книги / Пространственная модель турбулентного обмена

После расчета функции Ф отыскивались поля продольной и поперечной составляющих скорости и к о. Затем способом л идейного интегрирования исходных уравнений движения

—= — До - и -------- в —

Ъу Кс Эх Ъу

рассчитывалось поле цаоления.

На рис. 2.7-2.10 представлены результаты расчетов полой скорости и давления для течения в плоском зазоре при Кс = 500.

На рис. 2.7 показано разните профиля скорости и. Кривые саответ'

II- » .

Вотличие от результатов расчетов в § 2.3 в начальных сечениях профиль

По мере дальнейшего продолжения жидкости пограничный слой все более проникает в. глубь потока, дока наконец профиль не приблизится к погра­ ничному. Результаты, представленные на ркс. 2.7, качественно согласуются

стабилизируется много ракыие, чем на оси канала.

На рис 2.9 показаны рассчитанные профили поперечной составляющей

в области входа поперечная составляющая схорости в превышает по своей величине 15% средней продольной скорости, что значительно превышает максимальное значение и из § 2.3. Это объясняется более мелкой сеткой, а значит к большей детализацией течении в области входа. Максимум о по сечению располагаетел на входе около стенки капала, а по мерс развития течения отходит от нее.

Мз рис. 2.9 следует также, что при Кс - 5 0 0 на расстояниях от входа, пре­ вышающих расстояние между пластинами, максимальное по сечению значе­ ние и нс превышает 1 средней продольной скорости.

На рнс. 2.10 показано распределение давления вдоль канола при у = 0,9.

В облает входа наблюдается наиболее резкое изменение давления,

Расчеты показывают, что изменение давления в поперечном направлении

301

$ 2.5. Метод родцеплекня разностного аналога уравнения четверга го порядка

В наиболее ранних работах, посвященных расчету плоских течений жид­ кости, уравнение четвертого порядка дляФ (2.3) с граничными уа юаня ми (2 .4 )—(2.7) записывалось в разностной форме:

Однако используемые итерационные методы решения системы (5.1) были неэффективными.

В большинстве работ *) исходное дифференциальное уравнение (2.3) рассматривалось как система двух дифференциальных уравнений лторого

которые затем решались во всей области сеточным методом. Необходимые граничные значения вихря Я , но он ределен ню равные ДФ» на краях области преобразовывались с использованном условий (2.4) - (2.7).

Функция Ф находилась из уравнения (5.4) лрэг известных граничных зна­ чениях для Ф.

В силу нелинейности сеточного оператора 12 л неразрешенных граничных условий для Л уравнения длл 12 и Ф решались итерационным методом. Наличие сходимости и скорость сходимости о основном были связаны с качеством аппроксимации граничного условия для Я .

Недостатком такого алгоритма решения задачи (2.3) - (2.7) является неэффективное использование граничных условии для Ф в системе двух уравнений в целом. А именно, при решении уравнения для Ф на границах

*) См. работы (3 ,4 ,6 , 9 - 1 1, 1 6 ,19 - 24| н др.

Х>2

области использовалось только по одному условию. Второе условие для Ф, в частности условие на твердой стенке ЭФ/Эи ~ 0, на решение для Ф в ите­ рационном процессе влияло только косвенно, так как оно использовано для получения й на границе области. В итоге последовательные приближе­ ния для Ф удовлетворяли условию прилипания только на конечной стадии итерационного процесса.

Критические замечания но поводу развития схем (И , Ф) были уже

использовалось иля корректировки каждого последовательного приближе­ ния поля Ф<*. Б работе [25] на усеченной области записывалось уравне­ ние (5 .4).

Однако если, например, линия * = 1 является твердой стенкой (рис. 2.11),

ряло условию прилипания на стенке, необходимо условие ЭФ/Эл = О выразить через Ф па двух крайних координатных линиях и использовать его как уравнение для определения Ф на второй координатной линии.

Рассмотрим иной подход к решению задачи (2 .3 ) - (2.7). Идею фактори­ зации оператора высокого порядка применим здесь к исходному уравне­ нию для Ф, записанному уже в разностной форме, т.с. к уравнению (5Л). В качестве вспомогательной функции и только на усеченной области 1 = 3, 4 ,.... гм - 2, к = 3 ,4 ......л - 2 здесь используется разностная аппрок­ симация вихря, т.с. функция 2 = ДЛФ.

Таким образом, процедура расщепления н разностная аппроксимация использованы в иной последовательности.

