книги / Пространственная модель турбулентного обмена

Таким образом, аппроксимации турбулентных напряжений, хорошо оп­ равдавшие себя при расчете установившихся течений, могут иметь сущест­ венную погрешность на участке гидродинамической стабилизации. Депо здесь, но-видпмому, н том, что интенсивность турбулентности при этом в сильном степени зависит от ее предыстории, т.с. в гипотезе для пульса- (цтонной энергии моля нужно учитывать конвективный перенос энергии турбулентности. В последние годы появилось много работ, в которых пред­ лагаются модели, основанные на уравнении для турбулентной энергии (см., например, обзор [82]). Такие модели, в принципе, должны лучше описывать участок гидродинамической стабилизации, чем нэпа гасмая трех­ мерная модель. Однако имеющиеся в- литературе подобные модели Приме­ нимы в основном лишь к двумерным течениям. Для развития более совре­ менных моделей турбулентною обмена необходим синтез идей, заложен* пых в моделях типа [17,49] л моделях, основанных на уравнении турбу­ лентной кинетической энергии.

Г/МД/1 /

ТРЁХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО ОБМЕНА

О ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

УРАВНЕНИЯ БАЛАНСА ПУЛЬСАЦИОННОЙ ЭНЕРГИИ

§ 3.1. Основные гипотезы первоначальной модели турбулентного обмена

В гл. 1, 2 была изложена модель турбулентного обмена, позволяющая во всей области потока жидкости непосредственно до самых стенок аппрокси­ мировать все шесть компонент (симметричного) тензора турбулентных напряжений и три составляющие вектора турбулентного потока теплоты. Эта модель широко использовалась для расчетных исследований турбу­ лентных течений п теплообмена в установившихся потоках жидкости в. ка­ налах различной формы. Ради удобства изложения дальнейшего развития модели турбулентного обмена приведем краткое описание основных поло* ЖС1П1Й и гипотез, положенных о ее основу.

Вводится понятие интегрального масштаба турбулентности I (М) (см. (5. 1) гл. ]), определяющего характерный поперечный размер нестационар­ ных турбулентных вихрей в окрестности переменной точки М потока. Принимается, что характерный диаметр (1 молей, вылетающих из окрест­ ности точки М, тождествен масштабу Ь (Л /):

( ] .1) гл. 2) , отражающего характерную длину пробега моля иэ окрестности точки М в нэправлении 5‘. Записывается весовая функция ч>(М,Мй), ха­ рактеризующая собой вероятность прохождения через рассматриваемую точку Ма моля из окрестности переменной точки М, В последнем варианте

101

модели ВЗЯТО

Х^о = п/мО| * < Хло, 0 .2)

где з - расстояние между точками М 0 и Л/„ Х,о - величина порядка длух

характерных длин пробега моля в направлении 5 в окрестности точки АГ«, П - эмпирическая константа, Плотность энергии внутри турбулентных ликрей» возникающих в окрестности точки Д/, связывается с модулем дефор.

№1* >

ьЧ а и

где т , = — 1 — р , с о - эмпирические константы.

V| Эл I

2.Взаимодействие движущегося молл с окружающей жидкостью описы­ вается уравнениями

\ >*|( “<~ !)<И.

Л

Приближенное аналитическое решение системы (1.4) позволяет получить пульсации скорости и] ((2.33) гл. 1) и температуры Т * в тачке М0 при прохождении через нее моля из окрестности то ч ки //. Турбулентные напря­ жения и тепловые потоки в точке А/ 0 получаются в виде соответствующих пространственных интегралов от выражений ЛМ - — 11 Е /(М ,М о) = -и \Т * с весовой функцией ^(Л/, Л/о)< После отбрзсыввнля

102

несущественных членов выражения для компонент тензора турбулентных напряжений л составляющих турбулентного потока теплоты получаются в виде

о

О целях оперативности численного решения задач гидродинамики и перено­

циентов приведены о (5.13), (5.20), (5.23) гл. 2.

О предыдущей главе отмечалось, что анлрокенмацин турбулентных, на­ пряжений (формулы ( 1 .6) , (1*7)), хорошо оправдавшие себя при расчете

установившихся течении, имени существенную погрешность в центральной

части потока па участке гидродинамической стабилизации. Предлагаемое ниже развитие модели турбулситного обмена (см. [83, 8 4 )) содержит заме­ ну "прапдтлсвскон" гипотезы (1.3) для пульсационной скорости моля

УЯ\М ) некоторым приближенным уравнением, являющимся аппроксима­ цией уравнения баланса пульсацнонной энергии. Это уравнение вместе с ги­ потезой для направленного масштаба турбулентности 1 Т также служит дин

определения нульсационнои скорости моля Решения для компо­ нент тензора турбулентных напряжений н составляющих турбулентного потока теплоты при этом сохраняют прежнюю интегральную структуру. Полуэмпнричсские функции или константы, входящие в вппроксимации различных слагаемых уравнения турбулентной энергии, отработаны на чис­ ленном решении уравнения движения для установившегося турбулентного течения в круглой трубе.

103

§ 3.1. И столки ванне уравнения баланса пупьсяционной эиершн

И так, введем в рассмотрение уравнение для турбулентной анергии

Первые два слагаемые правой масти уравнения (2.2) описывают порожде­ ние пульса днониой энергии Г , и Г) за счет притока кинетической анергии основного движения. Третье слагаемое описывает диссипацию г пульсациониой энергии. Последние три слагаемые описывают диффузию пульса- циоиной энергии и энергии давления.

164

Как видим, оы ражен нс Г* по структуре аналогично генерации Г |. Днсеииа цнк> л о соответствии с установившейся традицией (см. |82, 85)) будем аппроксимировать формулой

ся функция локального числа РеГмюльдса у ,.

