книги / Механика трещин
..pdfПусть частичное разрушение связи происходит при л = 0, после чего, т. е. при х\< 0, о = a 2Q. Чтобы учесть это, достаточно для т\< О
компенсировать в (3.1) напряжения (1 - |
OL2)Q с п о м о щ ь ю внешних сил, |
|||||
положив |
|
|
|
|
|
|
Р(Л) - Р0{Ц) + О - « 2) [ 2 ( л ) - |
QL |
(Л - 1) - |
0.(Л + DL |
|
||
Q+(n) = ô(n)H (+n) |
|
|
|
|
|
|
mл) - а д |
+ о |
- 2)[<2«_(п - 1 ) |
- о .(л )]}, |
|
|
|
где Р0(л) = /?0(Л + 1) - |
Я0(Л) - внешняя |
сила, |
растягивающая |
связь |
||
(с учетом разрушения). |
|
|
|
|
|
|
Будем считать внешние силы Р0(ц) ограниченными. Тогда функ |
||||||
ция Q(n) непрерывна и задача сводится к уравнению |
|
|||||
» 2Q : ( л ) + 2 Q M ) - о л л - O - е л л + о + O 2Q : ( л ) + |
|
|||||
+.а2(2(2_(л) - |
(?.(л " 1) “ <2-(Л + 1)) = Р0(Л) |
|
(3.2) |
|||
с условием |
|
|
|
|
|
|
ОЛЛ) = ОЛ0) - о , |
(о(+ 0) = о*, |
о(—0) = a 2oJ . |
(3.3) |
В этих соотношениях можно считать заданным макронапряжение за фронтом разрушения о2 и определять ох, и и осциллирующие волны за фронтом и в предвестнике. Удобнее, однако, полагать заданной скорость фронта и и находить соответствующие ей остальные величины.
Если разрушение связи происходит не по сигналу извне, который мог бы поступать, скажем, при л = 0, а когда напряжение достигает критического уровня о = о* („естественное разрушение” ), то разыски ваемое стационарное решение должно удовлетворять еще одному условию: суммарное напряжение при л > 0 (с учетом осредненной и осциллирующих волн) должно быть меньше, чем о* (полагаем о* > 0 независимо от того, происходит разрушение при растяжении или при сжатии связи ).
Решение данной стационарной задачи не единственно. Доопреде лим его в соответствии со сказанным в § 6.2. Из (3.2) получим уравне ние типа (2.20):
h2(0 + iqo, q)Q? + « 2/J2(0 + «quOT1, q)(f_ = J* |
(3.4) |
где функция
h2(0 + iqv, q) = 2(1 - cos q) + (0 + iqu)2 |
(3.5) |
при и > 0 имеет конечное (неограниченно растущее при и -*• 0) число нулей на вещественной оси q. На примере функции (3.5) легко увидеть
связь между расположением нулей Л2(е + igu, g), т.е. знаком их мни мой части при е -*■ + 0, и знаком разности и^ —и, указанную для более общего случая в § 6.2. Полагая и, q > 0, из равенства
ha(iqo, q) = 2(1 - cos q) - g2u2 = 0 |
(3.6) |
получаем следующие выражения для фазовой (в стационарной задаче = и) и групповой скоростей
2 |
q |
q |
q |
u(q) = — |
Isin — |
u,(g) = (gu)' = cos— |
sen sin — |
q |
2 |
2 |
2 |
guug = sinq. |
|
(3.7) |
Определим теперь расположение нулей функции (3.5). Пусть g = 3 > 0 - корень уравнения (3.6). Тогда для искомого значения с учетом (3.7)
имеем уравнение (е -*■ + 0, g - 3 |
0, и = const) |
|
|
dh2 |
3) = |
h2(i + rgu, g) ~ e2 + 2/еЗи + -------(g - |
||
|
àq |
|
= e2 + 2/еЗи + 2uf/e + 3(ug - |
u)](g - |
3) = 0 |
и если и Ф ug, то ô ~ fe/(и - ug).