Как уже говорилось выше, если уравнение (2.3) рассматривать как систему двух уравнений отиосктелыю И к Ф, как это делалось в 116, 21, 22) н др., то граничные услошгя для функции 12 получим из са­ мого определения ДФ = Й с учетом условий (2 .4 )-(2 .7 ).

На стенке {у - 0) условие для вспомогательной функции Л имеет неразрешенный вид, т.е. расщепление уравнения четвертого порядка для Ф на два уравнения второго порядка не получается чистым. Здесь при­ ходится иметь дело с итерируемыми граничными условиями для вспомога­ тельной функции 12. А слабая разрешеиноеть выражения ддн вихря 12 на твердой стенке может являться причиной неустойчивости итерационного процесса.

301

Вбольшинстве работ эта трудность преодолевалась путем |х?лаксэции приближенных граничных условий для Л на твердой стенке (см. (3, 16, 25] и п р ) .

Вработе (261 уравнения (2.9) решаются в области ЛИСВ (см. рис. 2.11), граница АО которой находится внутри основной области ОйСЬ и отстоит на шаг сетки от границы 0А . Вихрь Л на АО определен согласно (2.9*). Функция тока на АО определяется из разложения Тейлора с использова­ нием условий (2 6) н экстраполяцией значении вихря на О!

Вработе (23] уравнение (2.1) также решается и области ЛИСО. Уравнение ДФ = II решается а основной области 0Д С А . а затем решение

подправляется, с тем чтобы удовлетворить условиям прилипания ни твер­ дой стенке.

Методически носяснова тельным и более прозрачным способом решения задачи (2 .3 )-(2 .7 ), на наш взгляд, является решение разностных уравне­ ний типа (5.1), эквивалентных уравнению четвертого порядка (2.3) с гра­ ничными условиями (2 .4 )-(2 .7 ). Дальнейшие же усилия необходимо приложить к отработке эффективной методики их решения.

Итак, имеется уравнение четвертого порядка для Ф (2.3) с граничными условиями (2.4) - (2.7).

В Прямоугольнике С:

304

с использованием соответственно координатных линий I = — I, 1 = N + 2

ик=М + 2.

Вслучае равномерной сетки* например,

разностных уравнении для функции тока У и “вихря” 2{к. В итерационном алгоритме решения уравнений (5.9), (5.10), (5.13) граничные значения для 2 1к вычисляются по предыдущему приближению ноля Ф**. Точность получаемого решения для Ф н 2 на основании систем (5.9), (5.10), (5.16) будет зависеть от точности аппроксимации граничных условий (2.6) раз­ ностными выражениями.

Для получения наиболее устойчивого итерационного процесса в задаче

Х 4

Рис. 2.13. Профили « в различных осчо пи потока для Ко = 1000; х “ 0,038 (/), 0,11 (2), 1.04 (Л . П З (■*).« 01

309

С увеличением числа Ке максимум поперечной составляющей скорости ц уменьшается.

Проведенное графическое сравнение показывает, что результаты расче­ тов для &е = 500 качественно совпадают (рнс. 2Л 3 -2 .1 6 ).

| 2.7. Исследование скорости сходимости схемы (П , Ф) при различной структуре условия для вихря у твердой стенки *)

Устойчивость н сходнмосгь вычислительных процедур двухполового ме­ тода расчета плоского течения вязкой несжимаемой жидкости во многом определяется способом аппроксимации вихря скорости на твердой грани­

Условная устойчивость неявных схем двухполсвого метода даже при отсут­ ствии нелинейных слагаемых связана с тем, что уравнение для вихря па новом (и + 1)-м временном (или итерационном) слое решается при гранич­ ных значения*, вычисленных по “старым” л-м значениям функции тока. Исследуем видоизмененную структуру грапкчпого условия для вихря скоростн на твердой границе [16) {см. также § 2.2), позволяющую частично поднять граничные значения на верхний слон.

1.Опишем схему (П , Ф) с условием для П из [3] на решении неста­

ционарного уравнения Н ввьс-Стокса

Часто используемая процедура двухполевого метода с “явным" усло­ вием для Л на границе состоит из трех последовательных этапов.

На первом этапе находятся (л +!)■« значения вихря внутри области. Затем решается уравнение Пуассона для определения функции тока. После вычисления вихря скорости на границе но какой-либо аппроксима­ ционной формуле завершается переход на (н + 1)*й слой.

') С м .Н .И Б улм в, Е.Л.Твруняи |2 0 ].