Перейдем теперь к анализу членов, описывающих потоки энергии давле­ нии и турбулентной кинетической энергии. Пульсации давления в какой-

ния, то в соответствии с качественной моделью турбулентного переноса консервативной субстанции можно записать

в.' коифуэорс. Однако экспернмв1далы1ые исследования структуры турбулелтносги нс подтверждают практическую роль слагаемого

ЭI 0/>

прямым путем с помощью трехмерной модели. Для вычисления выражении

с движением моли как целого.Согласно простронствонной модели при дви­ жении через точку Ли моля 1,3 окрестности точки А* в точке А/« возникают пульсации л[(Л/в). м»(Ме)- На осиовяшнс (2.33) гп. I полую т, сохраняя

105

главные члены:

= к ,1 СЛП0О5, (5..гЛ/ 01 * 2 У Щ |.<,(Д 0 -п ,№ )1/аЛ со5(1, л ^ .

В выражении и \и \и \ составляющую скорости и'к будем рассматривать как

Усреднение но времени величин и{ 21 и\и\ сводим к интегрированию

~6

где 6 - — ■+$\ Паколед, в случае стационарного поля усредненною тече­

ния жидкости в уравнении (2.2) следует положить Э?2/<)| = 0 . Запишем оконштельно иолуэминрическую аппроксимацию стационарного у равнения турбулентной энергия (2 .2) в декартовой системе координат:

-’К Ж Г

Так ках для модели ( 1 .6 ) - ( 1 П ) нужна не усредненная по времени кине­ тическая энергия ц* пульсациояного движения в единичной окрест костя точки Л/#, а .начальная скорость Vх молей, вылетающих из окрестности точ­ ки М, то необходимо получить соотиошенне, св-язывающсс У\М ) сг^(Л /)-

Дня этой цели используем формулы (1,6) для и * .

106

Суммируя уравнения (1.6) но индексу I с учетом <1.9) и налагая е*! =

эог роняю скорости перемещения молен и различных направнениях будем описывать ||юрмулай

нитегралои но отрезку, параллельна му оси х {, можно записать слелукиинм образом:

Во избежание излишних изменении алгоритма вычисления коэффициентов

еИ>€и аргументы ф ун кц и й /о,/) можно вычислять, как и ранее*т.с. в соот­ ветствии с (I -3) прилить

107

правой части решается численным конечиорвзностным методом. После чис­ ленного решения уравнений (212) и (2.14) полученные значения Р'(А/) используются дпк вычисления нормальных напряжений и коэффициентов

по формулам (1.9), (1.10). После этого решаются уравнения дви­

11о поводу интегральных н локальных формул необходимо отмстить следующее.

Нелокальная модель турбулентного обмена, опнраюшаясл на гипотезу прандтлевского типа (1.3), создавалась для того, чтобы получать реальные коэффициенты турбулентной вязкости и температуропроводности во всей

(3.5) гл. 2 в окрестности максимума скорости имеют существенные

$ 3 3 . Расчет установивпи гоев поля скорости в круглой трубе

Значения эмпирических коэффициентов с, 0 и к ( у ,) , входящих в уршнения (2.12) н (2.14), были отработаны на расчете полей скорости в турбу­ лентном потоке жидкости’в кр у т о й трубе. Уравнение движения для уста­ новившегося усредненного течения в круглой трубе имеет бид

100

Уравнение баланса турбулентной оперши для такого течет ш вместе с фор­ мулой дни пульсащюнной скорости моля запишется в виде

Так как два главных члена уравнения (3.4) имеют одинаковый множитель

с "

1 * —— , ГОК1 1м применимы одинаковые упрош ешя:

Эмпирические коэффициенты с и а естественно должны быть между собой связаны, так как получаемый из уравнений (2 .12) и (2 .]4 ) модуль пульсацлонной скорости У1Я используется в интегралах (2.16)—(2.1В), перед которым стоит коэффициент « (2/с 3 « д 3 ~ 1/сс3) . Пробное решение урав­ нения (3.1) совместно « уравнениями (2.17), (3.4) н (3.7) показало, что для получения удовлетворительного согласия рассчитанных полей

Для описания более резкого перехода турбулентного течения в ламинарное при уменьшении числа Не коэффициент с лучше принять зависящим от

109

локального числа. Рейнольдса. В соответствии с соотношениями

Идя обеспечения сопласия результатов расчета с экспериментальными дан­ ными необходимо было взять

Рассчитанные профили коэффициентов турбулентной вязкости с исполь­ зованием уравнения <2 . 12) вполне удовлетворительно согласуются и с эмпирическими кривыми, полученными на ослопе наморенных профилей скорости, и с результатами решения уравнения (3.3) с учетом ( 1 .10) .

Прннньвя во внимание, что результаты расчета коэффициентов е«Г по­ лучаются правильными, можно считать, что использованпью значения с» и а (0,9 и 0,72) взяты в правильном соотношении. Это дает зависимость а = 0,Вер. Для проверки пригодности использованных значений с и а необ-

выше экспериментальной кривой примерно на 10%. Такова же погреш­ ность среднеквадратичных пульсации скорости огДля лучшего согласия с экспериментом следует взять с 3 = 1.1 + 7/хУт, (кривая 2 на рис. 3.1). Дальнейшие пробные расчеты показали, что для сохранения правильных значений коэффициента турбулентной вязкости и средней безразмерной

скорости и в итоге необходимо взять:

На этом наборе ко иста)гг дня задач гтщродниамн и можно и остановиться.

А«с. З.Т. Распределение турбупсНТНоП. энергиид*в круглоП Т|>уО«<Нс= 5Х №*)•

чет л р и с* - 4 ,9 ♦ *Ы У 7

110