книги / Прикладная механика композитов
..pdfМеханика пластин из несимметричных слоистых композитов |
171 |
|
стины с укладкой |
(0/90/0/90) г не такая сильная, как у пла |
|
стины с укладкой |
(02/902) г- Во-вторых, и это непосредственно |
связано со степенью асимметрии, такая пластина обладает седлообразной равновесной конфигурацией при линейных размерах вплоть до 87 мм, тогда как критическое значение
длины стороны |
пластины с |
|
|
|
|
|
||||||||
укладкой |
(02/902) 7 |
равно |
|
|
|
|
|
|||||||
37 мм. Уровень |
асимметрии |
|
|
|
|
|
||||||||
свойств |
материала |
|
слоистой |
|
|
|
|
|
||||||
пластины |
проявляется |
в |
ве |
|
|
|
|
|
||||||
личинах |
компонент матрицы |
|
|
|
|
|
||||||||
жесткости |
Bij |
и |
эффектив |
|
|
|
|
|
||||||
ных |
моментов |
от |
теплового |
|
|
|
|
|
||||||
воздействия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На рис. 14 и 15 показаны |
|
|
|
|
|
|||||||||
зависимости |
кривизны |
от |
|
|
|
|
|
|||||||
длины |
стороны для |
слои |
|
|
|
|
|
|||||||
стых |
пластин |
с укладками |
|
|
|
|
|
|||||||
соответственно |
(0/0/0/90)г и |
|
|
|
|
|
||||||||
(0/0/90/0) г. |
Эти |
зависимо |
|
|
|
|
|
|||||||
сти не похожи ни на одну из |
|
|
|
|
|
|||||||||
рассмотренных |
ранее, |
при |
|
|
|
|
|
|||||||
чем главное отличие состоит |
|
|
|
|
|
|||||||||
в отсутствии |
общей |
точки |
|
|
|
|
|
|||||||
для |
всех |
ветвей |
|
решения. |
|
|
|
|
|
|||||
В то время как решение, |
|
|
|
|
|
|||||||||
разветвляющееся |
из |
общей |
|
|
|
|
|
|||||||
точки, называется |
|
бифурка |
|
|
|
|
|
|||||||
ционным, |
решение, |
соответ |
Рис. 13. |
Зависимость |
кривизны |
от |
||||||||
ствующее |
разрывной |
зави |
длины стороны L для квадратных |
|||||||||||
симости |
кривизны от длины |
слоистых |
пластин |
с |
укладкой |
|||||||||
стороны |
|
пластины, |
называ |
(0/90/0/90)? из композита |
типа |
В |
||||||||
ется |
решением |
по |
предель |
при |
комнатной температуре. |
|
||||||||
ным точкам. Для |
несиммет |
|
|
|
|
|
ричных слоистых пластин бифуркационное решение обычно связано со сбалансированностью пакета слоев, т. е. с выпол
нением некоторых математических условий: Л22 = Ап, В22 = = — Ви, D22 — Dn, = N\ и М2 = — М\. Несбалансирован
ность укладки пакета слоев приводит к нарушению этих усло вий, т. е. отражается на компонентах матриц А, В, D и эф фективных нагрузках от теплового воздействия. Если одно или более из этих равенств не выполняется, то бифуркацион ного решения нет.
