книги / Механика трещин

и полагая Arg S*(0) = 0, приходим к следующим выражениям для пре­ дельных значений:

Заметим, что к - величина, вообще говоря, размерная, ее значе­ ние может зависеть от выбора единицы длины.

Обратимся теперь к общему решению (2.27). В соответствии с (1.3.5) поток энергии в край распространяющейся трещины определяется асимптотиками и[*9 при (см. формулы (2.27), (4.5)].

Исходя из условия ограниченности (ненулевого ) потока энергии, находим, что оно выполняется лишь при целом индексе d < max G)p

структуры, нули q = qp при р Ф0 (q0 = 0) отсутствуют. Получаем, что при целом индексе D = (а - Р)/2 < ы0 [для длинноволновой асимпто­ тики S (4.5)]

0 );

(4.7)

(D < - 1).

Итак, можно сделать следующие выводы.

1.Ограниченный и отличный от нуля поток энергии в движущуюся особую точку (точку раздела граничных условий) возможен лишь при целом индексе функции S(0 + iqu, q) (2.21).

2.Сток энергии в особую точку (движущуюся вправо) возможен, если индекс четный, неотрицательный и меньше шах (о)р).

При тех же условиях, но в случае нечетного индекса, особая точка - источник энергии.

3.Если индекс отрицательный, особая точка может быть лишь источником энергии.

4.Ограниченный и отличный от нуля поток энергии на обоих уровнях (на микроуровне и в длинноволновом приближении) суще­ ствует лишь в том случае, если d = D = (а - Р)/2. Последний вывод

вытекает из того, что поле на макроуровне представляет собой асимп­ тотику „точного” решения (решения на микроуровне) и, следователь­ но, им обоим соответствует одно и то же значение к в первом или втором члене правей части (2.27). Отсюда и из формул (4.6), (4.7) сле­ дует равенство индексов D = d.

Исходя из этих выводов прокомментируем плоскую задачу о ди­ намике трещины в сплошной линейно-упругой среде. В дорэлеевском диапазоне скорости трещины ос = |3= - 1/2, D = 0 и при а00 Ф 0 суще­ ствует положительный поток энергии. В диапазоне между скоростями волны Рэлея и волны сдвига а = - 3/2, Р = 1/2, D = - 1 и при Ь0 Ф О поток энергии отрицательный - из особой точки. В межзвуковом диапазоне индекс дробный и поток энергии отсутствует. Тот же вывод сохраняется и для сверхзвуковой скорости, так как при этом D = - 1/2.

Допуская поток энергии из бесконечности лишь в форме неосцил­ лирующей волны, существующей и на микроуровне, т. е. полагая в (4.6) аф = 0 при рФ 0 и что D = d < 0)о, находим соотношение между потоками энергии на микро- и макроуровнях

из формул (4.2), S* - безразмерная.

Заметим, что при движении особой точки в противоположном направлении (о < 0), что соответствует смыканию берегов трещины, знак потока энергии изменяется: при четных значениях d > 0 край тре­ щины - источник энергии, при нечетных и при d ^ - 1 - сток.

В качестве простейшего примера ситуации, в которой уточнение теории, первоначально пригодной лишь для длинных волн, может повлечь за собой изменение выводов о „статьях” расхода энергии, можно привести задачу о неупругом падении нити на жесткое основа­ ние. Пусть точка контакта нити с основанием (граничная точка зоны контакта) движется влево (и < 0): при ц > 0 нить покоится на основа­ нии, при ц < 0 - движется к основанию („трещина” закрывается). Если учесть (приближенно) изгибную жесткость нити, то уравнение ее дви­ жения можно записать в виде (как и выше, положительным считает­ ся напряжение, препятствующее положительному перемещению)

При этом в обозначениях, принятых выше, для длинноволнового приближения (а = 0) а = 0, Р = - 2, D = 1 и при а10Ф 0 имеет место ограниченный поток энергии в точку контакта. Действительно, туда должна стекать кинетическая энергия нити. Однако учет изгибной жесткости (а > 0) приводит к другому выводу: при тех же значениях а,

где Е - жесткость связи; символом F обозначено дискретное преобра­ зование Фурье по х . Принимая R = EQ_ + Р, где Р - внешние силы в задаче о трещине, т. е. компенсируя действия разорванных связей, приходим к уравнению

Положив здесь s = iqu + е, е > 0, умножив обе части на е и устремив е к нулю, придем к уравнению типа (2.6). Таким образом, соотношение между потоками энергии для решетки определяется функцией S(q) (2.9) , где SLF взято из формулы (4.10).