В данном случае, как следует из (3.7),
и - и * = — (и д -2 | 5ц Д | ) - (и = const).
Но последняя разность обращается в нуль при g = 3- Следовательно, она меняет знак с увеличением g после каждого из корней (3.6) (если при данном значении и имеется двойной корень, то он считается за два). Знаки указанной разности и корни (3.6) 3 1>••■, 35 показаны на рис. 6.1.
Итак, если |
0 < и < 1, то нули |
функции (3.5) g = qK следующие |
(см. также §6.5).’ |
|
|
Як ~ Pic — |
(к = 2, 4,. . . ); |
|
Як ~ Р»с + *0 |
(к = 1, 3,. . . ); |
|
0 < g j < д 2 С . . . < g 2n+1. |
(3.8) |
Очевидно, что число положительных значений qKнечетно (см. рис. 6.1). Как видно из (3.5), Re h2(e + iqu, q) - четная функция q, мнимая часть - нечетная, поэтому при q < О
Чкт- |
Рк +'0, |
Я-2П-1 < Я-2П< ••• <Я-1 <0. |
(3.9) |
|||
Для q -♦ 0 |
|
|
|
|
|
|
h2(e + iqu, q) ~ q2(1 - |
и2) + 2ique + е2 |
(и # |
1). |
|||
Последнее выражение обращается в нуль при |
|
|||||
q = i'e/(l + и), |
q = - ie/(l - и). |
|
(3.10) |
|||
Учитывая (3.8) - |
(3.10), для диапазона 0 < и < 1 можно представить |
|||||
h2{0 + iqu, q) = (1 - и2)(0 - |
iq)(0 + iq) X |
|
||||
2n+l |
0 + iq |
2n |
0 - |
iq |
|
|
X |
|
|
||||
1 + |
|
|
1+ |
Ф(я), |
|
|
ic=l,3,п. . . ~ к ~ |
к—2,4,п. . |
|
|
|||
Ф(- q) = Ф(q), |
Ф^) > 0 |
( - 00 < q < °°). |
|
Функция Ф(q) имеет счетное множество нулей, расположенных чет верками симметрично относительно вещественной и мнимой осей ком плексной плоскости q. Можно представить Ф^) = Ф+(iq, и) Ф_(iq, и), где Ф+0'q, и) - комплексно сопряженные функции, не имеющие нулей
иплюсов в верхней полуплоскости q (включая вещественную ось) -
Ф+ и в нижней - Ф_. Итак, в диапазоне 0 < и < 1 имеем
h2(0 + iqu, q) = h2(q, u)hl{q, и);
|
|
2n |
|
h%q, и) = Vl - |
u2(0 - |
iq) J“ [ |
$♦(«<?, u); |
|
|
*=2,4,. |
(3.11) |
|
|
2n+l |
|
|
|
0 + iq |
|
h2Sq, u) = / l - |
u2(0 + iq)J~J 1+ |
Ф.('ч, u); |
|
|
|
*=1,3, . |
1 Г |
Ф+( - S, и)/Ф_(5, и) -*• 1 |
(s -►+ <»), |
Ф± “»1 ( 4 - 0 ) . |
Очевидно h2(0 + iqula, q) допускает точно такое же представление, но если Р* = Р±(и), то обозначим Р±(и/а) = у*(и).
Используя факторизацию (3.11) и перейдя к однородной задаче (см. (2.25)), преобразуем (3.4) к виду (0 < о < а)
hîto» u) |
0 F , g , |
ft-fa» |
Of=A[(0 + iq)-‘ + (0 - iq)-1]. |
(3.12) |
|
/1?(Ч, и/a) |
+ |
h?(q, и) |
|||
|
|
Указанная в (3.12) правая часть соответствует ситуации, при ко торой энергия подводится к фронту разрушения неосциллирующей волной слева - со стороны х = - °°.