Согласно рис. 14, слоистой пластине с укладкой (0/0/0/90) г при «нулевой» длине стороны (т. е. в постановке, которая
172 М. Хайер
игнорирует наличие геометрических нелинейностей) при ком натной температуре предсказывается седлообразная конфи гурация, причем такого вырожденного вида, когда кривизна в направлении оси х\ намного меньше, чем кривизна в на
правлении оси х2. С |
увеличением длины стороны пластины |
||||||||||||
|
|
|
|
меньшая |
из |
кривизн |
начи |
||||||
|
|
|
|
нает |
быстро |
уменьшаться. |
|||||||
|
|
|
|
При |
линейном |
|
размере |
в |
|||||
|
|
|
|
100 мм кривизна в направ |
|||||||||
|
|
|
|
лении оси х\ уменьшается до |
|||||||||
|
|
|
|
нуля |
и пластина |
становится |
|||||||
|
|
|
|
цилиндрической, |
искривлен |
||||||||
|
|
|
|
ной |
только |
в |
направлении |
||||||
|
|
|
|
оси х2. Когда линейный раз |
|||||||||
|
|
|
|
мер |
пластины |
увеличивает |
|||||||
|
|
|
|
ся примерно до 200 мм, по |
|||||||||
|
|
|
|
являются |
кратные |
равно |
|||||||
|
|
|
|
весные |
конфигурации. Одна |
||||||||
|
|
|
|
ветвь решения — это про |
|||||||||
|
|
|
|
должение |
цилиндрической |
||||||||
|
|
|
|
ветви |
АЕ. |
Ветви |
решения |
||||||
|
|
|
|
ВС и BD соответствуют дру |
|||||||||
|
|
|
|
гим |
равновесным |
конфигу |
|||||||
|
|
|
|
рациям |
(отметим, что значе |
||||||||
|
|
|
|
ния |
кривизны |
|
в |
направле |
|||||
|
|
|
|
нии оси х2, соответствующие |
|||||||||
|
|
|
|
этим ветвям решения, перед |
|||||||||
|
|
|
|
нанесением на график умно |
|||||||||
|
|
|
|
жались |
|
на |
50). |
|
Например, |
||||
Рис. 14. |
Зависимость |
кривизны от |
при |
линейном |
размере |
406 |
|||||||
длины стороны L для квадратных |
мм ветвь ВС |
соответствует |
|||||||||||
слоистых |
пластин |
с |
укладкой |
цилиндрической |
конфигура |
||||||||
(0/0/0/90)7 из композита типа В при |
ции |
с |
нулевой |
кривизной в |
|||||||||
комнатной температуре. |
|||||||||||||
|
|
|
|
направлении |
оси |
х2. |
Кри |
визна в направлении оси х\ почти равна значению, предска зываемому линейным решением. Ветвь BD соответствует седлообразной конфигурации, для которой кривизны в обоих направлениях малы, но разного знака. Кривизну в направле нии оси х2 для этого частного случая, однако, было бы не возможно определить. Какая из трех равновесных конфигу раций действительно будет наблюдаться, определяется изу чением вопроса об их устойчивости.
Из анализа устойчивости вытекают интересные резуль таты. Ветви АЕ и ВС соответствуют устойчивым конфигу рациям, а ветвь BD — неустойчивым. В отличие от других рассмотренных слоистых пластин для обсуждаемой пластины
Механика пластин из несимметричных слоистых композитов |
173 |
О |
2 0 0 |
4 0 0 |
6 0 0 |
800 |
Рис. 15 Зависимость кривизны от длины стороны L для квадратных слоистых пластин с укладкой (0/0/90/0) г из композита типа В при ком натной температуре.
предсказывается существование единственной и устойчивой конфигурации (в диапазоне линейных размеров 100 мм ^ ^ L 200 мм). Например, пластина размерами 100X 100 мм принимает цилиндрическую форму и ее нельзя заставить пе рейти к другой цилиндрической форме. Слоистые пластины больших размеров, скажем 600X600 мм, можно заставить принять любую из двух цилиндрических конфигураций. Одна из них имела бы характеристики кривизны, как и пластина размерами 100 X Ю0 мм, т. е- ей соответствовала бы ветвь АЕ. Другая представлена ветвью ВС. Седлообразная конфи гурация для пластины 600X 600 мм никогда бы не наблю далась.
174 |
Af. Хайер |
Зависимость кривизны от длины сторон для слоистой пла |
|
стины из композита типа |
В с укладкой (0/0/90/0) г (рис. 15) |
очень похожа на аналогичную зависимость для пластины с укладкой (0/0/0/90) г. Вместо бифуркационного решения предсказывается решение по предельным точкам. По сравне нию с пластиной с укладкой (0/0/0/90)г для рассматривае мой пластины кривизны меньше, а многозначные решения по являются у пластин больших размеров. Это опять можно объяснить менее выраженной асимметрией свойств пластины с укладкой (0/0/90/0) г по сравнению с укладкой (0/0/0/90) т. Это ясно, если взять в качестве исходной пластину с уклад кой (0/0/0/0)г, не обладающей асимметрией свойств. Если наиболее удаленный от геометрической срединной плоскости пластины слой имеет ориентацию 90° (относительно продоль ной оси пластины), асимметрия свойств материала и нагру зок от теплового воздействия проявляется в большей степени, чем если ориентацию 90° имеет ближайший к срединной пло скости слой.
