книги / Механика трещин

с (5.5), (5.6), видим, что для рассматриваемой решетки в (4.11) SLF(iqu + + 0, q) = r/h- Таким образом, основываясь на формуле (4.14), находим

приближение скорости трещины к скорости волн сдвига (в антиплоской задаче) требует неограниченно возрастающего потока энергии. Рассмотрим сверхзвуковой режим (о > 1).

Из дисперсионного соотношения h2 = 0 следует, что cg = 1 при q = 0, Поэтому для о > 1 корень q = q0 = 0 принадлежит на вещественной оси q h+ в нуль не обращается. Следовательно, не обращается в нуль при q = 0 и произведение S_5+. Отсюда следует, что при о > 1 не суще­ ствует однородных решений того типа, который рассматривался выше для и < 1, т. е. решения с потоком энергии на макроуровне. Это, конеч­ но, следует и из анализа динамики трещины в упругой среде без струк­ туры. Обратимся к неоднородной задаче.

Пусть берега трещины (частицы в слоях у = 0, 1 при Л< 0) загруже­ ны постоянными силами. В этом случае классическая постановка задачи о распространении трещины со сверхзвуковой скоростью (ü > с2) также приводит к отсутствию потока энергии в край трещины

нет), либо создается работой внешних сил, действующих на берега трещины, либо поступает с осцилирующей волной, не обнаруживаемой на макроуроЕне.

Перейдем к плоской задаче.

Пусть в узлах плоской равносторонней треугольной решетки (рис. 6.6) сосредоточены единичные массы, каждая из которых взаимо­ действует с шестью соседними массами при помощи безынерционных линейно-упругих связей единичной длины и единичной жесткости. В длинноволновом приближении решетка эквивалентна изотропной сплошной среде с плотностью р = V2/3, скоростями волны расширения сг = % 1,0607 и волны сдвига с2 = ^3/8 % 0,6123. Коэффициент Пуассона v = 1/3. Указанным значениям скоростей длинных волн расширения и сдвига соответствует скорость длинных поверхностных волн cR= 1/2(3 - f i ) 1'2 * 0,5630 (ск/с2 = [2(1 - 7 Ш )]1/2 « 0,9194).

Ясно, что сами по себе величины скоростей и плотности в безраз­ мерное отношение TJT входить не могут, поскольку они зависят от выбора единиц измерения. Существенны лишь параметры c j c 2 (здесь c j c 2 = >/з) и, например, ^fзJ&o|c2 (в принятых единицах эта перемен­

sin (лк/З)) (к = 0, 1,. . ., 5), направленных от любой данной массы вдоль ее связей с другими массами. Координаты масс определяются векто­

х = х - о tl0 = (ц9у). При этом уравнение движения и выражение для внутренних сил примут вид

Пусть трещина - разрыв связей между слоями у = 0, у = y/ï/2- распространяется со скоростью о = const > 0 вдоль оси х х: связи разры­ ваются по очереди через равные промежутки времени Д*=1/(2о). При г|= 0 исчезают внутренние силы, действующие по направлению 1Х

F(n2)V n2 - l - f l n j y ^ - 1

S '1(iqu + 0, <7) :

Получаем основное уравнение неоднородной смешанной задачи

s < £ + < £ -(s - DPS (Q = Q. + QJ.

Следовательно, искомое отношение энергий определяется формулой (4.8), где 5* = 5, так как для решетки Arg 5* = Arg 5 (см. § 6.4).

Поскольку Arg S - финитная функция, интегрирование в (4.8) распространяется лишь на конечный интервал. В данном случае, как показывает анализ, Arg5 = 0 при q > 2,6/u.

Своеобразие расчета к(и) определяется тем, что значения ArgS зависят не только от значений 5, но и от „истории” - определяются по непрерывности по мере изменения q.

При q = 0 можно положить Arg 5 = 0. Это значение сохраняется в некоторой окрестности q = 0, а затем Arg 5 изменяется. В точках, где 5 обращается в нуль, а также в особых точках он может быть разрывен. Поэтому определение Arg S при 5 = S(iqu + 0, q) „по непрерывности” затруднено. Выход из этого затруднения может состоять либо в пред­

рассчитывается по той же формуле (4.8) при S = S(iqu + е, q). Дело в том, что при е > 0, как уже отмечалось, функция 5 не имеет особых точек и нулей на вещественной оси q, и чем больше г, тем медленнее изменяется Arg 5. Была разработана программа, предусматривающая уменьшение шага по q там, где Arg 5 меняется быстро, и увеличение в области медленного изменения [39, 40]. В результате этого при умень­ шении е приращение Arg 5 оставалось везде ограниченным заданной постоянной, несмотря на то, что при е = + 0 функция разрывна. Такой процесс быстро сходился, тем самым отпала необходимость анализа

поведения S вблизи особых точек и нулей и расчет fc(о) стал достаточ­ но простым.