В классе ограниченных функций (?+(п) решение уравнения (3.12) единственно (с точностью до множителя А)
А |
; <?(ф |
hl(g, u) |
О- iq |
-------- i — |
|
hl(q, и) |
а 2(0 + iq) hl(q, и/а) ‘ |
(3.13) Ввиду непрерывности Q(T|) удлинение в момент разрыва можно
найти, основываясь на (3.11), (3.13):
Q(0) = о* = lim q |
Ах |
«?) = |
|
q-++co |
(X |
X |
У кР к |
(3.14) |
|
|
к |
Этими формулами определяется постоянная А. Длинноволновое приближение (q -» 0) имеет вид
|
|
А |
1 - (u/a)2 |
|
|
|
А |
1 - и2 |
|
QÏ- 0 - iq |
1 - и2 |
’ |
< £ ~ |
о 2(0 + iq) |
1 - (и/а)2 ' |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о х _ |
a |
/ |
1 - (и/а)2 |
о2 _ |
а |
/ 1 |
- и2 |
(3.15) |
|
о* |
к |
у |
1 - и2 |
о* |
к |
у |
1 —(и/а)2 |
||
|
Незатухающие осциллирующие волны, распространяющиеся впе реди (сзади) фронта разрушения, определяются полюсами выражений (3.13) для Q+{QJ на вещественной оси q при q Ф0, т. е. нулями функ ций ft2(q, и)[/!?(q, u/a)]: q = ± p£(q = ± УЙ). Находим
|
|
АИЦРк, и/«)ехр(- |
1’РкЛ) |
|
У+П = |
|
iK y / Ï^ M + M Q + O K , «) |
||
, |
/1 |
- (и/а)2 |
В Д— |
Эexp(iPKn) I-; |
= - А |
/ ---------------- |
Re |
MÏ(PK)
M±K(q)=M±(q) |
1 - |
|
|
|
|
JV£fa)-*±fo) 1 - |
TÎ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
л ) |
- П |
1 - |
V i |
|
|
|
N ± (q )= y j 1 - |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Амплитуда волны напряжений |
|
|
|
|
|||||||||
1о+к1=А. |
|
1 - |
(и/а)2 . |
|
N M * M K, о/о) |
|
|
||||||
|
к |
V |
1 - и 2 |
|
М Ж )Ф +ОК, о) |
|
|
||||||
В соответствии с (3.11) при q ФО |
|
|
|
||||||||||
1Ф+('Ч, ol = |
|
|
\h2(iqo, q) I |
|
|
|
|
||||||
(1 - |
u2)q2W +(q)M_(q)l |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
\h2(iqü/a, q)l |
1/ 2 |
|
|
||||
1Ф+(й?, и/а)| = |
|
|
|
|
|||||||||
к(1 - U2/a 2)q2llV+(4)lV.(q)l, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В пределе, при q -*• P* |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 Ф Mq, u ) l |
|
|
|
|
|
. |
|
sin |
— P*u2 |
11/2 |
|||
- * ■ 1 |
Ф . ( / р к , o ) |
l |
= |
----------------------— - — |
------------------- — |
- |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
' ( 1 - о 2)М Ж )М Ж Ж к ' |
|
||||
1 Ф + (*<7» |
0/ o |
) l |
- |
1 Ф |
+ ( | ' Р ю |
и |
/ а |
)1 = |
|
|
|
|
|
|
2(1 - |
|
cos рк) - (PKÜ/« )2 |
1/2 |
|
|
|
||||||
|
( 1 - о 2/а 2Ш |
2ВД *)ЛЦ Р;) |
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« р * |
, |
h 2( i K u / « , K m K ) M _ ( K ) |
" 2 |
(л > о). (3.16) |
|||||||
10+К' = |
Р£х |
' |
[Р ^ п Р ^ -(0 Р к)2Ш Р кК ( Р :) |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
Аналогично находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ю.к1= |
а о . |
, |
|
