книги / Принципы динамической теории решетки
..pdf322 |
Глава 4 |
Рис. 4.29. Схематический вид зависимости фазовой переменной от простран ственной координаты х в несоизмеримой системе вблизи перехода соизмери мость — несоизмеримость. Кривые 7, 2, 3 отвечают росту константы f
(см. текст). (Согласно [80] .)
ского и Хомского [ 80])
УМ2с |
J йх |л. - |
Ш ^ |
QPS © j |
= |
|
|
X |
|
|
|
|
|
j J А х ^ А - Ч М ^ - |
4f cos ©j |
= |
|
|
|
A |
2л |
d<9 cos 0 |
|
|
|
/ |
(4.4.97) |
|||
|
X |
(A — 2f cos 0)1!2 |
|||
|
|
||||
где Л обозначает длину цепочки.
•С помощью полных эллиптических интегралов К и Е, определен ных в (4.3.38) и (4.3.39), можем записать период Ли потенциал V
в виде
|
2л |
|
|
|
|
|
* = f |
(А — 2£ cos в )1'2 = W 2 К ^ ’ |
|
(4.4.98) |
|||
M2V |
2лМр12 |
Г |
2 |
2 Е Ш |
(4.4.99) |
|
АС |
хК{х) + |
, |
и2 + |
«2 К (х)у |
||
|
||||||
где к = %./ (Л_ + 2f). При и |
1(Л ->2£) имеем Е(х) -> 1 и КЫ) -* In х |
|||||
х (4/-/1 - |
и2). Используя это асимптотическое поведение, находим, |
|||||
что потенциал (4.4.99) имеет минимум при А > 2£ (реализуется струк-
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
323 |
тура доменного типа), если |
|
£ < ?С = я Ш 2/16. |
(4.4.100) I |
В противном случае (J > £ с ) минимуму соответствует Л = 2£ (соиз меримая структура). Переход между этими двумя фазами, вызыва емый изменением VQ с температурой или б с давлением, является непрерывным и при этом Л ->».
Таким образом, когда периоды двух исходных структур почти
соизмеримы, возникающие смещения в цепочке делают ее точно со измеримой с синусоидальным потенциалом. Область параметров (раз ность постоянных решетки), в которой реализуется соизмеримая фаза, расширяется с уменьшением силовой постоянной у цепочки и ростом амплитуды VQ синусоидального потенциала. Если б превос ходит некоторое критическое значение, то основное состояние пред ставляет собой статическую последовательность солитонов (домен
ных стенок), так называемую солитонную решетку. Отметим, что в
отличие от доменных стенок, рассмотренных в разделе 4.3.3, солитонная решетка в нашем случае является основным состоянием сис темы, а не ее элементарными возбуждениями.
Обратимся теперь к изучению динамического поведения фазы,
т.е. фазовой моды, вблизи перехода соизмеримость - несоизмери
мость. Соответствующий гамильтониан системы можно получить,
1 /д® V
добавив в скобках уравнения (4.4.93) слагаемое
(с - скорость фазона в отсутствии эффектов соизмеримости). Клас сическое уравнение движения при этом
д20 |
1 |
ею |
у |
п |
(4.4.101) |
дх2 |
_ |
_ _ _ |
£ а ш < 9 = 0 . |
||
|
|
|
|
|
|
Будем искать решение данного уравнения в виде (см. (4.3.86)) |
|||||
0(х, t) - |
|
0 о(х) + |
ф ) |
е*"‘ , |
(4.4.102) |
где® 0(х) - |
решение статического уравнения (4.4.94), а функция |
||||
Ф(x)eiait предполагается малой по сравнению с® 0(х). Подставляя (4.4.102) в (4.4.101) и удерживая лишь линейные по Ф члены, получа
ем для Фуравнение типа уравнения Шредингера: |
|
||
— |
— ? 008 |
= а-у- |
(4.4.103) |
Ангармонические кристаллы и структурные фазовые переходы |
325 |
щее "трансляционной моде";; см., например, работу Фогеля и др.
[ 144], а также выражения (4.3.88) и (4.3.89). Отметим, что это сос тояние можно рассматривать, как голдстоуновскую моду, связанную с нарушением непрерывной трансляционной симметрии системы из-за наличия солитона (ср. примечание на с. 295).
