.

Мы начнем с так называемого приближения молекулярного коге­

рентного потенциала (ПМКП), который иногда называют приближени­ ем ячеечного когерентного потенциала (ПЯКП). Для удобства мы сна­ чала переформулируем 11КП следующим образом. Рассмотрим систему с эффективной средой о на всех узлах, кроме начала координат, где

Здесь V совпадает c t -матрицей *7<0) из (2.3.66). Заменяя F7 в правой части выражения (2.3.92) на

где G(0) s Gaa(0, 0, со) и G.(0) = G. аа(0, 0, со). Уравнение (2.3.96) дает обычное условие эффективной среды (среднего поля): замена в данном узле настоящего значения случайной величины (массы) эффек­ тивной средой в среднем должна давать тот же результат.

В рамках ПМКП реальное неупорядоченное соединение вне некото­ рого кластера С заменяется эффективной средой с кластерной диаго­ нальной собственной энергией [161, 387]. Пусть и7 и о есть соответ­ ственно матрицы дефектов и эффективной среды, принадлежащей к С, и пусть V11 есть матрица, содержащая только одну ненулевую минор­ ную матрицу v* - а, которая связана с С. Подставляем эту матрицу Г7 в (2.3.91), и тогда функция Грина G ., определенная в (2.3.91), опи­

174 Глава 2

сывает систему, состоящую из кластеров, причем все они, за исклю­ чением кластера С, содержат эффективную среду <т. Из (2.3.92) - (2.3.94) получаем уравнение самосогласованна (ср. (2.3.96))

ной энергии, имеющая диагональную блочную форму с блоками а . От­ метим, что в случае беспорядка масс когерентный потенциал «г для кластера из п узлов есть матрицапхп. Уравнение (2.3.97) или экви­ валентное ему (2.3.98) содержит п2 уравнений для определения п2 эле­ ментов матрицы d .

Метод ПМКП вводит эффективную среду, содержащую искусствен­ ную сверхструктуру, которая зависит от размера кластера. Следова­ тельно, ПМКП - шаг назад в том смысле, что он не дает усредненную функцию Грина, имеющую трансляционную инвариантность исходного кристалла (или виртуального кристалла). Однако ПМКП обладает тем достоинством, что представляет собой полностью самосогласованное обобщение одноузельного ПМК на кластеры. Он всегда приводит к по­ ложительной плотности состояний и функции Грина, аналитической в верхней (нижней) плоскости комплексной частоты. Он может быть так­ же обобщен для учета недиагонального беспорядка.

На рис. 2.27 показана плотность состояний, вычисленная в рам­ ках ПМКП для бинарной цепочки с беспорядком масс, и там же пока­ заны для сравнения точные результаты. Видно, что ПМКП воспроизво­ дит большую часть структуры типа острых пиков в плотности состоя­ ний. На рис. 2.28 показана спектральная плотность для бинарной цепоч­ ки с беспорядком масс, вычисленная методом Монте-Карло в рамках

I

I

I

Рис. 2.27. Спектральная плотность квадрата частоты для двухкомпонентной цепочки с беспорядком масс и отношением масс 2:1 при равной концентра­

ПКП и ПМКП. Мы видим, что в отличие от ПКП метод ПМКП воспроиз­ водит тонкую структуру спектральной функции на высоких частотах. Отметим, что влияние беспорядка растет с частотой для беспорядка масс, так как он входит в уравнения в виде величины Л&2. Поэтому, согласно рис» 2.28, для более сильного беспорядка ПКП и ПМКП начи­ нают различаться довольно существенно. Искусственная сверхсгруктура, присущая ПМКП, не мешает хорошему согласию между резуль­ татами ПМКП и численными результатами. Заметим, что до сих пор вычисления ПМКП проведены только для сравнительно малых класте­ ров в линейных цепочках.

Аналитическая функция Грина получается также в рамках метода так называемого приближения гомоморфного кластерного когерент­ ного потенциала (ПГКП) [ 285, 286]. В отличие от ПМКП этот метод сохраняет трансляционную симметрию исходного кристалла. Метод ПГКП основан на предположении, что матрица возмущения (2.1.31)

Рис. 2.28. Спектральная функция А (к, со) для двухкомпонентной цепочки с беспорядком массы и отноше­ нием масс атомов 2 :1 ; концентрация компонент одинакова и ^определено условием 2 (1 — cos Ага) = 0,4/ где

а — постоянная решетки. Сплошная кривая — метод Монте-Карло; штриховая: а — П КП , б — П М КП для пяти узлов, в — П М КП для семи узлов; СО|_ есть максимальная частота цепочки из одних легких атомов. (Соглас­

но [179] .)

