книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfТ°к а/с |
к+1\ |
+ ^ f o |
~ +(T" k' + ^ + т ,“ ) К *1 + |
_7-,1*а(8«*> |
( Т" |
дА, |
|
-Т" |
l8 u* + |
|
||
|
А, |
да, |
|
- - к Х |
|
|||
|
[А?Л* да , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
+ Г ^ * - О б и , * A*A*dax+ |
|
||||
+ Z / Z |
/ *[(2“ ‘+l + а (* )8 «,“ |
+ (и Г |
+ 2 « ‘ ) 4 |
‘ k 4 r f a , |
- |
|||
*=1 о »'=1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- J ^ ^ S a , ' + F X & u ^ d a , - |
(4.1) |
|||||
|
|
0 '=1,3 |
|
|
|
|
|
|
- Z |
|
+ О й з * +‘ + 3T!*5i/* + 7[]*5йз*)4Ч*] |
+ |
|||||
+ |
X |
J^ ( 8m3 -8z)AlA2dat +—-T ^-SZ -O , |
|
|||||
|
/=£v+l о |
|
|
271 |
ot |
|
|
|
|
|
u\(a„-h, 12,t) = z(0 , |
|
|
|
|||
|
|
u ^ \ a „ h Nl2,t) = z«), |
a, e i , ; |
(4.2) |
||||
где Z - длина образующей оболочки; Lx- длина линии контакта, определяемая в процессе решения задачи; X - неопределенный мно житель Лагранжа, с помощью которого исключаются зависимые вариации перемещений оболочки и жесткого тела в зоне контакта; z(t) - перемещение жесткого тела.
Из выражения (4.1) следуют:
-уравнения движения оболочки
181
- естественные граничныеусловияпри a , = 0 ,Z
КГ |
1КГ II |
грк |
грОк-\ |
,пп \к |
rpN+\ |
|
rpON |
|
|
-41 “ |
41 |
+ 4 l > |
•'ll |
~ 4 1 » |
|
гр*\ |
гр\\ |
гр»к |
грйк~\ |
, гр \к |
qr>*N+l |
rpON |
|
i i3 “ 4 з > 4 3 “ 4 3 |
+ i 13 » 4 3 |
|
- 4 3 |
||||
Дополняя уравнения (4.3)-(4.5) необходимым числом началь ных условий
wf ( a I,0 ) = M/°*(a,), |
« * (а ,,0 ) = й,°*(a ,), |
z(0) = zOJ |
(4.6) |
z(0) = V0, |
получим замкнутую систему уравнений для анализа нелинейного деформирования многослойных композитных пластин и оболочек вращения при осесимметричном импульсном нагружении и соуда рении с жестким телом.
Как и выше, интегрирование системы уравнений (4.1)—4.6) осуществляется на основе явной вариационно-разностной схемы (2.24).
Расчет контактного взаимодействия оболочки с жестким те лом на п+ 1 шаге по времени начинается с определения нового положения центра масс тела. Затем по формулам (2.24) без учета контактного взаимодействия (А. = 0 ) вычисляются перемещения узлов разностной сетки оболочки. По прониканию узлов внутрь жесткого тела проверяется условие контакта. Если узел j не контактирует с телом, то полученное для этого узла решение явля ется действительным. В противном случае через точку с координа тами этого узла на п шаге проводятся нормаль и касательная к образующей жесткого тела, то есть определяется местная система координат, в которой из условия непроникания определяется перемещениеу-го узла. Полученное решение проецируется вобщий базис а, и находится новое положение узлау. Очевидно, что из-за формулировки условий контакта в метрике «-го состояния точка с
183
координатамиj узла не будет принадлежать поверхности контакта, соответствующей п+ 1 моменту времени. Поэтому для устранения этой погрешности осуществляется снос этой точки на поверхность жесткого тела по нормали. Положение узла, посаженного на поверх ность тела, принимаем за действительное и по формуле
uk,(t"+'l2) = (< '-г" )Ш (к =1.ЛГ+1),
находим скорость перемещения по нормали точки, лежащей на поверхности оболочки ( z “ - координата по оси а 3 узлаj в момент времени /"). Затем определяем ускорение узла iik(tn+l) =
= [ик (tn+]t2) - w* (f"-1/2 )]/д^ . Подставляя найденное значение ус корения в систему (2.23), найдем узловые контактные силы F,k, а
по уравнению (4.4) - новое положение центра масс тела, после чего вышеописанный алгоритм повторяется для следующего вре менного шага.
