книги / Принципы динамической теории решетки

где Г - 1 - величина, обратная тензору Т (П2.28). Полное микроско­ пическое поле равно E micr = Е еч + E int,n сила Лоренца, действующая на ион (I к), которая вызывается этим полем^ имеет вид

F(lx, to) = f drgK(r - R(lxj) [JS»*«(r, to) - E ,.(r - «(&))]. (1.6.13)

Здесь мы не учитываем вклад магнитного поля, так как этот вклад является величиной второго порядка по смещениям, а мы интересуем­ ся лишь величинами первого порядка. Величина Ej к не вносит вклада в первый порядок, так как она нулевого порядка по смещениям, а мы интересуемся лишь величинами первого порядка. Это можно увидеть, заменяя г -»г + R(l *) в (1.6.13). Учитывая условие равновесия

(1 .6.5), получаем в первом порядке выражение для силы

После подстановки (1.6.4), (1.6.7), (1 .6.12 ) и (1.6.11) в (1.6.14) и ис­ пользования (1.2.17) уравнение движения (1.6.9) принимает вид

Здесь q = к + К, q' = к + К '. Эти обозначения будут использоваться и в дальнейшем.

Исследуем аналитическое поведение матрицы С вблизи к = 0. Наличие дальнодействующих кулоновских сил в диэлектриках приводит к неаналитическому вкладу в Саа .(**'| Асо) при к = 0. Чтобы выде­ лить этот вклад, обратим Т(к + К, к + Я ', со), представляющую собой квадратную (~ х »)-матрицу по индексам К и К ', с помощью следую­ щих выражений для обращения квадратных матриц:

Здесь Р и S — квадратные матрицы. Легко проверить, что

X= -W Q S - 1,

Y= -S -'R W ,

W = ( P - QS-4t) \

Z = S - 1 + IW -1X

Отождествим P с элементом T cK = К' =0, a W - c аналогичным элементом T ” 1. МатрицаS будет тогда матрицей Т без строки и столб­ ца с К = 0, которую будем обозначать через Т. Переписывая с по­ мощью (П2.28), (1.5.40) и (П2. 54)

где * - тензор ДП, видим, что для К, К' 4 0 наибольшим является второй член в правой части (1.6Л9). Таким образом, Т - почти чис­ то поперечная матрица и может быть приближенно обращена (см.

(1.5.53)):

переходом от е к € (вычеркиванием строки и столбца с К = 0) и обра­ щением полученной матрицы.

После обращения Т -1 в (1.6.16) описанным выше способом мат­ рица С представляет собой сумму двух частей С<1> и С<2>, которые, вообще говоря, имеют различное аналитическое поведение. Они дают­ ся выражениями

где Т - тензор, a U(K) - вектор, хорошо определенные при к -»0. Используя (1.6.27) - (1.6,29) и (1.6.34), получаем при к -* О

(1.6.35)

где

(1.0.36) - тензор эффективного заряда. Из (1.6.35) мы видим, что С<2> в от­ личие от С*1* (1 .6.22) не является непрерывной функцией при к = 0. Эта неаналитичность вытекает из дальнодействующего характера кулоновского взаимодействия между ионами.

Прежде чем приступить к обсуждению колебаний решетки в не­ металлах, рассмотрим аналитическое поведение величины С в метал­ лах при малых импульсах. Исследуя (1.6.30) и учитывая, что в ме­ таллах вносят вклад не только межзонные, но и внутризонные пере­ ходы, мы видим, что при к -> 0

ф, к) -ь-А/к2,

ф+ К ,к)->В (К )1к,

пользуя (1.6.37) и (1.6.38), мы видим, что С(1), так же как и С(2 ), аналитичны при к -* 0. Таким образом, для металлов разделение С на С*1) и С(2>, согласно (1.6.22) и (1.6.23), не имеет особого смысла, и с уче­ том (1.6.16) и (1.6.26) получаем в адиабатическом приближении

где для металлов € -1 не содержит неаналитических членов при

вание ненулевых недиагональных элементов матрицы ДП, является необходимым и достаточным условием для выполнения (1 .6.47).