Необходимо указать, что в области малых длин пла стины, соответствующей быстро уменьшающейся до нуля кри визне в направлении оси х\, имеет место незначительное воз мущение зависимости кривизны в направлении оси х2 от L (ветвь АЕ). Ненулевая кривизна (величина Ь) очень незначи тельно уменьшается по модулю с увеличением длины стороны пластины, а затем снова возрастает. В реальной слоистой пластине такое поведение, вероятно, наблюдаться не будет.
7.Заключение
Внастоящей работе обсуждалось интересное явление в механике композитных материалов. Это явление до сих пор широко не рассматривалось, хотя полученные результаты объясняют часто наблюдаемое поведение слоистых композит ных пластин. Несмотря на то что были рассмотрены слои стые пластины простой структуры, можно ожидать, что ана лиз пластин с более сложными схемами укладки слоев при ведет к получению в основном таких же результатов.
Благодарности
Работа, рассмотренная в настоящей статье, выполнена в рамках совместной программы по композитным материалам НАСА и Виргинского политехнического института, по об щим соглашениям NCCL-15 и NAG-1-343, согласно субсидии 81-0195 и контракту F49620-79-C-0038 Управления научными исследованиями ВВС США.
Механика пластин из несимметричных слоистых композитов |
175 |
ЛИТЕРАТУРА
1.Agarwal В. D., Broutman L. J. Analysis and Performance of Fiber Com posites.— New York: John Wiley and Sons, 1980, p. 145—156.
2.Crossman F. W., Mauri R. E., Warren W. J. Moislure-altered viscoelas tic response of graphite-epoxy composites. — In: Advanced Composite
Materials-Environmental Effects (STP-658), ed. J. R. Vinson, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, PA, 1978.
3.Hamamoto A., Hyer M. W. Temperature-Curvature Relationship for unsymmetric Graphite-Epoxy Laminates. — Center for Composite Materials University, Blacksburg, VA, 1985.
4.Herakovich С. T., Davis J. G., Jr., Millis J. S. Thermal microcracking in
|
celion 6000/PMR-15 graphite-polyimide. — In: |
Thermal Stresses in Se |
||||
|
vere Environment, eds. D. P. H. Hasselman |
and |
R. A. Heller. — New |
|||
5. |
York: Plenum Publishing Press, 1980, p. 649—665. |
173. |
||||
Hyer M. W. — J. Composite Materials, |
1981, |
15, p. |
||||
6. |
Hyer M. W. — J. Composite Materials, |
1981, |
15, p. 296. |
|||
7. Hyer M. W. An inherent instability |
in fiber-reinforced composite laminat |
|||||
|
es.— In: Advances in Aerospace |
Structures |
|
and Materials-AD-01, eds. |
||
8. |
S. S. Wang and W. J. Renton — New |
York: ASME, 1981, p. 239—246. |
||||
Hyer M. W. — J. Composite Materials, |
1982, |
16, p. 318. |
9.Hyer M. W., Hagaman J. A. The effects of thermal cycling on the thermal deformations of graphite-polyimide. — Proc. Spring Meeting Soc.
Experim. Stress |
Analyssis, |
San Francisco, C. A., Paper No. R79-114, |
Soc. Exp. Mech., |
Brookfield |
Center, CT, 1979. |
10.Jones R. M. Mechanics of Composites Materials. — New York: McGrawHill Book, 1975, p. 147— 156.
11.Pagano N. J., Hahn H. T. Evaluations of composite curing stresses.— In: Composite Materials: Testing and Design, — 4th Conference (STP617), ed. J. G. Davis, Jr. — Philadelphia: ASTM, 1977, p. 317—329.
