книги / Прикладная механика композитов
..pdfМеханика пластин из несимметричных слоистых композитов |
151 |
считается, что, за исключением частных случаев, возможны только приближенные численные решения этих уравнений, например методом конечных разностей или конечных эле ментов. Кроме того, первая вариация обеспечивает инфор мацией только о равновесных конфигурациях, которые могут существовать, а могут и не существовать в лабораторном эксперименте.
Так как задача является нелинейной, а в эксперименте регистрируются кратные конфигурации и явление прощелкивания, то необходимо рассматривать проблему устойчивости равновесных конфигураций. Получение решений для уравне ний устойчивости в сочетании с получением решений для уравнений равновесия приводит к задаче значительной раз мерности. Поэтому численные расчеты и изучение опреде ляющих параметров связаны с вычислительными трудно стями. Предложенный в настоящей статье подход состоит в поиске приближенных в смысле Ритца решений, исходящих из выражения для энергии деформирования (уравнение (7)) и минимизирующих это выражение на основе предполагае мых полей перемещений.
Допустимая форма перемещения из плоскости
и\ [xv х2) = 7г (ах\ + Ьх*) |
(8) |
с неизвестными и подлежащими определению константами а и b описывает возможные конфигурации слоистого компо зита. Такая функциональная зависимость для и\ определяет
в зависимости от параметров а и b различные конфигурации:
если |
а = —Ь, то |
седлообразную |
(рис. |
1(b)); |
если |
а > О, |
|
b = |
0 (рис. |
1(c)) |
или а = О, b < |
0 (рис. 1(d)), то цилинд |
|||
рическую. |
Выбор |
функциональных |
зависимостей |
для |
|||
перемещений в плоскости u\(xv х2) |
и и2(х,, JC2) |
не очевиден. |
Однако рис. 2 дает некоторое представление относительно вы бора функциональной зависимости для этих двух полей пере мещений. На рис. 2 показано поперечное сечение деформиро ванного слоистого композита в плоскости х\, хг. Несуществен но, связано ли это поперечное сечение с цилиндром или с седлообразной поверхностью. На рисунке показано первона чально плоское поперечное сечение слоистого композита при температуре отверждения и поперечное сечение этого ком позита при более низкой температуре после деформирования из плоскости. Из рисунка ясно, что точка А вследствие де формации из плоскости испытывает значительное смещение в сторону убывания координаты х\. В частности, точка А смещается на величину
= р s in 0 — x lt |
(9) |
152 |
М Хайер |
где х\ — координата точки А при температуре отверждения выше комнатной, а р и 0 — геометрические параметры, ука занные на рис. 6. При малых углах раскрытия
sin 0 = 0 — . |
(10) |
Рис. 2. Схема деформирования плоской слоистой пластины, обусловленного изменением температуры.
Если деформации в плоскости (арочные) предполагают ся малыми, то длина дуги между точками О и Л равна р0 или
|
p0 = *i. |
(И) |
Наконец, из уравнения |
(8) |
|
|
1 /р ~ а . |
(12) |
Поэтому, комбинируя |
уравнения (9) — (12), |
получим |
|
иЧ= - ( a 2/ 6 ) 4 |
(13) |
Однако термические эффекты оказывают влияние на дли ну дуги ОА (рис. 2) деформированного слоистого композита. Как и в классической теории слоистых пластин, предпола
гается, что влияние термического расширения |
(или сжатия) |
||
в |
направлении координаты х\ |
линейно по х\ и налагается |
|
на |
перемещение, обусловленное |
закручиванием, т. е. |
|
|
') |
ч |
( 14) |
|
U \ С Х j |
g Х р |
Механика пластин из несимметричных слоистых композитов |
153 |
где с — некоторая неизвестная константа.
Подобные рассуждения относительно плоскости х2, *з при
водят к выражению |
|
u\ = dx2 ~ - j - x 2,3 |
(15) |
где d — некоторая неизвестная константа, а b определяется уравнением (8). Величины a, b, с, d будут определяться в процессе минимизации функционала энергии.