Для обоснования достоверности и точности данной методики проводилось сравнение численных расчетов с экспериментальными данными [289] о центральном поперечном ударе стальным сфе рическим ударником по трансверсально-изотропной жесткозащемленной по контуру круглой пластине. Пластина радиусом R= 4,5 х х10"2 м, толщиной /2= 1,05* 10-3 м выполнена из материала с ха рактеристиками: £ , = £ 2 = 6 0 ,8 1 ГПа; £ 3= 11,78 ГПа; v 12= 0,31;
v 13 = 0,06; G12= 19,38 ГПа; G13 = 4 ,ll ГПа; р = 1611 кг/м3, что соответствует материалу “Торнел” 300/5208 с ориентацией волокон (0°/ +60°/ -6 0 °). В качестве ударника использовался стальной шарик радиусом 1,27*10-2 м и массой 6,84*10"2 кг.
На рис. 4.1 и 4.2 представлены зависимости времени соуда рения и максимальной контактной силы от величины начальной скорости ударника. Сплошные кривые соответствуют результатам работы [289], пунктирные получены по данной методике [26], кружочками отмечены результаты экспериментов [289]. Из при веденных результатов следует, что в рассмотренном диапазоне ско
184
ростей удара наблюдается достаточно хорошее согласование экспериментальных и расчетных значений времени соударения и максимальной контактной силы.
Рис. 4.1
О |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
V0, м/с |
Рис. 4.2
Для проверки достоверности описания процесса удара во вре мени была рассмотрена задача соударения стального шарика с алюминиевой пластиной [289]. Радиус пластины R= 3,8-10-2 м, толщина А=3,2-10-3 м, радиус шарика - 1,9-10-2 м, скорость соуда рения - 2,54 м/с. В работе [289] полагалось, что материал пласти ны работает вупругой области, а его механические характеристики равны: Е = 68,95 ГПа; v = 0,33; р = 2768 кг/м3.
На рис. 4.3 и 4.4 сплошные кривые соответствуют результатам работы [289], пунктирные и штрихпунктирные-результатам, полу
185
ченным по данной методике при решении задачи в упругой и упругопластической (а, = 0,11 ГП а;£=0,5 ГПа) постановке. Сопо ставление результатов показывает, что решение, полученное в [289], и решение по данной методике в упругой постановке имеют при мерно одинаковый xapaicrep изменения во времени. Отличие по максимальной контактной силе составляет 8 %, а полные времена удара совпадают. Учет пластических свойств материала в данной задаче приводит к увеличению прогиба пластины на 17% и со ответственно к уменьшению максимальной контактной силы на 20%. Время удара возрастает с 600 до 680 мкс. Амплитуда высоко частотных осцилляций контактной силы при учете пластического деформирования материала существенно падает.
«VI О2, см
4
2
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 М О4, с |
Рис. 4.3
В работе [121] приведены результаты расчета свободно опер той круглой плиты при падении на нее шарового груза. Радиус плиты /2=0,287 м; h=0,03 м; масса падающего груза т= 18,2 кг; высота падения 0,26 м. Плита выполнена из стали с характерис тиками: Е = 200 ГПа; v = 0,3; р = 7800 кг/м3.
Отличие этой задачи от рассмотренных ранее состоит в том,
что пластина достаточно толстая и ее |
|
|
|
|
масса в 3,3 раза больше массы ударя |
F*2 10-\ н |
/ |
\ \ |
|
емого тела. Результаты расчетов |
/ |
/ |
|
|
изображены на рис. 4.5 и 4.6 пунктир |
V |
|
||
/ |
/ |
V |
||
ными линиями, сплошными - резуль |
/ |
1 |
|
|
таты работы [1 2 1 ]. Сравнивая приве |
11 |
|
||
f t |
|
|
||
денные результаты, можно заключить, |
77------- |
|
||
ft |
|
|
||
что предлагаемая методика позволя |
|
|
|
VНО4, с . |
ет, задавая необходимое число узлов |
|
|
4 |
|
сетки по толщине, достаточно точно
Рис. 4.5
рассчитывать и нетонкие пластины и оболочки при соударений с телами, имеющими меньшую, чем
оболочка, массу (то есть когда колебания по толщине оболочки осо бенно существенны).