12.Simitses G. J. An Introduction to the Elastic Stability of Structures.—
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1976, p. 8—14.
13.Tsai S. W., Hahn H. T. Introduction to Composite Materials. — Westport»
CT: Technomic Publ. Co., 1980, p. 217—276.
ДИНАМИКА КОМПОЗИТОВ С ТРЕЩИНАМИ1)
Дж, Си
Оглавление
1.Введение.
2.Удар в композитах с дефектами. 2.1. Упругодинамические уравне ния. 2.1.1. Нагружение растяжением в плоскости. 2.1.2. Осесиммет ричная деформация. 2.1.3. Сдвиг при кручении. 2.2} Плоская трещи на, параллельная волокнам. 2.2.1. Нормальный удар. 2.2.2. Сдвиго вый удар. 2.3. Плоская трещина, перпендикулярная волокнам.
2.3.1.Нормальное растяжение. 2.3.2. Сдвиг. 2.4. Круговой дефект между разорванными волокнами. 2.4.1. Мгновенное растяжение. 2.4.2. Мгновенное скручивание.. 2.5. Волокно с трещиной. 2.5.1. Во локно, нагруженное нормальным ударом. 2.5.2. Волокно,нагружен
ное скручивающим ударом.
8.Движение трещин в композитах. 3.1. Основные уравнения. 3.1.1. Дви жение трещины при растяжении. 3.1.2. Антиплоское сдвиговое дви жение трещины. 3.2. Трещина, расширяющаяся под действием рас тягивающей нагрузки. 3.3. Движение трещины при антиплоском сдвиге. 3.4. Влияние ортотропии материала на движение трещины.
3.4.1.Ортотропная теория упругости. 3.4.2. Растяжение в плоскости.
4.Динамическое поведение слоистых композитов. 4.1. Поведение слои стой пластины при растяжении. 4.1.1. Теория Си и Чена: растяже ние пластины. 4.1.2. Мгновенное растяжение. 4.2. Поведение слоистой пластины при изгибе. 4.2.1. Теория Си и Чена: изгиб пластины.
4.2.2.Мгновенный изгиб.
5.Критерий плотности энергии деформирования. 5.1. Понятие плот ности энергии. 5.1.1. Коэффициент плотности энергии. 5.1.2. На правление и скорость разрушения. 5.2. Моделирование повреждения композита: растрескивание матрицы. 5.2.1. Растрескивание матри цы при ударе. 5.2.2. Прорастание трещины в матрице. 5.2.3. Рас пространение трещины в ортотропных материалах.
€. Заключение. Литература.
1. Введение
Современные композитные материалы в настоящее время широко используются в аэрокосмической технике. Для дости жения высокой удельной прочности их обычно изготавливают
n Sih G. С. (Institute of Fracture and Solid Mechanics, Lehigh Uni versity, Bethlehem, USA). Dynamics of composites with cracks. — In: Hand book of Composites. Vol. 3. Failure Mechanics of Composites. Ed. by G. C. Sih and A. M. Skudra. — Amsterdam: North-Holland, 1985, p. 127— 176.
© |
1985, E lsevier Scien ce P ublish ers, В. V. |
Динамика композитов с трещинами |
177 |
из высокомодульных углеродных волокон и эпоксидной смолы
вкачестве матрицы. Эффективность и надежность композита
вконструкции зависит от способа его изготовления. В отли чие от металлических сплавов композиты могут обладать анизотропией и неоднородностью свойств. Кроме того, если не разработаны методы контроля за процессом изготовления, то микроструктура материала, а следовательно, его макромеханические свойства могут изменяться в довольно широком диапазоне. Таким образом, для получения достоверной ин формации о механическом поведении композитов необходим контроль за их качеством.
