книги / Принципы динамической теории решетки

Из (4.1.105) и ( 4.1.106) получаем условие для "окна" второго звука

Отметим, что при низких температурах среднее время затухания ве­ дет себя как (см., например, [ 33])

Здесь L - характерная длина образца, а индексы имеют тот же смысл, что и в тексте после уравнения (4.1.73), а - число порядка единиц. Выполнение условий (4.1.107) требует больших величин L, малых Аг

и достаточно малых чтобы нормальные процессы по-прежнему были эффективны при температуре Т, когда резистивными процес­ сами можно пренебречь. Из (4.1.109) видно, что при низких темпера­ турах процессы переброса экспоненциально редки (это следует из (1.3.76), (1.3.54) и (1.4.50)).

Это соответствует диффузионной теплопроводности, а не "волновому'1 распространению тепла (за более подробной информацией о диффузи­ онной теплопроводности мы отсылаем читателя к книге Бека [ 33] и цитируемой в ней литературе; см также П3.4).

С помощью экспериментов, в которых использовались тепловые импульсы, второй звук впервые был обнаружен в 4Не[3); впоследст­ вии он наблюдался также в обычных кристаллах, таких, как NaF

[ 190, 280] и Bi [278]. Недавно второй звук в NaF был исследован более прямыми методами - с помощью вынужденного теплового рас­ сеяния света [ 307].

По-видимому, второй звук - нормальное низкотемпературное явление, если кристалл достаточно совершенный. Он имеет место не только в газе акустических фононов, но и в газе оптических

фононов* Последняя ситуация, вероятно, реализуется в кристаллах перовскита, где мягкая оптическая мода приводит к структурному фазовому переходу. Когда частота мягкой моды становится малой, соответствующее смещение можно рассматривать как гидродинами­ ческую моду [ 339].

Теплопроводность в диэлектрических кристаллах можно описать в терминах двух "взаимодействующих жидкостей’^: упругой деформа­ ции (поля упругих смещений) и газа тепловых фононов (плотности фононов) (в качестве обзора см. работу Энца [ 133]). Благодаря это­ му взаимодействию газ фононов ослабляет звуковую волну, а де­ формация воздействует на фононный газ (путем изменения силовых постоянных, а значит, и колебательных частот). При низких темпе­ ратурах эта связь слаба. Следовательно, второй звук можно опреде­ лить как коллективные возбуждения лишь газа фононов. При струк­ турных фазовых переходах вблизи критической температуры необходи­ мо учитывать связь между параметром порядка (смещение, связан­ ное с мягкой модой) и газом фононов [ 372].

Отметим, что весьма эффективен для исследования теплопро­ водности в кристаллах метод функций Грина. Оказывается, что спек­ тральная плотность имеет добавочный низкочастотный резонанс (со­ ответственно функция Грина имеет дополнительный полюс), отве­ чающий второму звуку или тепловой диффузии (см. [ 33, 34] и цити­ руемую там литературу). Кроме того, для исследования второго звука использовался метод молекулярной динамики [ 339].

4.2. Сильноангармонические кристаллы в самосогласованном гармоническом приближении

Традиционная теория динамики решетки основана на предположении о малой амплитуде колебаний атомов около их равновесных положе­ ний. Отношение этой амплитуды к межатомному расстоянию исполь­ зуется в качестве малого параметра ряда теории возмущений. Расче­ ты для кристаллов инертных газов [ 416] показывают, однако, что для Не такое разложение в ряд теории возмущений невозможно ни при каких температурах, а для других кристаллов инертных газов оно медленно сходится вблизи точки плавления. Например, для Кг гармоническое приближение хорошо выполняется при Т = ОК, но при температуре выше одной трети температуры плавления, когда амплитуда колебаний достигает примерно 10% от межатомного

X

(Я = {Я (/)1, г = г(1)) - "эффективный потенциал", связанный с "ис­ ходным 11потенциалом Ф(г), а Ф (хгх2. ; хп) - "эффективные сило­ вые постоянные". При получении уравнения (4.2.10) использовались следующие соотношения:

(4.2.13)

Физический смысл эффективного потенциала(4.2.17) и эффективных си­ ловых постоянных (4.2.16) можно понимать следующим образом. В ангармони­ ческом твердом теле все атомы будут колебаться около средних положений с большой амплитудой так что атом может испытывать существенно ангармони­ ческие силы со стороны окружающих атомов. При расчете этих сил нельзя считать окружающие атомы жестко зафиксированными, по­ скольку силы зависят от характера движения окружающих атомов. Та­ ким образом, колебание какого-либо отдельного атома определяется потенциалом, образованным всеми другими атомами, движение кото­ рых вызывает хаотическую тепловую модуляцию потенциала отдель­ ного атома. Мы должны требовать, чтобы движения всех атомов бы­ ли эквивалентными и самосогласованными. Следовательно, в ан­ гармонических твердых телах движение атомов определяется эффек­ тивными потенциалами или эффективными силовыми постоянными, а не исходными потенциалами или исходными силовыми постоянными.