гдесгс есть матрица, содержащая только одну ненулевую минорную матрицу а, которая связана с узлами кластера С, но от С не зависит. Теперь мы выберем один из гомоморфных блоков в (2.3.100) в виде неупорядоченного блока в системе, имеющей эффективную среду а во всех остальных блоках. В полной аналогии с вычислениями ПМКП най­ дем для ПГКП следующее условие самосогласования:

Функция Грина G определена выражением (2.3.99) с собственной энер­ гией 2, даваемой в (2.3.103), < .. .> обозначает усреднение по всем кластерным конфигурациям. Как показано схематически на рис. 2.29, ПГКП сохраняет трансляционную инвариантность исходного кристалла, в то время как ПМКП создает искусственную сверхструктуру.

Кроме рассмотренного выше двухузельного приближения сущест­ вуют другие многочисленные попытки выйти за рамки одноузельного ПКП. Некоторые из них кажутся очень обнадеживающими, включая по­ пытки, основанные на формализме расширенного пространства. В этом методе беспорядок описывается в терминах фиктивных полей, а не кон­ фигурационно зависящих величин [116, 162, 203, 204] . Однако многим из этих попыток присущи такие ограничения, которые в существенной степени уменьшают их ценность для исследования неупорядоченных сплавов. Например, они не дают правильного аналитического поведения функций Грина, не воспроизводят правильно предел низких (высоких) концентраций, не могут учесть недиагональный беспорядок, не самосогласованы или не сохраняют трансляционную инвариантность исход­ ного кристалла (см. [128, 161] и цитируемую в них литературу).

Вообще говоря, методы ПКП в вычислительном отношении сложны из-за самосогласованного способа определения собственной энергии, меняющейся в пространстве. Однако в некоторых случаях оказывается достаточно вычислить свойства неупорядоченных сплавов, используя несамосогласованное кластерное приближение. Преимущество такого подхода состоит в том, что требуется намного меньше вычислитель­ ной работы, чем при самосогласовании. В качестве примера рассмот­ рим расчет плотности состояний в рамках метода внедренного класте­ ра [ 274]. Идея этого подхода заключается в том, что маленький клас­

тер атомов, внедренный в эффективную среду, должен давать основ­ ные особенности спектра колебаний, если эффективная среда подобра­ на подходящим образом. Метод использует эффективный исходный кристалл, функция Грина которого G определена выражением

где G0 = [ М° со2 — Ф°] ” 1 обозначает функцию Грина идеального ис­ ходного кристалла и а есть эффективная среда. Теперь мы заменим

которая отлична от нуля только внутри кластера. Здесь М и Ф обозна­ чают соответственно матрицы масс и силовых постоянных атомов в кластере. Вычисление плотности состояний для колебаний в кластере <G(co2, п)> требует решения уравнения (2.3.106) для атомов внутри кластера

шпур только по узлам кластера. Как видно из рис. 2.30, эффективная среда ПКП ст дает лучший результат, чем среда ПУТ. Со средой ПКП метод внедренного кластера воспроизводит все основные особенности спектра неупорядоченной бинарной цепочки, полученные численными методами. Отметим^ что этот метод особенно эффективен при концент­ рациях 0,05^ с 4 0,95 (где важны кластерные эффекты), и он сводит­ ся к теории одной примеси при с -> 0 и (1 - с) -> 0.

Читатель, интересующийся методом внедренного кластера, позво­ ляющего вычислить также и спектральную плотность, может найти ин­ формацию в статье [ 62] .(см. также рис. 2.19).

В заключение рассмотрим полезную ad hoc самосогласованную кластерную теорию Батлера [84]. Для упрощения ПМКП в этой теории

Рис. 2.30. Спектральная плотность квадрата частоты для двухкомпонентной цепочки с беспорядком масс при отношении масс 3:1 и концентрации легких

в качестве эффективной среды вместо единичной матрицы взята мат­ рица, диагональная по узлам. Батлер выбрал только один диагональный элемент условия (2.3.97) и взял его в качестве условия для эффектив­ ной среды. Соответственно согласование между кластером и его внеш­ ней средой оказывается необходимо только для одного-единственного узла кластера - центрального узла (самосогласованное приближение центрального узла, СПЦУ) или, что лучше, одного из эквивалентных граничных узлов (самосогласованное приближение граничного узла, СПГУ). Отметим, что граничные узлы чувствуют внешнюю среду лучше.

Для одномерных систем (d= 1) установлено, что СПГУ идентично ПМКП, а сильный беспорядок в рамках СПЦУ дает нефизические ре­ зультаты (вызванные неаналитичностью). Метод СПГУ распространен на системы с размерностью d = 3 [225, 277]. Результативно метод про-

ще, чем ПМКП, допускает учет недиагонального беспорядка, и в его рамках диагональная по узлам эффективная среда не нарушает транс­ ляционную инвариантность, которую метод ПМКП нарушает. Отметим, что при d * 3 обычно оказывается, что в ячейках (воспроизводящих решетку при периодическом продолжении) эквивалентны не все гранич­ ные узлы.

Отметим, что метод ПГКП используется сейчас для исследова­ ния случайного переноса носителей заряда в неупорядоченной среде [287] и локализации при недиагональном беспорядке ([140, 315], см. ниже).

Кластерные теории представляют сейчас очень активное поле деятельности.