книги / Механика трещин

Пусть частичное разрушение связи происходит при л = 0, после чего, т. е. при х\< 0, о = a 2Q. Чтобы учесть это, достаточно для т\< О

В этих соотношениях можно считать заданным макронапряжение за фронтом разрушения о2 и определять ох, и и осциллирующие волны за фронтом и в предвестнике. Удобнее, однако, полагать заданной скорость фронта и и находить соответствующие ей остальные величины.

Если разрушение связи происходит не по сигналу извне, который мог бы поступать, скажем, при л = 0, а когда напряжение достигает критического уровня о = о* („естественное разрушение” ), то разыски­ ваемое стационарное решение должно удовлетворять еще одному условию: суммарное напряжение при л > 0 (с учетом осредненной и осциллирующих волн) должно быть меньше, чем о* (полагаем о* > 0 независимо от того, происходит разрушение при растяжении или при сжатии связи ).

Решение данной стационарной задачи не единственно. Доопреде­ лим его в соответствии со сказанным в § 6.2. Из (3.2) получим уравне­ ние типа (2.20):

где функция

при и > 0 имеет конечное (неограниченно растущее при и -*• 0) число нулей на вещественной оси q. На примере функции (3.5) легко увидеть

связь между расположением нулей Л2(е + igu, g), т.е. знаком их мни­ мой части при е -*■ + 0, и знаком разности и^ —и, указанную для более общего случая в § 6.2. Полагая и, q > 0, из равенства

получаем следующие выражения для фазовой (в стационарной задаче = и) и групповой скоростей

Определим теперь расположение нулей функции (3.5). Пусть g = 3 > 0 - корень уравнения (3.6). Тогда для искомого значения с учетом (3.7)

и если и Ф ug, то ô ~ fe/(и - ug).

В данном случае, как следует из (3.7),

и - и * = — (и д -2 | 5ц Д | ) - (и = const).

Но последняя разность обращается в нуль при g = 3- Следовательно, она меняет знак с увеличением g после каждого из корней (3.6) (если при данном значении и имеется двойной корень, то он считается за два). Знаки указанной разности и корни (3.6) 3 1>••■, 35 показаны на рис. 6.1.

Очевидно, что число положительных значений qKнечетно (см. рис. 6.1). Как видно из (3.5), Re h2(e + iqu, q) - четная функция q, мнимая часть - нечетная, поэтому при q < О

Функция Ф(q) имеет счетное множество нулей, расположенных чет­ верками симметрично относительно вещественной и мнимой осей ком­ плексной плоскости q. Можно представить Ф^) = Ф+(iq, и) Ф_(iq, и), где Ф+0'q, и) - комплексно сопряженные функции, не имеющие нулей

иплюсов в верхней полуплоскости q (включая вещественную ось) -

Ф+ и в нижней - Ф_. Итак, в диапазоне 0 < и < 1 имеем

h2(0 + iqu, q) = h2(q, u)hl{q, и);

Очевидно h2(0 + iqula, q) допускает точно такое же представление, но если Р* = Р±(и), то обозначим Р±(и/а) = у*(и).

Используя факторизацию (3.11) и перейдя к однородной задаче (см. (2.25)), преобразуем (3.4) к виду (0 < о < а)

Указанная в (3.12) правая часть соответствует ситуации, при ко­ торой энергия подводится к фронту разрушения неосциллирующей волной слева - со стороны х = - °°.

В классе ограниченных функций (?+(п) решение уравнения (3.12) единственно (с точностью до множителя А)

(3.13) Ввиду непрерывности Q(T|) удлинение в момент разрыва можно

найти, основываясь на (3.11), (3.13):

Этими формулами определяется постоянная А. Длинноволновое приближение (q -» 0) имеет вид

Незатухающие осциллирующие волны, распространяющиеся впе­ реди (сзади) фронта разрушения, определяются полюсами выражений (3.13) для Q+{QJ на вещественной оси q при q Ф0, т. е. нулями функ­ ций ft2(q, и)[/!?(q, u/a)]: q = ± p£(q = ± УЙ). Находим

MÏ(PK)

плотность энергии осциллирующей волны; о - ее фазовая, ugK - груп­

Выражения для амплитуд входящих сюда напряжений и скоростей указаны в (3.4), (3.16), (3.17) и (3.20). Соотношение (3.21) может служить (и использовалось) для контроля результатов вычислений по приве­ денным выше формулам.