Используя (8), (14) и (15), уравнения (3) можно свести к виду
е° = с, e°2 = d, e\ = abxхх2/2. (16а, Ь, с)
При геометрически линейных деформациях ортогонально армированных слоистых композитов, вызванных изменением температуры, отсутствуют сдвиговые деформации срединной плоскости Можно доказать, что это справедливо и для
случая больших геометрически нелинейных деформаций. Со
отношения (16) противоречат этому утверждению |
Ф 0 в |
уравнении (16с)), поэтому выражения (14), (15) для |
и\ и |
следует модифицировать, чтобы обеспечить выполнение усло
вия е° = 0. Окончательные выражения для и°{ и |
после мо |
||
дификации имеют вид |
|
|
|
и, = сх, — |
t:3 — ab |
х,х |
(17) |
|
ab |
|
|
|
Х 1 Х „ |
|
|
|
4 |
|
Соотношения (17) совместно с (8) формируют предпола гаемые поля перемещений для несимметричных слоистых композитов, деформированных вследствие изменения темпе ратуры материала относительно температуры его отвержде ния. Эти уравнения можно подставить в (2) —(5), а те в свою очередь — в уравнение (7) с последующим интегрированием по координатам х\ и дсгТакая подстановка приводит к вы ражению следующего вида для W:
W = W (Alf} В.п D{f, N 1 Щ, M f , M l Lv Lv a, b, c, d). (18)
Затем отыскиваются стационарные значения функционала для W по вариациям величин а, b, с, d. Интегрирование урав
нения |
(7) по координатам х\ и |
х2 является |
довольно слож |
ным и |
приводит к громоздкому |
выражению |
для W Однако |
первая |
вариация относительно величин а, Ь, |
с и d дает вы- |
154 |
|
Af. Хайер |
|
|
ражение вида |
|
|
|
(19) |
6W = fi6a + f26b + f36c + fA6d, |
||||
где |
|
|
|
|
ft = f t ( A tn в и’ D w |
N l> |
N l> |
L v L v |
c><*)b > . |
|
|
|
/= 1 , |
.... 4. |
В состоянии равновесия |
|
|
|
|
/; = |
0, |
/ = |
1 ,---- 4. |
(20) |
Уравнения (20) составляют четыре алгебраических урав нения для неизвестных a, b, с, d. Эти уравнения нелинейные по а и b и линейные по с и d\ они имеют вид
fy {a, bf с, d) = |
— Cycb + С2аЬ2 + 2С3аЬ — |
|
|
|
|||||
|
— ВууС |
|
DyyCi — C4cb -f- 2С$о,Ь2— C8db-\~ |
||||||
|
-|- D^2b — Cjdb -J- C8ab2-(- C^b2-(- Alf -f- |
||||||||
|
+ |
- J r |
L \b N \ + ж |
L V>N l = |
°. |
|
(21a) |
||
f 2 {a, b, с, d) = |
— C{ac + C2a2b + 2C3a2 — |
|
|
|
|||||
|
— C4ac -j- 2C5a2b -(- Dy2o. — C8da — |
|
|||||||
|
— C7da + C8a2b -j- 2C$ab — B22d — |
|
|||||||
|
— DJ> + Ж |
+ Ж L*aNl + |
Ml = °. (21fe) |
||||||
/3 (a, by c, d) = Anc — Cxab — Bna + |
Al2d — C^ab — Щ = 0, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21c) |
M a» by c, d) = |
Al2c — CQab — B22b ~b |
yd — C7ab |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2Id) |
В этих уравнениях |
|
|
|
|
|
|
|
||
C — — |
A |
12 |
C2 = |
1 |
/ 1/ 4 |
|
|||
|
|
48 |
''Ml^2 * |
1280 |
П |
2 ' |
|
||
C — — |
В L2 |
|
1 |
|
|
|
|||
C< = 48 А , л |
|
|
|||||||
U3 |
48 |
и 1 |
Г 2 ' |
|
|
||||
Г — 1 |
|
A / 2 / 2 |
C ,= |
1 |
|
|
(2 2 ) |
||
|
48 -4.A*. |
||||||||
|
5 |
2304 |
|
|
|||||
c — — |
A |
12 |
Ce= |
1 |
A |
L4 |
» |
||
|
|
4 8 |
■r i 22 |
1280 |
2 2 |
^ 1 |
|||
c — — |
B.aL\. |
|
|
|
|
|
|||
^9 |
4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
Механика пластин из несимметричных слоистых компизитов |
155 |
|
Необходимо отметить, что в случае L\ = |
Z,2 = 0 константы |
|
Сь .... Сд равны нулю и уравнения (21) |
сводятся к |
клас |
сической теории слоистых пластин, т. е. геометрически линей ному случаю. Очевидно, что для развитого здесь метода слоистая пластина с нулевыми размерами является синони мом слоистых пластин классической теории.
