книги / Механика трещин

обычную точку проходят две линии скольжения, пересекающиеся под прямым углом. (На этих линиях касательное напряжение по модулю максимально и достигает предела текучести на сдвиг.) Это следует непосредственно из формул преобразования компонент тензора напря­ жений при повороте координатных осей.

Таким образом, имеются два семейства линий скольжения, обра­ зующие ортогональную сетку. Определим направления на этих линиях так, что если в данной точке линия первого семейства наклонена к оси х х под углом ф, то вторая - под углом ф + л/2. Отнесем к первому семейству те линии скольжения, на которых напряжение орр = Ас(р, р - локальные полярные координаты, ось р направлена вдоль линии скольжения первого семейства). Обозначим орр + Орр = о + (на линиях скольжения орр - Орр = 0). При этом компоненты напряжений в прямо­ угольных координатах х 19 х 2будет определяться формулами

чающие сетке линий скольжения. Соответствующие им параметры Ламе обозначим через Hv Н^

Нт= y/(dxjd a j 2 + (dx2/ d a j2.

Учитывая формулы

где f v / 2 - некоторые функции.

В соответствии с последним равенством разность между значения­ ми угла ф на двух линиях первого семейства (а 2 = а*, а 2 = а* J

ф(«!, а*) - Ф(аг, «**) = / 2( « * ) - /2( 0

постоянна (не зависит от а 1). Из этого следует вывод: если на отрезке а < а х < b какая-либо линия первого семейства прямая, то на том же отрезке все линии первого семейства прямые.

В плоской задаче, так же как и в антиплоской, при условии х\ = к2 возможны, в частности, равномерное и центрированное поля напря­ жений. Если каждое из семейств линий скольжения образовано парал­ лельными прямыми, то во всей области ф = const и из формул (2.10), (2.12) следует, что компоненты напряжений постоянны. Пусть теперь линии первого семейства - прямые, пересекающиеся в одной точке. Тогда можно положить Hlda1 = dr, ф = <х2 = 0 (ог0 = к), где г, 0 - поляр­ ные координаты. Из формул (2.10), (2.12) определяем напряжения

будут выражаться формулами (2.13), если в последних изменить знак параметра к. В отличие от центрированного поля в антиплоской задаче здесь, помимо прямых, проходящих через полюс, линиями скольже­ ния являются ортогональные им дуги окружностей. Заметим, что в плоской задаче линии скольжения, проходящие через полюс, могут и не быть прямыми.

При плоской деформации компонента о33 определяется с учетом того, выполняется или нет наряду с условием т\ = к2 условие пластич­ ности (1.2) в отношении напряжений т2 (или т3). Если т| 3 <к2, то пластическое течение - скольжение - происходит в плоскостях,

перпендикулярных плоскости х хх 2. Поэтому пластическая деформа­ ция е£3, а следовательно, и упругая е| 3 равны нулю. Из закона Гука (1.5) находим

Подставляя это в выражение для напряжений т23 (2.9) и учитывая, чтот2 = к2, получаем

Если среднее напряжение ограничено, то ограничено и напряже­ ние о+ (компоненты девиатора напряжений ограничены условием пластичности). Тогда, как видно из равенства (2.15), условие т| 3 < к2 выполняется, если коэффициент Пуассона v достаточно близок к 1/2, в частности для несжимаемого материала, где v = 1/2. В противном слу­ чае может оказаться, что условие пластичности (1.2) выполняется одновременно в отношении и т2(т3). Этот случай будет рассмотрен

вследующем параграфе.

§4.3. Деформации в неподвижных

идвижущихся пластических областях

Начнем, как и при анализе полей напряжений, с наиболее простого случая - рассмотрим антиплоскую деформацию. С учетом законов течения (1.6) и упругой деформации (1.5), получаем

Пусть напряжения в пластической области не меняются: после того как данная точка тела попала в пластическую область (вследствие расширения последней при увеличении внешней нагрузки), напряже­ ния в этой точке сохраняются постоянными. Тогда обе части равенства (3.1) можно проинтегрировать по времени t, в результате чего оно принимает вид

s3m, озт заменить соответствующими компонентами в произвольной ортогональной системе координат. Возьмем в качестве координатной сетки линии скольжения (прямые) и ортогональные им кривые. Каса­ тельные напряжения на линиях скольжения по модулю равны пределу текучести на сдвиг, т. е. экстремальны. Следовательно, касательные напряжения на координатных кривых - на координатных линиях, ортогональных линиям скольжения, - равны нулю. Отсюда и из соот­ ношения (3.2), записанного относительно компонент в указанной систе­ ме, получаем

где R - радиус кривизны координатной кривой, проходящей через данную точку; 0 - угол наклона линии скольжения, отсчитываемый от оси х г

Если пластическая область ограничена упругой, то производную ôu3/dQ можно выразить через расстояние до указанной границы, изме­ ренное вдоль линии скольжения, проходящей через данную точку. На границе с упругой областью, где по предположению напряжения и деформации непрерывны, е$2 = ± к/{2ц). Отсюда и из выражения (3.3) для этой компоненты находим

где Я*(0) = R + L - радиус кривизны координатной кривой, пересекаю­ щей линию скольжения (на ней находится рассматриваемая точка)

Поскольку Л° ^ 0, должно выполняться неравенство R^> R.