Л2(|УкО, Ук)К+{Ук)МЛУк) |
,1/2 |
(3.17) |
|||||||
|
|
|
[Тк«п Ук - |
(Уки/<*)2ШУк)МЛУк) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Скорость масс определяется следующим образом. Имеем |
|||||||||||||
о (Л ) = du/dt = - |
о и ( л), |
|
|
( / { q ) - i q u x / ( q ). |
|
|
Учитывая, |
что а(п) = о(л) - |
о(л - 1) (о+(л) = 0 +(л) ; |
о.(л) = « 2Q-fo)) |
|
и aF{q) = (1 - |
eiq)oF(q), получаем |
|
|
|
|
iq\ |
q |
|
|
|
(— pin — + 2nBà{q) ~ |
|
||
~ - oF/u + 2nBÔ(q) (л -"О), |
В = const. |
(3.18) |
Осредненное значение скорости (длинноволновое приближение) определяется как оригинал указанной в (3.18) асимптотики:
Uj =u+ = - о Jo +В, |
и2 = и_ = - о2/и +В. |
|
|
Постоянная В определяется из |
очевидного условия |
и1 = - о 1, В ? |
|
= (и-1 - 1)о,. Итак, |
|
|
|
ua “ (“ _1" |
l)°i “ |
° 2/и- |
(3.19) |
Скорости масс в незатухающих осциллирующих волнах получают ся как вклады соответствующих полюсов изображения (3.18), т. е. за меной параметра q (явно выписанного в (3.18)] на Р£(Ук):
2 |
Р+ |
|
|
'“ ♦к1= T 7 r K > c sinT^I |
(п>0); |
||
ирк |
I |
(3.20) |
|
2 | |
УЙI |
||
(л < 0). |
|||
l uJ = --------|o.Ksin— | |
|||
»Ук |
2 |
|
П от ок э не р ги и . Использованное выше правило отбора стацио нарных решений приводит к тому, что незатухающие осциллирующие волны, групповая скорость которых больше (меньше) фазовой, присут ствуют лишь перед (за) фронтом разрушения. Тем самым поток энер гии, соответствующий этим волнам, берет начало на фронте разруше ния. Кроме того, от фронта разрушения оттекает энергия, заключен ная в упругом предвестнике постоянной интенсивности (длинноволно вое приближение). Единственным источником энергии, теряемой при внезапном уменьшении жесткости связи, может, таким образом, быть лишь волна постоянной интенсивности за фронтом разрушения, энер гия которой создается работой напряжения о2. Итак, должно выпол няться следующее соотношение относительно потоков энергии:
к |
|
+ 1 А .к(и - ugK) + Г0и = - о2и2. |
(3.21) |
К
Здесь J4J = (uf + of)/2 = of - плотность энергии в упругом предвестнике
постоянной интенсивности; А2 = (и2 + о*/а2)/2 - |
плотность энергии |
в осредненной волне за фронтом разрушения; А+к |
(А_к) - осредненная |
плотность энергии осциллирующей волны; о - ее фазовая, ugK - груп
повая скорость [ - ир*(- иу~) - частота]; |
Т0 = (1 - а 2)о2/2 - энергия |
разрушения. |
|
Осредненная плотность энергии осциллирующей волны |
|
= 7 ( 1 “ +к12 + ^ +КП А К |
+ \о.к \2/а2). |
Выражения для амплитуд входящих сюда напряжений и скоростей указаны в (3.4), (3.16), (3.17) и (3.20). Соотношение (3.21) может служить (и использовалось) для контроля результатов вычислений по приве денным выше формулам.