Практическое применение композитов в ответственных конструкциях основано на умении моделировать их поведение
сучетом структурной неоднородности. Недостаточно просто анализировать свойства композитов с помощью механики анизотропных и неоднородных сплошных сред. Неучет таких процессов повреждения, как разрыв волокон, растрескивание матрицы и потеря сцепления на поверхностях раздела волок но— матрица, значительно ограничивает возможные виды де формаций. Для более сложных систем, таких, как слоистые композиты, необходимо рассматривать возможность их раз рушения расслоением. Поскольку не всегда удается точно смоделировать условия передачи нагрузки через поверхность раздела двух разнородных сред, может возникнуть несоот ветствие между реальным поведением композита и прогно зом на основе аналитических моделей. Изучая поведение ком позита, довольно сложно отделить вклад, вносимый началь ными технологическими несовершенствами в форме пустот или трещин, от вклада тех пустот и трещин, которые появ ляются в процессе нагружения. Если процесс повреждения материала не проанализирован надлежащим образом, то ре зультаты испытания образцов окажут мало пользы при про
ектировании конструкций из композита, поскольку образец из композита, по-видимому, можно рассматривать как само стоятельную конструкцию.
Динамические напряжения вносят дополнительные труд ности в анализ композитных материалов. Наличие явлений отражения и преломления волн напряжений в анизотропных и неоднородных средах препятствует получению решений в простой форме. Однако можно разработать эффективные мо дели для ситуаций, когда некоторые параметры превосходят остальные. В таком случае задача сводится к управлению этими параметрами. Методы механики разрушения могут быть эффективными, если форма локального разрушения, приводя щего к глобальной неустойчивости, отчетливо распознается.
178 |
Дж Си |
Часто определяющей |
формой разрушения, приводящей |
к потере целостности конструкции, бывает растрескивание матрицы или разрыв волокон. Повреждение материала, пред шествующее глобальной неустойчивости, можно считать зави сящим от скорости нагружения и других факторов. Такой подход принят в работе [7], в которой приведены многочис ленные примеры послойного растрескивания, расслоения слои стого материала и т. п., где значительно влияние смешанных видов разрушения !). Однако следует проявлять осторожность, применяя по отношению к композитам параметр вязкости раз рушения, разработанный для металлов. Это понятие, приме няемое для однородных материалов, справедливо только в случае, когда величина К\с относительно нечувствительна к изменениям направления нагружения, геометрии образца и ориентации осей, связанных с микроструктурой.
Применение методов механики разрушения не приносит пользы, если параметр вязкости разрушения уподобляется прочности, изменяющейся в зависимости от направления на гружения по отношению к направлению волокон. Следова тельно, подход, основанный на параметре К\с, малопригоден при проектировании конструкций из композитов, поскольку в этом случае необходимая информация по существу ограни чивается допустимой нагрузкой и эффективным поперечным сечением данного элемента конструкции.
Успешное применение моделей для прогнозирования пове дения материала зависит не только от адекватности анализа эффективных напряжений 2), но и от выбора соответствующего критерия прочности. Мнения о том, как следует сочетать их друг с другом, остаются различными и часто определяются личным опытом исследователя. Цель данной работы — под черкнуть необходимость получения решений для эффективных динамических напряжений, локальных по отношению к де фектам, которые являются вероятными местами начала раз рушения. Будет показано, как, сочетая критерий Си [5], основанный на плотности энергии деформирования, с распре делениями напряжений, можно прогнозировать поведение тре щины в неоднородной среде. Этот критерий3) справедлив для всех материалов, моделируемых в рамках понятий механики32*
1} В волокнисто-армированном композите направление роста дефекта неизвестно и зависит от ориентации нагрузки относительно траекторий армирования.
2) Вопрос о том, должен ли композит моделироваться однородной и анизотропной средой или неоднородной и изотропной, зависит от микро структуры композита и скоростей нагружения и обсуждался в работе [6].
3) Критерий недавно использовался в работе [13] для изучения влия ния скоростей нагружения на рост докритической трещины с помощью методов пластического деформирования
Динамика композитов с трещинами |
179 |
сплошных сред. Одна из основных характеристик критерия — функция плотности энергии деформирования dW/dV, которую в общем случае можно выразить в форме S /r , где S — коэф
фициент плотности |
энергии |
деформирования, а г — расстоя |
ние от места начала разрушения. В линейной теории упруго |
||
сти для достаточно |
малых г |
величина 5 изменяется только в |
зависимости от |
угловой |
координаты. |
Сингулярность |
типа |
1 /г преобладает |
над ср |
независимо от |
конфигурации |
дефек |
тов и неоднородной природы композита. Кроме того, с по мощью величин dW/dV и S можно получить физическую ин терпретацию повреждения материала, оцениваемого величи нами наибольшего искривления или расширения на макро скопическом уровне. Подробности описаны в работе [9].