Кроме того будем предполагать устойчивость решетки, вследствие

(4.10) следует, что SLF(s, q) четная вещественная функция q при s > 0. В дальнейшем потребуется более сильное утверждение, а именно, SLF(s, q) > 0 при 5 > 0. Покажем это. Равенство (4.10) при s > 0 можно рассматривать как соотношение для статической деформации решетки, смещению масс которой препятствуют упругие опоры (их жесткость пропорциональна s2). Пусть RL = exp (icox), RLF = 2nà(q + со). Тогда Еф = [1 - (SLF(s, œ^JexpO’cox). Работа внешних сил, осредненная

по периоду (2л/ы):

больше энергии растягиваемых связей

Итак, 0 < 1 - (SLF{s, q))'1 < 1 (А > 0), 0 < (SLF{s, q))’ 1 < 1.

Покажем теперь, что для решетки индекс d равен нулю и более того, Arg S(q) - финитная функция [103].

Положим R = ô(f)ôx0> где &тп - символ Кронекера, и проведем преобразование Лапласа (при нулевых начальных условиях) над уравнениями динамики решетки (здесь они не выписываются). Тогда члены, соответствующие силам инерции, будут содержать (в отличие от других членов уравнений) множитель s2. Отсюда следует, что при достаточно больших значениях Ы (Res = e > 0 ) изображения переме­ щений uF можно определить методом последовательных приближений, который приводит к оценке

(4.13)

2л

Васимптотическом представлении для 6± сохранена лишь веще­ ственная часть, поскольку мнимая нечетна и не дает вклада в интег­ рал [S(£) - неотрицательная четная функция, ArgS = 0].

Вдлинноволновом приближении решетка эквивалентна класси­

ческой модели упругой среды и асимптотика S при q -►0 имеет вид (4.1), ос = Р = - 1/2. Отсюда и из (4.13) находим

О

Уравнение (4.11) теперь можно представить в виде [аналогичном (2.22), (2.26) при т = 0, но для периодического аналога 6-функции (4.13)]:

D = const.

Отсюда

2ED2

Длинноволновое приближение

о { = EQ? ~ 2у/с(0 - iq)'ll2DEx~1',

В соответствии с (1.3.5) Т= 2D2E%~2и, наконец

ной так же в (2.4) положительным множителем (Q_oJ/(u_£+), что СУ" щественно при использовании формулы (4.14) (в формуле (4.8) этот множитель не проявляется).

В общем случае, когда дискретная переменная задана не как цело­ численная переменная (0, ± 1 , . . . ) ; х = 0, ± а , . . . , интеграл (4.14) берется по полупериоду S{q), т. е. по интервалу (0, л/а), и домножается на а/п (вместо 1/л).

Основываясь на приведенных здесь зависимостях (4.8), (4.14) и формулах (5.2.13), (2.2.25), можно выразить макроскопический крите­ рий хрупкого разрушения К =Кс(и) через характеристику структуры Т0. При положительной докритической скорости трещины

(к(и), а возможно и Т0 равны fci(u),. . ., Го1, . . . ), а при и = О

Здесь к имеет тот же смысл, что и в (2.1.6): к = x(v).

После этого задачи динамики (квазистатики) трещин в упругом теле можно рассматривать без учета структуры, т. е. в рамках модели сплошной среды.