Если ряд в правой части уравнения (4.2.10) обрезать при п = 1, мы получим невзаимодействующие перенормированные гармони­ ческие фононы. Чтобы учесть процессы рассеяния перенормирован-

268 Глава 4

ных фононов, надо произвести обрезание при п > 1. Здесь мы огра­ ничимся обрезанием при п = 1. Согласно (4.2.10), получаем в этом приближении

Следовательно, в отличие от обычного гармонического прибли­ жения в перенормированном гармоническом приближении (4.2.14) си­ ловые постоянные определяются термодинамическим усреднением вторых производных потенциала, а не равновесным значением вто­ рых производных (которое определяется первым членом в правой части уравнения (4.2.15)).

В дальнейшем корреляционные функции в (4.2.15) аппроксимиру­ ются в соответствии с теоремой Вика (см. разд* 4.1.1) следующим образом

где мы учли также симметрию силовых постоянных по отношению к замене индексов.

Подставляя (4.2.16) в (4.2.15), получаем

Теперь ясным становится термин "самосогласованное гармоническое приближение" (СГП): функция Грина G определяется силовыми пос­ тоянными Ф из (4.2.17), которые в свою очередь зависят от гриновских функций через корреляционные функции < и(х)и (х')> (см. (2.1.22))* Практически самосогласование проводят, пытаясь угадать корреля­ ционные функции, входящие в выражение (4.2.17). Таким образом находят силовые постоянные, которые при подстановке в (4.2.14) поз­ воляют вычислить G, что в свою очередь дает возможность рассчи­ тать корреляционные функции, входящие в (2.1.22). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не достигается сходимость.

Чтобы сделать более понятным физический смысл уравнения (4.2.21), произведем фурье-преобразование парного потенциала:

Подставляя (4.2.23) в (4.2.21) и интегрируя по А, с помощью (4.2.24) получаем

Согласно этому уравнению, движение атомов в СГП определяет­ ся эффективным парным потенциалом взаимодействия ф, который получается из исходного потенциала ф путем усреднения с гауссов­ ским распределением для межатомных расстояний. Эффективный потенциал как функция межатомного расстояния является более гладким, чем исходный

потенциал: его глубина меньше, а минимум отвечает большему расстоянию, чем в исходном потенциале. Поскольку ширина гауссовского распределе­

270 Глава 4

ния определяется корреляционной матрицей смещений, различие между потенциалами <р и q>особенно велико при высоких температурах, а также в случае большой энергии нулевых колебаний.

Для иллюстрации самосогласованного потенциала (4.2.25) рас­ смотрим взаимодействие ближайших соседей в одномерной цепочке с потенциалом Морса, взятом в качестве исходного. В этом случае получаем

атомов. Разлагая в ряд экспоненту в (4.2.21) и используя выражение (3.2.56) для потенциала Морса, получаем из (4.2.26) следующий эффек­ тивный парный потенциал:

ющие потенциал Морса. На рис. 4.6 показан потенциал <j?(z)/D при

ух0 = 6 и различных значениях у. Этот рисунок хорошо иллюстрирует вышеописанную тенденцию.

Трудности при рассмотрении динамики решетки твердого Не за­ ключаются не только в сильной ангармоничности, но также в необ­ ходимости учитывать коротковолновые корреляции, вызванные жест­ костью межатомного потенциала. Как правило, любой реальный потен­ циал имеет довольно жесткую сердцевину. Например, потенциал Лен- нард-Джонса (1.4.46) имеет бесконечно жесткое ядро. Согласно (4.2.25), эффективный парный потенциал определяется интегрирова­ нием исходного парного потенциала, умноженного на гауссовскую функцию. Появление этой функции подразумевает описание колеба­ ний атомов с помощью волновых функций. Однако при рассмотрении твердых тел с потенциалом с жесткой сердцевиной такое описание не подходит, поскольку в этом случае волновые функции будут иметь такую форму, чтобы атомы в своем движении избегали этой сердце­

вины. Гауссовская функция не обрезает интегрирование в (4.2.25) дос­ таточно эффективно, и поэтому для потенциала с жестким ядром вклад от малых расстояний является определяющим. Другими словами, гауссовская функция допускает проникновение атомов в область жест­ кого ядра их соседей, что нефизично. Были предложены различные методы введения коротковолновых корреляций для решения этой зада­ чи (в качестве обзоров см. [ 164, 217]). Например в подходе Мейсс­