2. Удар в композитах с дефектами
Как известно, композиты являются материалами, чувстви тельными к удару. Конструкторы должны хорошо понимать поведение современных композитов, подвергаемых различ ным типам удара, описанным в ASTM STP 568 [2]. В дан ном разделе приведен ряд фундаментальных решений задач о динамических напряжениях в композитах, ослабленных на чальными дефектами или трещинами.
2.1. УПРУГОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Упругодинамические уравнения используются для полу чения эффективных решений для разных композитных систем, подверженных растяжению в плоскости, осесимметричному нагружению и кручению.
2.1.1. Нагружение растяжением в плоскости. Предполо жим, что композит моделируется двумерной средой и подвер гается нагружению в плоскости х, у. Такое состояние в тео рии упругости называется плоской деформацией 2), поскольку деформация композита в направлении z стеснена. Компонен ты перемещения их и иу в направлении осей х и у в волокне и матрице композита можно выразить с помощью двух ска-2*
Любой критерий прочности, основанный на величинах напряжений, является проблематичным, так как порядок сингулярностей напряжений может зависеть от конфигурации дефекта и неоднородности материала. Это обстоятельство вносит несогласованность при описании различных видов разрушения композитов.
2) При анализе трещин решение для плоского напряженного состоя ния не представляет интереса, так как вблизи трещины напряженное со стояние всегда соответствует плоской деформации [4].
180 |
Дж. Си |
лярных потенциалов <р (х, у, t) и ф (х, у, t) :
и — ^Ф |
I |
дф |
д<Р |
дф |
( 1) |
|
и* ~ дх |
"г |
ду ' |
иУ ~ ду |
дх ' |
||
|
а компонента перемещения в направлении оси z : uz = 0. Ис пользуя соотношения между напряжениями и перемещения ми, можно показать, что напряжения ох, оу и тХу в плоско сти определяются по следующим формулам:
ох = |
v |
V2q>+ |
д2<р |
|
|
1 — 2v |
д*2 |
|
|
||
ау |
V |
V 2qp + |
д2ф _ д2ф I |
(2) |
|
1 — 2v |
д«/2 |
ду J’ |
|||
Xху |
9 д2Ф |
д2ф |
д2ф \ |
|
|
Ну* |
дх2 ) ' |
|
|||
|
дхду |
|
где v и G — коэффициент Пуассона и модуль сдвига соответ ственно. В уравнениях (2) использован оператор Лапласа V2 = д2/дх2-J- д2/ду2. В случае плоской деформации
, I |
\ |
2vG __о |
(3) |
^ = v(cr« + |
a1,) = |
l r r 27 V2<p. |
|
ххг = ту г = |
0. |
|
|
Удовлетворение уравнениям движения приводит к паре волновых уравнений:
, 9 |
Ф |
д2Ф |
C|V2'I>= 4й1г |
(4) |
|
dt2 |
в которых Ci и Сч являются соответственно скоростями про дольной и сдвиговой волн, определяемыми в виде
<.=К^)£Г *-(*Г |
® |
Здесь р — плотность материала. В дальнейшем для обозначе ния величин, относящихся к матрице, волокну и композиту соответственно, используются дополнительные индексы т , f и с.
2.1.2. Осесимметричная деформация. Если нагрузка, кон фигурация трещины и композита обладают осевой симмет рией, то деформирование более удобно описывать в цилинд рических координатах (г, 0,2). Снова можно определить два потенциала ф(л, z, t) и ф(г, z , /) для радиального и осевого перемещений:
U |
<3ф |
<3ф |
_ дф , д ф ___ ф |
(6) |
||
Hr |
дг' |
Uz~~dz^~dF |
7 |
|||
|