Для получения численных результатов необходимо чис ленное решение уравнений (21). Это можно сделать различ ными способами, например используя алгоритм типа Ньюто
на или же выражая величины с |
w d через а и b при помощи |
||||
(21с) и |
(21d). Найденные |
выражения для с |
и d |
можно под |
|
ставить |
в уравнения (21а), |
(21Ь) |
и получить |
два |
нелинейных |
уравнения для а и Ь, которые можно решать методом Ньюто на. И наконец, эти два уравнения можно объединить в одно относительно а или Ь, как в [3]. Объединенное уравнение относительно а имеет вид
(S2U0 а5 + (S% ) а4 + (2S U M о3 + |
(S7V2 + 2SUtVx) а2+ |
||||||
+ {SV2 - ТЮ2+ |
U.U2) а + (U*Vl - TU2V2) = 0, |
(23a) |
|||||
где |
Ъ= |
- |
{Та + K2)/(Sa2 + U2). |
|
(23b) |
||
|
|
||||||
В уравнениях (23) |
использованы |
следующие |
величины: |
||||
S — ояяп (А\\Ц, + ^ 22^ 1)* |
Т = |
£>12+ |
А^ВцВц |
|
|||
Л1И 22 ~ А |
|
||||||
2880 |
|
|
|
|
|
||
|
>2 |
|
|
|
А |
Я2 |
|
|
АппВ\ |
|
|
|
|
||
U\ = Dn - |
* 22^11 |
|
и 2 — D22— |
Л |
ц Д 22 |
(24> |
|
АцА22“ ^ |
|
^ 1 1 ^22 — А [2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||
V l = M ( |
А ц А 22 А |
V2 = М2 — ^ 22( ^ 11^2 ~ |
'^ 1 2 ^ 0 |
||||
|
|
|
А п А 22 |
А \о |
Можно ожидать, что нелинейные алгебраические уравне ния (либо (21), либо (23)) имеют кратные корни, а следо вательно, слоистый композит при заданном Д71— кратные конфигурации. Это, как уже отмечалось в введении, обеспе чивает возможность предсказывать кратные цилиндрические конфигурации.
Для конкретного слоистого композита с заданным измене нием температуры после отверждения, т. е. при заданных Aijt Вц, Df/, Lv L2, N\, NT2, M\, M l, можно определить де
формации из плоскости по найденным значениям а и Ь, а также деформации c u d , которые в данном случае не пред ставляют большого интереса. Ранее уже упоминалось, что
156 |
М. Хайер |
решения уравнений (21) являются равновесными. При задан ной температуре одно или более решений могут соответство вать неустойчивому равновесию. Поэтому для каждого реше ния необходимо исследовать вторую вариацию. Однако сна чала целесообразно представить численные результаты, отно сящиеся к равновесным конфигурациям конкретных слоистых композитов. Таким образом, вопросы устойчивости следует излагать в контексте с конкретными конфигурациями конк ретных слоистых композитов.
4. Численные результаты
Численные результаты для слоистой пластины из конкрет ного композита наглядно иллюстрируют важнейшие особен ности взаимосвязи между конфигурацией слоистой пластины и ее размерами, а также ее температурой относительно тем пературы отверждения. В ведении показано, что пластины оди наковой структуры, но разной толщины после отверждения имеют различную конфигурацию. Этот факт служит поводом для изучения влияния размера на конфигурацию слоистой пластины после отверждения. С другой стороны, поскольку легко осуществимо повышение и понижение температуры слои стого композита относительно температуры отверждения, раз личные исследователи [4, 11] фактически использовали это как метод определения температуры отверждения слоистого композита. Кроме того, подобный метод использован в рабо тах [2, 9] для оценки влияния влажности и температуры на поведение волокнисто-армированных композитов.
Взаимосвязь между размером слоистой пластины и ее конфигурацией при комнатной температуре (20 °С) иллю стрируется на рис. 3. Результаты взяты из работы [3]. Слои стая пластина имеет форму квадрата (LI = L2 = L); длина стороны откладывается на горизонтальной оси. Значения ве личин а и 6 отложены на вертикальных осях двух частей данного рисунка. Пластины собраны по схеме (О^ЭОДг и имеют следующие характеристики:
£ j = 1 1 5 ГПа, £ э= |
8 ГПа, vI2 |
= 0,28, |
а, = — 0,106* 10“ТС, |
0 2 = 25,6* |
Ю'ТС, |
Толщина слоч=0,175 мм; температура отверждения = 121 ®С.
Для удобства дальнейшего обсуждения слоистые компо зиты, составленные из слоев с такими свойствами, обозначим как композиты типа А. Приведенные свойства являются ха
Механика пластин из несимметричных слоистых композитов |
157 |
рактерными для материала AS4/1908 производства фирмы Hercules при объемном содержании волокон 50 %•
Из рис. 3 становятся очевидными две особенности. Во-пер вых, в решениях существует симметрия, обусловленная взаи мосвязью между а, b и длиной стороны. Во-вторых, если
Рис. 3. Зависимость кривизны от длины стороны L квадратной слоистой пластины со структурой (04/ 904)7 из композита типа А при комнатной
температуре.
длина стороны слоистой пластины больше некоторой крити ческой длины, то существуют три возможных равновесных решения при комнатной температуре. Из рисунка видно, что критическая длина равна 90 мм. При L = 0 имеется только одно решение, соответствующее седлообразной конфигурации (Ь = —а). Эта конфигурация на самом деле предсказывает ся, если при расчете пренебречь геометрическими нелиней ностями. На рисунке соответствующее решение обозначено точкой А. Когда длина стороны слоистой пластины увели чивается от нуля до, скажем, 50 мм, решения еще оста ются однозначными, а предсказываемая конфигурация сед лообразной. Однако кривизна седловины уменьшается по
158 М. Хайер
сравнению с кривизной, предсказываемой линейным ра счетом.