Определим отношение энергии разрушения Г0 к общей энергии Г, исчезающей на макроуровне при единичном продвижении фронта разрушения. Из формул (3.21), (3.19), (3.15) следует
Т |
Г0 + 2 |
(1 —UgKlи)А.к — S (1 — |
|
|
к |
|
к |
= - |
о2и2 - |
At(1 - и) - |
А2и = (1 - и2)/(2о2) X |
х о ^ о ^ |
1 |
а2)о2и-2 = |
|
0 1) = у (1 - |
= Г0и- 2 = Г0//с(а,и).
Таким образом,
fc(a, и) = Г0/Г = и2.
Функция к(а, и) полностью определяет влияние структуры среды на макропараметры волны разрушения. Введение этой функции доста точно для замыкания уравнений динамики упруго-хрупкой сплошной среды без структуры.
Пусть и0 ^ о < 1, и0 = 2 Isin (q0/2)\/q0 ** 0,2106 [q0 - минимальный положительный корень уравнения q0 = 2tg (q0/2) * 8,987]. Тогда урав нения h2(iqu + 0, q) * 0, h2(iqu/<x + 0, q) = 0 имеют по одному положи тельному корню <j = p j= 2р, q = yx = 2y соответственно; 0 < р, у < л. При этом осциллирующие волны распространяются лишь за фронтом разрушения (ц < 0). Обращаясь к (3.14), (3.15) и учитывая уравнения, которым удовлетворяют Р, у, можем записать
|
aPx/ï™-Iü7c(P |
f(x) = sin-2 х х~2. |
|
о* |
Уу/\ - |
- ш ш , |
|
и2 |
|
В указанном интервале f(x)(x = Р, у) монотонно возрастает: д//дх > О, а у < Р при а < 1. Поэтому aja^ < 1 (а < 1).
Далее, пусть а -*• 0, и0 < и/а < 1. Тогда число положительных корней уравнения h2(iqo + 0,q) = 0, равное т для Р* и т + 1 для р~, неограниченно возрастает: т ~ 1/(ли) -*■ а уравнение h2(iqo/a + О, q) = 0 имеет лишь один положительный корень у- . При этом с доста точной асимптотической точностью можно представить Р * ~ 2лк±
± 2arcsin (лки), где к = 1, 2,. . ., т для р* и к = 1, 2,. . ., т + 1 для р*, и найти
У\ |
т |
о + |
|
Рк |
|
Jm+1 П |
( и - 0). |
|
|
к—1
Всвою очередь для у" справедливо асимптотическое представле ние уj ~ \/24(1 - и/а) (и -* а), причем у" монотонно возрастает при уменьшении о, достигая на нижней границе рассматриваемого интер вала значения уj « 5,140. Подставив эти данные в (3.15), найдем (а -►0)
|
1 |
о, |
а |
1 |
(и - а); |
о |
- 7 = * |
0,2887; — |
и |
4\/з(1 - |
|
JÏ2 |
о, |
и/а) |
|||
°i |
|
°2 |
0,9442 |
/и |
' |
—— * 0,9023; |
—— « |
(— = 0,2106 |
|||
о* |
|
о* |
|
\а |
J |
(множитель а/и в формуле для а2/о* стремится к единице; он, однако, сохранен с целью расширить диапазон и/а, хорошо описываемый этой формулой).
Таким образом, не только о х < о*, но при определенных условиях и о2 < о,.
На рис. 6.2 показаны графики к(а, и) в функции от и/а для а = 0.9,
0.8, 0.4, 0.2, 0.1 (кривые 1 - 5 соответственно), |
на рис. 6.3 - графики |
о 12(и/а) при тех же значениях а. |
|
Видно, что при достаточно малых значениях |
о2 (но таких, когда |
разрушение еще может происходить) скорость и определяется по зна чению о2 не однозначно. Представляется, что меньшее значение ско рости отвечает неустойчивой ветви о2(и/а). При этом скорость и при любом значении а < 1 имеет отличную от нуля нижнюю границу (на наличие нижней границы для и указывалось в [107]). Например, для а = 0,8 и о2 = 0,95 минимальное значение и = umin « 0,38 (напомним, что за единицу скорости принята скорость длинных волн в неповреж денной цепочке).