Оценка достоверности получаемых результатов и проверка эффективности предлагаемой численной методики проводилась также на задачах по динамическому деформированию свободных
187
цилиндрических оболочек при внутреннем взрывном нагружении. В работе [247] экспериментально исследовалось динамичес кое деформирование цилиндрических оболочек (труб) из стеклоэпоксида с радиусом внутренней поверхности R= 0 ,1 м, толщиной /*=0,016 м и длиной L=4R, заполненных нормальной воздушной атмосферой, при взрывном нагружении. В центре оболочек подры вались сферические заряды взрывчатого вещества массой т из сплава тротила с гексогеном (массовое содержание каждого из них
50%, плотность 1,65*103 кг/м3) (рис. 4.7).
Оболочки были получены намоткой стеклоткани марки ТС-8/3-Т толщиной 2*10“4 м, предварительно пропитанной связу ющим из эпоксидных смол марки ИФ-ЭД-6 КГ. В эксперименте ре гистрировали: е22 - максимальную окружную деформацию в цент
ральном сечении на внешней поверхности оболочки; интервал времени от начала смещения стенок оболочки до достижения е22
максимального значения и период радиальных колебаний оболочки
Т. Максимальные погрешности определения указанных величин не превышали ± 1 0 %.
По вышеописанной численной методике были проведены рас четы динамического деформирования композитной цилиндричес кой оболочки [1], нагруженной импульсом внутреннего давления, вызванного подрывом в центре оболочки сферического заряда массой m (см. рис. 4.7). Расчеты проводились при различных зна чениях масс заряда т. При этом закон нагружения определялся с
помощью эмпирической зависимости [28]: |
|
0,32(3ae-l)w #/[(ae2 - I ) / 3] |
при t< tlt |
О при t > t n |
^4'7^ |
где t, - 0,5/ / yfq ;q- теплотворная способность взрывчатого веще ства; / - расстояние от центра заряда до точки внутренней поверх ности оболочки; ж = 1,96 - показатель адиабаты. Рассматривались как изотропные оболочки с характеристиками [247]: £ = 2 3 ,5 ГПа; v = 0,15; р = 1,9*103 кг/м3, так и ортотропные [247]: £ , =19 ГПа;
Е2= 33 ГПа; v )2 = 0,12; G13 = 3,7 ГПа. Начальные условия задачи принимались нулевыми.
На рис. 4.8 приведена зависимость максимальной кольцевой деформации от величины массы взрывчатого вещества. Кривая 1 соответствует изотропной оболо чке, 2 - ортотропной, 3 - экспери ментальным результатам.
В табл. 4.1 для различных масс заряда т приведены: мак симальные значения кольцевой деформации е22 в центральном сечении оболочки; время дости жения максимальной деформа ции в первом полупериоде ко лебаний; период радиальных ко лебаний Т. В числителе даны
экспериментальные значения [247]. В знаменателе приведены численные значения, рассчитанные по данной методике для изотропной (левый столбец) и ортотропной (правый столбец) оболочек.
189
Таблица 4.1
Из приведенных результатов следует, что максимальная ошибка при определении е*2составляет 25% для изотропной оболочки и
9% для ортотропной. По времени достижения максимальной деформации t. и периоду радиальных колебаний Тлучшее соответ ствие экспериментальным данным получается также для ортотроп ной оболочки. Таким образом, учет ортотропии материала оболоч ки приводит к уменьшению максимального значения кольцевой деформации и лучшему согласованию с экспериментальными дан ными. Некоторое увеличение расхождения теоретических и экспе риментальных результатов с ростом массы взрывчатого вещества связано, по-видимому, с нелинейным поведением материала обо лочки (растрескиванием связующего).
Рассматривалась также задача о взрывном нагружении двух слойных металлопластиковых цилиндрических оболочек (внутрь стеклопластиковой оболочки без зазора вставляли оболочку из ста ли 20) [150]. Постановка эксперимента, геометрические и физико механические параметры стеклопластиковой оболочки были ана логичны вышеописанным.
Механические характеристики стали 20 принимались равными: 5 = 210 ГПа; v = 0,3; р = 7800 кг/м3; стф= 0,35 ГПа; g = 0,5 ГПа. В табл. 4.2 для различных масс заряда взрывчатого вещества m и
толщин стального Л, и композитного И2слоев приведены: макси мальные значения кольцевой деформации е'22в центральном сече нии оболочки; время достижения максимальной деформации в первом полупериоде колебаний; период радиальных колебаний Т;
190