Таким образом, расстояние между двумя произвольно выбран­ ными линиями скольжения при приближении к границе пластической области не может уменьшиться. Этот вывод довольно прозрачен. Действительно, в противном случае, поскольку на каждой из прямых линий скольжения перемещение постоянно, деформация сдвига при приближении к границе пластической области по модулю растет и, следовательно, при удалении от границы в пластическую область -

падает. Но это противоречит основному постулату теории пластического течения: пластическое скольжение направлено в ту же сторону, что и действующие на данной площадке напряжения сдвига (Л° ^ 0), в результате чего при постоянных напряжениях пластическая дефор­ мация арифметически суммируется с упругой деформацией.

Заметим, что в случае центрированного поля напряжений в форму­ лах (3.3)- (3.5) R = r - расстояние от полюса до рассматриваемой точки, R* - расстояние от полюса до границы пластической области, измеренное вдоль той же линии скольжения.

При равномерном поле напряжений и3 = u3(s)9где s - прямолиней­ ная координата, перпендикулярная линиям скольжения. Так как в этом случае линии скольжения параллельны, деформация сдвига на каждой из них постоянна. Отсюда следует, что пластическое тече­ ние возможно лишь на тех линиях скольжения, которые не пересе­ каются с границей раздела между пластической и упругой областями.

Рассмотрим вопрос о непрерывности напряжений в пластической области. Пусть напряжения претерпевают разрыв на некоторой линии. Направим ось х 1 по касательной к этой линии в данной точке. Тогда, как следует из условия пластичности (2.1), компонента напряжения

где верхние индексы ± относятся к пределам при х 2= ± 0 (или х 2= + 0). Но вследствие непрерывности перемещений деформация сдвига плоскости х хх 3 непрерывна [см. формулы (3.2), (3.6)]:

Поскольку сумма Л° + 1/(2ц) положительна, равенство e j3 = e"13 (3.7) выполняется лишь в том случае, когда о23 = fe2. Однако при этом компонента о 13 непрерывна. Таким образом, напряжения в пласти­ ческой области непрерывны.

Что же касается деформаций, то они могут быть разрывными. Как видно из формулы (3.5), деформации разрывны, если разрывно отноше­ ние R jR , в частности если разрывен радиус кривизны криволинейной координатной линии. Деформации могут быть разрывными также на любой линии скольжения в равномерном поле напряжений, если эта линия не пересекает границу между пластической и упругой областями.

Определим теперь деформации в движущейся пластической области (пластическая область перемещается при росте трещины). Рассмотрим стационарную задачу 03m = 03m( * i - vt, х 2), и3= и3(х1- - и f, х 2), где скорость и > 0 настолько мала, что силы инерции несу­ щественны. При этом зависимости для поля напряжений те же, что и для неподвижного поля.

Учитывая, что в данной стационарной задаче d/dt= - ид/дх1г равенство (3.1) можно записать в виде

где Л/и заменено на Л. Исключая из этих уравнений функцию Л, получаем

Теперь можно найти производную де23/д х 1 и функцию Л. Учиты­ вая, что dR/dx2= sin 0à(ln R)/d0, где (1/R)dR/dQ- производная по дуге криволинейной координатной линии, имеем

(3.13)

+ cos 20 + [Я'*(0)/(2Д)] sin 20 -[sin 2 0/(2ft)]

пластическое течение возможно лишь в секторе 101 < л/2. Следователь­ но, поскольку поле движется вдоль оси х 19 в некоторой области должна происходить разгрузка.

В случае равномерного поля напряжений обе части равенства (3.8) можно проинтегрировать по x t (от некоторой точки х\ , х 2 в пласти­ ческой области до точки х\ > х \ , х 2в упругой). Тем самым мы возвра­ щаемся к соотношениям для неподвижного поля.

Заметим, что если поля напряжений в пластических областях уста­ навливаются по уравнениям (2.1), (2.3) и с учетом других условий за­ дачи для неподвижной и движущейся трещин одинаково, то скорости деформаций в нестационарной квазистатической задаче представляют собой сумму скоростей деформаций, определяемых расширением и сме­ щением пластической области, и приведенные выше решения для не­ подвижной и движущейся трещин складываются.

Вывод о непрерывности напряжений в пластической области сохра­ няется и для движущегося поля. Деформации, определяемые движу­ щимся полем напряжений, как видно, например, из формулы (3.12),

могут быть разрывными в тех же случаях, что и при неподвижном поле.

= - ud/dxv В соответствии с соотношениями (1.5), (1.6), (2.9) деформа­ ции в плоской задаче при условии т^ = к2определяются зависимостями

—= ~ — Л1 ° - " 7 Л2(о_ + 2/с) —— Л3(о_г 2к) +

Умножим обе части первого из этих уравнений на 4 0 .0 !2, второго - на оУ ч тем , что в соответствии с уравнениями равновесия

Предположим теперь, что одновременно с условием \\ = к2 выпол­ няется еще одно условие пластичности: = к2 или т3 = к2. Тогда, как следует из выражения для т23 (2.9),

Здесь и выше знак минус соответствует условию т| = к2, знак плюс - условию т1 = к2.

В дальнейшем нас будет интересовать центрированное поле, напря­ жения в котором определяются формулами (2.13) при 0 > 0 и теми же формулами, но с измененным знаком параметра к при 0 < 0, причем напряженное состояние таково, что т3 < к2. В этом случае, как видно

из формул (2.13), (3.21), функция Л2 оказывается отрицательной (если полагать, что она отлична от нуля):

что противоречит закону пластического течения. Таким образом, при указанных условиях Л2 = Л3 = 0.

Для случая центрированного поля (2.13) уравнение (3.19) прини­

где Д(г), / 2(0) - произвольные функции.

Обращаясь к последнему из равенств (3.18), находим выражение для производной d u jd xy