Заметим, что в случае естественного разрушения, кроме найден ных, при о2/о* < 1 существует еще и статическое решение: о = 0.
Того |
же типа |
неоднозначностью характеризуются |
и функции |
к(а, и) (на рис. 6.2 показаны графики к(а, и/а). |
|
||
Видно |
также |
(рис. 6.3, а), что о х/о^ < 1. Верхняя |
граница для |
k(a,v)
напряжений впереди фронта разрушения 1 (и/а) равна арифметиче ской сумме ог и амплитуд осциллирующих волн с групповыми скоро стями большими и. На рис. 6.4 показаны графики £/о* при тех же зна чениях а. Стационарные решения для задачи о естественном разруше нии существуют, когда указанная граница Z < о*.
Теми же методами исследованы нелинейные волны, отвечающие кусочно линейной диаграмме о - е более общего вида [24, 112].
§6.4. О соотношениях между потоками энергии на различных уровнях описания структуры линейно-упругой среды
Вернемся к общему соотношению (2.20). Найдя отсюда о+, и_, по формуле (1.3.4) или (1.3.5) можно определить поток энергии в край распространяющейся трещины, приходящийся на единицу приращения ее длины. Длинноволновое приближение для SF*(q) =SLF(iqi) + 0, q) (ввиду ограниченности скорости и частота qu стремится к нулю при q -+ 0, поэтому длинноволновое приближение одновременно являет ся и низкочастотным) - асимптотику при q -+ 0 можно рассматривать как описание среды без учета ее структуры. Определив потоки энергии,
соответствующие этому приближению и полному представлению для SF*, получим искомое соотношение между потоками энергии, отвечаю щее тому уровню структуры упругой среды, который нашел отражение
вструктуре функции SF*.
Вдальнейшем верхний индекс у SF*опускаем.
Пусть S(q) (2.21) локально интегрируема, а ее асимптотики предста вимы в виде
S = А(0 + ig)“ (0 - |
+ 0 (<7а+Р+У) |
(q - |
0); |
|
S = Be±M lq\v + 0(qv-ï) |
(q - |
± « ), |
(4.1) |
|
A, B9y > 0; |
d = Ind 5. |
|
|
|
Ниже при выводе упомянутого соотношения будут также опреде лены связи между параметрами а, р, d и потоками энергии. Положим
1/(2nJ
S = Sjq)B(0 + /<7)°40- I # +
A \l/(2nt)
+ (0 + iq)2 — + (0 - / q )2
п |
=— (d - а + — I ; |
л |
1 / |
v |
(4.2) |
|
= ------- d + p --------- |
||||||
' |
2 |
2 ’ |
+ |
2 |
2 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
5 * = l+ 0 (q ï) |
(q -* 0); |
|
|
|
|
|
S* = 1 + 0(q~y) |
(q -* ± °°); |
Ind Sjq) = 0. |
|
(4.3) |
Теперь можно факторизовать S, т. e. представить, основываясь на фор мулах (4.2), (4.3), так:
5 = 5+5_;
S+ =S*+ v ^ (0 - « # |
, A\l/(2n |
\ |
(0 - iq )2 |
|
||
J |
( |
M |
|
|||
|
7 A \ l/(2n_) |
|
ln. |
(4.4) |
||
S _=S ^jB (0 + iq)tt И |
( |
M o + iq)2 |
; |
|||
O |
|
|
|
|
|
|
S * ± = e x P |
1п5Д ) |
d £ | |
(Im |
q ^ 0 ). |
|
|
l ~ q |
|
|||||
2ni J |
|
|
|
|
Учитывая, что ln 15^)1 - четная, a Arg S±(q) - нечетная функции