§ 6.5. Потоки энергии при распространении трещины в решетках

Начнем, как обычно, с антиплоской задачи для решетки с централь­ ным взаимодействием точечных частиц, расположенных в узлах без­ граничной квадратной сетки. Пусть в точках с целочисленными зна­ чениями прямоугольных координат х, у сосредоточены частицы единичной массы, каждая из которых взаимодействует с четырьмя соседними с помощью безынерционных линейно-упругих связей единичной жесткости. В длинноволновом приближении решетка эквивалейтна сплошной среде с единичными модулем сдвига и скоростью волн сдвига. Уравнения движения масс имеют вид

u (t,x - l,y ) + u(f, x + l , y ) + u(f,x, у - l) + u ( f , x , y + l ) -

Тогда перемещение можно представить так: и = U(TJ, у), где ц - непре­ рывная переменная для любого целочисленного значения х. Уравнения (5.1) принимают вид

Пусть трещина расположена между слоями у = 0 и у = 1 при т) < 0, так что разрыв связи между массами происходит в момент t * х/и (г) = 0) после чего, т. е. при t > х/и (т) < 0), массы, расположенные в слое у = 0, не взаимодействуют с массами слоя у = 1. Уравнения (5.2) будут опи­ сывать динамику решетки с трещиной, если компенсировать взаимо­ действие между массами внешними силами, положив для у = 0, 1:

f(q, 1 ~У) = -/(<}, y)-

В частности, для y = 1

uF*{q) = SF*(q)oF*{q).

Отсюда и из (5.3), (5.4) получаем уравнение типа (2.20)

гh

Функция S„* обращается в нуль на вещественной оси q там (и толь­ ко там, так как г + h Ф 0), где h = 0. Последнее уравнение имеет корни

<?=<7о = 0> Я = ±Ят*Ъ ш = 1, 2,. . . 2л + 1; л = 0, 1,.

Для достаточно большой скорости (о > и0 = 2 Isin а 0/21/ос0 « 0,2106, а0 - минимальный положительный корень уравнения а 0 = 2tg(a0/2)^ » 8,987) л = 0. С уменьшением скорости л возрастает, л -* 00 при и -►+ 0. Так при и = и 0 появляется двойной корень (л = 1 при U^ U ^O Q), затем он разделяется на два (и х < и < о 0); при и = о х снова появляется двойной корень (л = 2 при и2 < о < и 1), разделяющийся на два (и2 < и < и 1), ит. д. Нулевой корень соответствует равенствам (2.18) (f = h2), ненулевые (т = 1 , 2 , . . . ) ““ формуле (2.16) или (2.17). Послед­ ний случай реализуется, когда прямая Q = ид на плоскости q, Q ка­ сается графика функции Q = 2 Isin д/21. Возникающий при этом двойной корень уравнения h2 = 0 - следствие слияния двух однократных корней при увеличении и (см. рис. 6.1). Из непрерывности указанных функций, вторая из которых определяет групповую скорость Ug = dQ/dq, и дифференцируемости Isin q/2\ в точках пересечения с прямой ug (при и > 0) следует, что в этих точках (при 0 <и < 1) чередуются нера­ венства Ug < и (q = qx), Ug > и (q = q2) и т. д. (двойной корень считает­ ся за два).

Функция г2 при q = 0 в нуль не обращается, в остальном же все сказаное об h2 справедливо и для г2. Те же чередующиеся неравенства

в нечетном числе (при q> 0) нулей q = qx, q2>. . ., q2s+i (5 = 0 ПРИ и > иj = (sin а 1)/а 1 « 0,30275, ах = [4 + 2(1 - cos otJJ/sin ах * 6,977).

Таким образом, нули произведения S?*(q)S**(q) [см. формулы

где pm- нули г на положительной полуоси q (нули h+относятся к ниж­ ней полуплоскости q и соответствуют неравенству и < u g (2.16), (3.8), нули г_ - к верхней полуплоскости, и > ug).

Итак, в (2.27) тр = 0. Что же касается ArgS^(q), то ввиду указан­ ного чередования неравенств чередуются и значения аргумента (q ^ 0):

Число нулей, как у h, так и у г на положительной полуоси q нечет­ но, поэтому, как видно из (5.17), в полном соответствии со сказанным в§6.4 ArgSF*(q) - финитная функция. Обращаясь к формуле (4.8), видим, что в данном случае

смысл имеют верхние индексы ± у рк.

Итак, на макроуровне можно увидеть поток энергии в край трещи­ ны Т (поток на единицу ее длины). Однако только к(и)Т идет на разру­ шение связи (fc(u)< 1). Избыток энергии (1 - fc(ujir уносится от края трещины высокочастотными волнами (ч^, Р“ - отвечающие им волно­ вые числа), которые обнаруживаются лишь на микроуровне. Рассмот­

Таким образом, в отличие от сплошной среды, где при фиксированном