При некоторой критической длине решение разветвляется (точка В на рис. 3). При длинах сторон пластины, больших этого критического значения, предсказывается существование трех равновесных конфигураций, каждая из которых пред ставлена на рисунке разными ветвями решения, обозначен ными через ВС, BD и BE. Ветвь BD представляет собой про должение седлообразной конфигурации. Ветви двух других решений значительно отличаются от седлообразной конфигу рации.
Не обсуждая пока переходную зону вблизи точки ветвле ния (75 мм ^ L ^ 150 мм), отметим, что ветвь ВС соответ ствует слоистым пластинам с большой положительной кри визной в направлении оси х\ и малой или вообще отсутствую щей кривизной в направлении оси хч. Ветвь BE, напротив» соответствует слоистым пластинам с малой или вообще от сутствующей кривизной в направлении оси х\ и большой от рицательной кривизной в направлении оси хч- Конфигурации» связанные с ветвями ВС и BE, можно рассматривать как ци линдрические, соответствующие рис. 1(c) и 1(d). Такого рода изменение конфигурации с размером слоистого композита обсуждалось в введении. Для данной восьмислойной компо зитной пластины (рис. 3) при длинах сторон, больших 90 мм» при охлаждении возможна более чем одна равновесная кон фигурация. Очевидно, что не все конфигурации появляются одновременно, а некоторые из них являются неустойчивыми равновесными и никогда не будут наблюдаться. Этот вопрос будет обсуждаться далее.
Выведенные уравнения позволяют предсказать и другие эффекты, не менее интересные, чем зависимость конфигура ции пластины слоистого композита от ее размера. На рис. 4—6» иллюстрирующих изменение конфигурации пластины из ком позита типа А от температуры, показаны зависимости кривизны от температуры для трех пластин размерами соот ветственно 125X125 мм (рис. 4), 300X 300 мм (рис. 5) и 50X 50 мм (рис. 6). Как и ранее, каждый рисунок состоит из двух частей. Кривизны отложены по вертикальной оси, а температура слоистого композита — по горизонтальной.
Кривые построены для диапазона температур от комнат ной (20°С) до температуры отверждения (121 °С). Характер изменения конфигурации слоистой пластины можно просле дить как при ее нагревании выше температуры отверждения, так и при охлаждении. Здесь обсуждается только последняя ситуация.
К а к в и д н о и з р и с . 4, к р и в и зн ы с л о и с т о й п л а с т и н ы 125 X
Механика пластин из несимметричных слоистых композитов |
159 |
Рис. 4. Зависимость кривизны от температуры для слоистой пластины (125 X 125 мм) с укладкой ((Ц/ЭО^т из композита типа А.
X 125 мм при температуре отверждения (точка А') равны нулю и появляются с уменьшением температуры. До точки ветвления В' кривизны малы и противоположного знака, по этому слоистая пластина приобретает седлообразную конфи гурацию. При температуре примерно 77°С (точка В') реше ние разветвляется. Равновесные решения могут следовать по одной из трех траекторий, обозначенных через В'С', B'D' и В'Е' Если слоистая пластина соответствует траектории В'С', то кривизна в направлении х\ продолжает увеличиваться, тогда как кривизна в направлении х2 уменьшается. С другой стороны, при следовании по траектории В’Е' наблюдается противоположная картина — кривизна в направлении х\ уменьшается, а в направлении х2 увеличивается по модулю. Если в соответствии с третьей возможностью слоистая пла стина при охлаждении следует траектории B'D', то ее конфи- 1'урация остается седлообразной, но седловина при уменьше нии температуры будет становиться все глубже.
Рис. 5. Зависимость кривизны температуры для слоистой пластины (ЗООХ X 300 мм) с укладкой (O4/9O4)г из композита типа А.
Зависимость кривизны от температуры для слоистой пла стины 300X300 мм (рис. 5) подобна рассмотренной на рис. 4. Однако для пластины больших размеров отличия в конфигурациях, представляемых разными ветвями решения, более отчетливы. Вначале, при снижении температуры, появ ляются равные по величине, но противоположные по знаку кривизны пластины. Однако, когда температура становится всего на 10°С меньше температуры отверждения, решение разветвляется. Если при дальнейшем понижении темпера туры слоистая пластина следует траектории В'С', то кри визна в направлении оси х\ продолжает увеличиваться, тогда как в направлении оси х2 фактически исчезает. Это соответ ствует цилиндрической конфигурации, схематически пока-