Верхнюю ветвь дисперсионной кривой можно рассматривать как фазовые моды внутри соизмеримых доменов. При приближении вели
чины £ и £ с (£ > £с ) границы "зоны Бриллюэна" сдвигаются к началу координат. В пределе £ -+ £с (Л итг/А-> 0) остается лишь верхняя ветвь. Шель в спектре при переходе соизмеримость - несоизмери мость плавно обращается в нуль.
Отметим, что изложенная выше теория - это теория среднего поля, т.е. она не учитывает флуктуационные эффекты.
Рассмотренные в этом разделе явления характерны для целого ряда систем, таких; как квазидвумерные системы с ВЗП, системы типа 2H-TaSe2 [ 142, 265, 370], квазиодномерные галогениды TTF и соединение Hg3 _ 6AsF6 с линейными цепочками ртути [130, 383], системы с "co-фазой" типа сплавов Zr -Nb [183], сегнетоэлектрики типа KgSeC^ [25, 186], интернированный графит [94], квазиодно мерные суперионные проводники [314], инертные газы, адсорбиро ванные на графитовую подложку [134, 366].
Физика несоизмеримых систем продолжает оставаться весьма ак туальной областью исследований, где постоянно обнаруживаются новые явления, новые материалы и новые проблемы. В заключение этой главы мы кратко охарактеризуем некоторые теоретические вопросы, привлекавшие к себе внимание в последние годы.
Исследования перехода соизмеримость —несоизмеримость в дискретных решетках [23, 79] показали, что рассмотренное выше континуальное приближение хорошо описывает явление для случая слабого синусоидального потенциала (решетки или "подложки"). Дис кретность решетки вызывает пиннинг несоизмеримой фазы (пиннинг солитонов) лишь в непосредственной близости к точке перехода несоизмеримой фазы в соизмеримую. Однако если амплитуда синусо идального потенциала превосходит некоторую критическую величину
JQc, то солитоны пиннингуются из-за дискретности решетки и подвиж ная несоизмеримая фаза существовать не может. Зависимость перио да "адсорбата" при U0 / 0 от значения этого периода при VQ= 0, т. е. от а в (4.4.84), имеет вид ступенчатой кривой (так называемая дьявольская лестни ца"), поскольку каждая соизмеримая фаза существует лишь в конечном интер*
326 |
Глава 4 |
вале значений периода а. В противоположность ситуации с F0 « F0C в случае |
|
Fe > F0C |
"дьявольская лестница" является неполной, так как между любыми |
двумя соизмеримыми фазами имеется несоизмеримая фаза, что и приводит к размыванию ступенек на описанной выше кривой.
В общем случае, когда ни адсорбат, ни подложку нельзя считать несжимаемыми, характер перехода соизмеримость — несоизмери мость оказывается очень сложным [ 100, 137]. Этот случай напомина ет ситуацию с "дьявольской лестницей".
Вблизи перехода соизмеримость - несоизмеримость важную роль играют также квантовые и тепловые флуктуации [279, 309, 328].
В одномерном случае тепловые флуктуации разрушают соизмеримую фазу при конечных температурах, т.е. система всегда находится в несоизмеримой фазе. В двумерном случае соизмеримая фаза сушестсует, если разность 6 двух исходных периодов в системе меньше не которой критической величины, которая линейно убывает с ростом температуры. Это подразумевает, что усиливающиеся флуктуации уменьшают степень соизмеримости. Тепловые флуктуации могут вы звать контакт между соседними доменными стенками, что ограничи вает возможные конфигурации доменных стенок. Они могут также ос лабить действие потенциала подложки и в результате существенно изменить модуляцию адсорбата в несоизмеримой фазе [93].
Интересно отметить, что все электронные состояния в несоиз меримой системе оказываются локализованными, если амплитуда синусоидального потенциала VQ превосходит некоторую критическую величину, при меньших же значениях VQ имеются как локализован ные, так и делокализованные состояния [24, 359, 362] (в отличие от ситуации в одномерных неупорядоченных системах, где локализова ны все состояния).
Динамику решетки для одномерных несоизмеримых систем изу чали Ланге и Янссен [ 230]. Йоос [ 199] численными методами иссле довал свойства солитонов в дискретной модели Френкеля - Конторовой. В качестве обзора по переходу соизмеримость - несоизмери мость можно рекомендовать работу Виллэна [ 4071.