Чтобы продемонстрировать важную роль недиагональных элемен­ тов матрицы ДП (т.е. эффектов локального поля) для фононов в неме­ таллических веществах, мы изобразим на рис. 1.14 и 1.15 фононные спектры кремния, вычисленные без учета и с учетом недиагональных

Рис. 1.14. Кривые дисперсии фононов для кремния. Сплошные линии предс­ тавляют теоретические результаты, полученные при пренебрежении недиаго­ нальными элементами матрицы диэлектрической проницаемости. Заметим, что это пренебрежение приводит к мнимым значениям ТА-ветвей. (Согласно

[40] ; экспериментальные точки из ['121] .)

Рис. 1.15. Кривые дисперсии фононов для кремния. Сплошные линии предс­ тавляют теоретические результаты, полученные с учетом недиагональных эле­ ментов матрицы диэлектрической проницаемости. Точками показаны экспе­ риментальные результаты. (Согласно [397] ; экспериментальные точки из

[121] .)

элементов с помощью метода упрощенного псевдопотенциала. Мы ви­ дим, что основной недостаток результатов без учета эффектов локаль­ ного поля - появление мнимой частоты поперечной акустической мо­ ды, что приводит к неустойчивости кристалла относительно сдвига. Это. можно понять на языке отсутствия заряда на связи и, таким об­ разом, отсутствия нецентральных сил, возникающих из-за недиагональ­ ного экранирования. Более того, если взять матрицу ДП диагональ­ ной, то из-за неполного экранирования ионного заряда продольно аку­ стические моды стремятся к конечному пределу при k -> 0, т.е. не выполняется акустическое правило сумм. Однако учет недиагональ­ ных элементов матрицы ДП дает действительную частоту поперечных акустических ветвей, что достаточно хорошо согласуется с экспери ментом.

Микроскопическое выражение для динамической матрицы метал­ лов дается выражением (1.6.46) с величиной С из (1.6.39). В метал­ лах обычно полагается, что всевдопотенциал достаточно слабо иска­ жает волновые функции электронов по сравнению с о свободным элек­ тронным газом. В этом случае для величины е можно взять выраже­ ние для свободных электронов, т.е. функцию Линхарда, которая лег­ ко получается в приближении самосогласованного поля (П2.77):

2me2lcF

€(к + К, к + К') = дкк* j l + П2л |к + К \2

(1.6.48)

где х = |к +К\/ 2Ар, fikF - импульс Ферми свободного электронно­ го газа. Сингулярность при х = 1 в е (1.6.48) может привести к ин­ тересной особенности в фононном спектре металлов, которая состо­ ит в уменьшении частоты колебаний (мягкая мода) с волновым век­ тором, равным 2kT (особенность Кона). В то время как в трехмер­ ных системах эти аномалии довольно слабы, в одномерных системах предсказывают сильный эффект, что наблюдалось в некоторых квазиодномерных системах (рис. 1.16).

Микроскопическое выражение для динамической матрицы неме­ таллических систем имеет вид

1

о

Рис. 1.16. Влияние коновских особенностей на продольную акустическую

фононную ветвь в направлении цепочки в квазидиомерной системе

K2 Pt(CN4 )Br0 з • ЗН2 О *. Сплошная кривая изображает теоретические резуль­

таты, полученные в предположении, что электроны — одномерный свободный газ. Точки представляют экспериментальные результаты, с — постоянная ре­

шетки в направлении цепочки. (Согласно [157] ; экспериментальные точки из [321] .)

где C(V дается (1.6.22) при со= 0, а С<2> с учетом поляритонных эффектов (см. (1.6.23)) представляется в форме

или, в пренебрежении поляритонными эффектами, в форме (1.6.27). Сравнение (1.6.49), (1.6.50) и (1.6.49) показывает-, что эти выраже­ ния являются микроскопическим аналогом феноменологической

формулы (1.5.49). Чтобы увидеть это, следует отметить, что тензор Т, появляющийся в (1.6.50), имеет смысл макроскопического тензо­ ра Т, который, согласно определению, связывает полное поле крис­ талла с плотностью внешнего тока уравнением, аналогичным (П2.27). Это следует из (1 .6.12) (с q = q' = к) и (1.6.25). С помощью уравнения (аналогичного (1.6.19)) для макроскопического тензора Т можно до­ казать эквивалентность тензоров Т в (1.6.50) и (1.5.46).

Отметим, что из соотношений (1.6.49), (d.6.50) и (1.5.49) следует что е*(к) в (1.6.41) представляет собой эффективный борновский за­ рядили поперечный эффективный заряд (см. разд. 1.5).

6-й97