Определим отношение энергии разрушения Г0 к общей энергии Г, исчезающей на макроуровне при единичном продвижении фронта разрушения. Из формул (3.21), (3.19), (3.15) следует

= Г0и- 2 = Г0//с(а,и).

Таким образом,

fc(a, и) = Г0/Г = и2.

Функция к(а, и) полностью определяет влияние структуры среды на макропараметры волны разрушения. Введение этой функции доста­ точно для замыкания уравнений динамики упруго-хрупкой сплошной среды без структуры.

Пусть и0 ^ о < 1, и0 = 2 Isin (q0/2)\/q0 ** 0,2106 [q0 - минимальный положительный корень уравнения q0 = 2tg (q0/2) * 8,987]. Тогда урав­ нения h2(iqu + 0, q) * 0, h2(iqu/<x + 0, q) = 0 имеют по одному положи­ тельному корню <j = p j= 2р, q = yx = 2y соответственно; 0 < р, у < л. При этом осциллирующие волны распространяются лишь за фронтом разрушения (ц < 0). Обращаясь к (3.14), (3.15) и учитывая уравнения, которым удовлетворяют Р, у, можем записать

В указанном интервале f(x)(x = Р, у) монотонно возрастает: д//дх > О, а у < Р при а < 1. Поэтому aja^ < 1 (а < 1).

Далее, пусть а -*• 0, и0 < и/а < 1. Тогда число положительных корней уравнения h2(iqo + 0,q) = 0, равное т для Р* и т + 1 для р~, неограниченно возрастает: т ~ 1/(ли) -*■ а уравнение h2(iqo/a + О, q) = 0 имеет лишь один положительный корень у- . При этом с доста­ точной асимптотической точностью можно представить Р * ~ 2лк±

± 2arcsin (лки), где к = 1, 2,. . ., т для р* и к = 1, 2,. . ., т + 1 для р*, и найти

к—1

Всвою очередь для у" справедливо асимптотическое представле­ ние уj ~ \/24(1 - и/а) (и -* а), причем у" монотонно возрастает при уменьшении о, достигая на нижней границе рассматриваемого интер­ вала значения уj « 5,140. Подставив эти данные в (3.15), найдем (а -►0)

(множитель а/и в формуле для а2/о* стремится к единице; он, однако, сохранен с целью расширить диапазон и/а, хорошо описываемый этой формулой).

Таким образом, не только о х < о*, но при определенных условиях и о2 < о,.

На рис. 6.2 показаны графики к(а, и) в функции от и/а для а = 0.9,

разрушение еще может происходить) скорость и определяется по зна­ чению о2 не однозначно. Представляется, что меньшее значение ско­ рости отвечает неустойчивой ветви о2(и/а). При этом скорость и при любом значении а < 1 имеет отличную от нуля нижнюю границу (на наличие нижней границы для и указывалось в [107]). Например, для а = 0,8 и о2 = 0,95 минимальное значение и = umin « 0,38 (напомним, что за единицу скорости принята скорость длинных волн в неповреж­ денной цепочке).

Заметим, что в случае естественного разрушения, кроме найден­ ных, при о2/о* < 1 существует еще и статическое решение: о = 0.

k(a,v)

напряжений впереди фронта разрушения 1 (и/а) равна арифметиче­ ской сумме ог и амплитуд осциллирующих волн с групповыми скоро­ стями большими и. На рис. 6.4 показаны графики £/о* при тех же зна­ чениях а. Стационарные решения для задачи о естественном разруше­ нии существуют, когда указанная граница Z < о*.

Теми же методами исследованы нелинейные волны, отвечающие кусочно линейной диаграмме о - е более общего вида [24, 112].

§6.4. О соотношениях между потоками энергии на различных уровнях описания структуры линейно-упругой среды

Вернемся к общему соотношению (2.20). Найдя отсюда о+, и_, по формуле (1.3.4) или (1.3.5) можно определить поток энергии в край распространяющейся трещины, приходящийся на единицу приращения ее длины. Длинноволновое приближение для SF*(q) =SLF(iqi) + 0, q) (ввиду ограниченности скорости и частота qu стремится к нулю при q -+ 0, поэтому длинноволновое приближение одновременно являет­ ся и низкочастотным) - асимптотику при q -+ 0 можно рассматривать как описание среды без учета ее структуры. Определив потоки энергии,