Приложение 1
Симметрия кристаллов и динамическая матрица
В эт.ом приложении мы используем теоретико-групповые методы для исследования симметрии и вырождения частот со.(*) нормальных ко лебаний. Эти методы позволяют разбить динамическую матрицу на диа гональные блоки , после чего существенно облегчаются вычисления любых нормальных колебаний. Предполагается, что читатель знаком с основами теории групп, которые изложены во многих книгах, напри мер в книге Вигнера [420],
П1.1. Симметрия кристаллов и группы
Рассмотрим бесконечный кристалл или кристалл с периодическими граничными условиями (1.3.32). Преобразования симметрии (см. (1.2.19)) |S |*(5 )}, обладающие свойством
{S I t(S)} х(Ы) = Sx[he) + Ц8) тx(LK), |
(П1.1) |
где »(1х) есть координата атома * в элементарной ячейке |
I и |
t(S) = v(S) + х(т), совмещают кристалл сам с собой. Здесь |
5 - ор |
тогональная матрица, представляющая чистое вращение (det |5|= 1)
или вращение с инверсией (det |5| ==—1); |
i/(5) обозначает частичную |
|
трансляцию, связанную с 5; х(т) обозначает трансляцию на вектор |
||
решетки. Эти преобразования образуют группу, "пространственную |
||
группу" |
Gs . Групповые свойства следуют из правила умножения для |
|
двух элементов |
|
|
{ S i I Ч |
{S21Ч = {ЭД i S A + Ч |
( П 1 .2 ) |
и соотношения, определяющего обратный элемент, |
||
|
= |
(П1.3) |
Операции |
{ Е\х(т)\ (Е — единичная операция) образуют группу транс |
|
ляций G^, которая является подгруппой |
G Рассматривая сопряжон- |
|
Симметрия кристаллов и динамическая матрица |
329 |
Фактически, используя (П1.2), (Ш .6), мы находим два любых элемен
та ГК, |г,- \,\ Rj\tj I в |
|
|
||
l«i IП) Щ I rt) = |
{Я,Я, |R(fj + r,) = {Яр |rp), |
(П1.7) |
||
где |
|
|
|
|
Л(1с, — ft, -| fig, |
— ft, + Kf, |
(П1.8) |
||
« А |
= |
|
|
|
+ Щ) = fc, + щ + я,н, = ft, +K P, |
||||
т.е. I Др( rp \ есть элемент в G* |
. Таким образом, Gs |
может быть |
||
разбита, например, на левые классы смежности G. |
|
|||
|
|
|
1 |
|
°s = |
Okl + {Ра I р2) Gkl + ... + |
{РвI p i Gkl, |
(П1.9) |
|
где { Рй|р. | обозначают те операции в Gs , вращательные элемен ты которых переводят кх в вектор, существенно отличающийся от
кх (т.е. (Ш.б) не выполняется для этих операций).
Операции
\ P i \ P i ) , |
t = |
({ P J JM ^ { Е \ 0 } ) > |
|
определяются условием |
|
|
|
P f a ^ k t , |
|
|
(ШЛО) |
Множество векторов к г, |
к2 , |
ks , генерируемых условием (ШЛО), |
|
называют звездой вектора кх. |
|
||
Вращательные элементы G, |
образуют точечную группу GF , |
||
|
|
*1 |
*1 |
которая является подгруппой Gp . |
|
||
П1.2. Симметрия динамической матрицы и мультипликативное представление
При рассмотрении трансформационных свойств динамической матри цы мы будем следовать работе [258].. Отправной точкой будет следу ющее выражение для динамической матрицы (см. 1.3.38):
П аа, ( К К ' | S k ) = ( М К М К >)-'12 Ф а А Ь К , L*К ' ) Л ). (П 1 .11)
С помощью (П1.1) и используя (П1.11) мы свяжем узлы (LK), (L'K')
с узлами (/*), (Г * ') и учтем для Мк - |
М |
условие (1 .2.22) и соот |
|||
ношения |
|
|
|
|
(П1.12) |
( S k ) x ( L ) |
= k ( S |
- lx ( L ) ) t |
|
|
|
S - ' x i L ) = |
х{1) - |
{S | v ( S ) + x ( m ) ) ~ i x ( K ) |
- |
x (x ) |
(П1.13) |