На рис. 6.8 показаны графики функций fc(u), пронумерованные соответственно номерам задач, причем на оси абсцисс скорость трещи­ ны отнесена к cR- для задач I, II и к с2 - для задачи III. По поводу представленных зависимостей можно заметить следующее. „Глобаль­ ные” черты кривых для всех трех задач по существу одинаковы: вели­ чина l/fc(u), а следовательно, и энергия, исчезающая на макроуровне при Т0 = const, имеют минимум при (0,3 - 0,5)с2. Отсюда следует, что медленное распространение трещины в хрупком материале (по край­ ней мере, рассматриваемой структуры) неустойчиво. Общий характер кривых l/fc(o) оказался тем же, что и принятый в [5] для объяснения причины колебаний в скорости трещины при достаточно медленном ее расклинивании. Таким образом, наличие ветви, где dT/du < 0, обусловлено не только возможным уменьшением энергии пластиче­ ских деформаций с ростом скорости трещины, но и изменением интен­ сивности оттока энергии, связанного со структурой материала.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство. В опытах со сте­ клянными колбами Гриффитс [137] получил значение Г= Г* примерно в 3 раза большее, чем определенное им экстраполяцией значение поверхностной энергии (см. § 1.2). Если принять в качестве поверхно­ стной энергии Т0 и учесть, что для квазистатики 1/кщ(и) » 2,4 (зада­ ча III) [100], 1/fcj п(и) 3,6 (задача I, II) [41] - см. рис. ь.8, то получим значение Г, лишь на 20% отличающееся от найденного экспери­ ментально.

В упомянутых выше работах [39, 40] было исследовано влияние анизотропии - изменения жесткостей связей параллельных трещине. При этом было обнаружено сильное влияние ослабления этих связей на отток энергии от края распространяющейся трещины. Зависимость к(0) от отношения жесткости продольных связей к жесткости попереч­ ных X в квадратной решетке (антиплоская задача), рассчитанная в [39] по формуле (4.14), показана на рис. 6.9.

§6.6. Трещина в среде блочной структуры

ив армированном материале

Блоч ная с т р у к т у р а . Попытки теоретического описания сейсмических колебаний, возбуждаемых распространяющейся трещи­ ной, обычно основываются на исследовании соответствующей задачи в рамках механики однородной сплошной среды (см., например, [35, 81]). Вместе с тем существенную роль, особенно для воспроизве­ дения высокочастотной составляющей сейсмического воздействия, может играть учет структуры. Сошлемся на статью [84], в которой подчеркивается „Две фундаментальные особенности литосферы - той арены, на которой разыгрывается сейсмический процесс, - это ее дискретная структура и нелинейный характер основных взаимодей­ ствий. Литосфера представляет собой иерархию блоков (отдельностей), разделенных относительно тонкими податливыми пограничными зонами. . . ”

Ниже рассматривается модельная задача о распространении трещи­ ны в линейно упругой среде периодической блочной структуры. На такой задаче выявляется основная роль структуры, под влиянием которой формируется излучение от края распространяющейся трещи­ ны, не обнаруживаемое в рамках модели однородной сплошной среды. Определение мощности излучения аналитическими методами сводится к квадратуре (4.8). Рассматриваемая здесь блочная структура по суще­ ству также является решеткой, но в отличие от рассмотренной в пре­ дыдущем параграфе в ней учитывается инерция вращения частицблоков. Динамика такой системы описывается системой из трех урав­ нений (вместо одного).

Пусть недеформируемые кубические блоки единичного размера связаны линейно-упругими тонкими прослойками. Обозначим и, со*, сùy - перемещение центра блока вдоль оси z и повороты вокруг осей х, у, не зависящие от z. Разности смещений центров соседних граней (первый индекс - направление нормали к грани, второй - направле­ ние смещения) выражаются так (толщиной прослойки по сравнению

Принимая за единицу жесткость прослойки, т. е. полагая, что сила взаимодействия блоков численно равна относительному смещению центров их граней, получаем следующие уравнения движения