книги / Механика композиционных материалов
..pdfП р и л о ж е н и е III
Основные уравнения МДТТ в ортогональных координатах
1. Уравнения равновесия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) |
Прямоугольная система координат х, у, z |
(рис. 69): |
|
|
||||||||||||
|
|
дохх + |
доХу ■+ |
да'XZ. |
+ Хх = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
дх |
ду |
|
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
- + |
■ ду |
до.^ |
+ |
х „ = |
о |
(Ш.1) |
|
|
|
|
|
|||
|
■+ |
дг |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|||||
даХг |
|
дОуг |
дог |
+ |
х = |
0. |
|
|
|
|
|
|||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
дх |
|
ду |
■+ |
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) Цилиндрическая система координат г, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
0, z (рис. 69): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(III.2) |
|
|
|
|
|
дг |
' |
г |
' |
г |
|
Э0 |
дг |
|
|
|
|
|
в) |
Сферическая система координат г, 0, <р |
(рис. 69): |
|
|
||||||||||||
догГ |
|
|
1 |
д а г в |
1 |
1 |
даг<р |
|
2о гг — ( |
|
° |
фф |
а 'Ф ^ |
_ х г = о ^ |
||
дг |
|
r sin ф |
дв |
1 |
г |
|
<5ф |
+ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
д а г в |
|
, |
1 |
довв |
I |
1 |
|
|
+ |
Зог0 + |
2(те |
ctgq> |
+ Х 0 — О, (III.3) |
|||
д г |
+ |
г sin ф |
дв |
i - |
г |
|
дф |
|
|
|
|
|
|
|
||
дг |
|
, |
1 |
д°ь* 4_ . 1 |
ааФФ |
+ |
К>ф- |
а0е)с |
|
+ |
^ Ф= |
0. |
||||
+ г sin ф |
дв |
|
Г |
|
дф |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Соотношения Коши.
а) Прямоугольная система координат: |
|
дит |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
дих |
|
|
диц |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Вхх |
|
дзГ9 |
Еуу |
ду |
|
|
дг |
|
|
|
||||
в |
|
2 \ |
ду |
|
дх |
) |
гХ2 = ± ( - |
дих |
|
_dUz^ |
|
(И1-4) |
||||
ху |
|
|
хг |
2 |
\ |
dz |
|
дх |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
_ |
1 |
( |
диу |
ди2 |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уг |
|
2 |
\ |
дг |
ду |
|
/ ' |
|
|
|
|
|
6 ) Цилиндрическая система координат: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
диг |
е00 = |
|
1 |
дий |
+ - |
|
|
|
|
да* |
|
|
||
|
|
|
. |
-------- f - |
|
|
|
|
~ИГ |
|
|
|||||
|
|
дг |
|
|
|
г |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Бг0 : |
1 |
/ _ L |
dur |
duQ |
|
“ 0 |
\ |
|
|
(III.5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
~ ' T ) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
T l г ~ W + ' dr |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
duz |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
■ dr |
j * |
S0z = T |
1 |
|
|
|
|
|
|||
в) Сферическая система координат: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
егг = |
dur |
е00 = |
1 |
/ |
1 |
див |
+ |
ur + |
|
\ |
|
|
||||
— , |
— |
\ |
— -------- — |
wectgip W |
|
|
||||||||||
|
|
дг |
|
|
г |
sin ф |
50 |
|
|
|
|
I |
|
|
||
1 |
/ |
а“<р |
, |
\ |
|
|
1 |
t |
1 |
|
ди' |
, |
а<<0 |
“« |
\ |
|
г |
\ |
5ф |
|
/ |
|
|
2 |
\ гБШф |
|
50 |
|
дг |
г |
) |
||
|
|
р |
- |
1 |
/ |
|
I |
1 |
диг |
|
|
|
|
|
|
(Ш.6) |
|
|
дг |
1 |
___ |
г |
/ |
|
|
||||||||
|
|
гф |
2 |
\ |
|
г |
дф |
|
|
|
|
|
||||
|
60Ф= |
1 |
( |
duQ |
|
1 |
du |
|
|
|
I |
\ |
|
|
||
|
— |
( —------1-----;--------+ |
ив ctg ф). |
/ |
|
|
||||||||||
|
|
|
2г |
\ |
5ф |
|
sin ф |
50 |
|
|
|
|
|
|
3. Уравнения совместности в деформациях.
Тензор несовместимости т] (1.2.2) разложим на шаровую и девиаторную составляющие:
Чи- !‘П'/ + Т т,б',; |
Ле- |
(IIIJ) |
При выводе уравнений совместности в напряжениях часто полез ным оказывается тензор
Л// = % / — Лб// = Де,-/ + 0.t/ — ef*iJfe/ — e/fc>fci. |
(III.8) |
а) Прямоугольная система координат:
_ |
__ 2 |
давуг _ |
d2&yy_____ 52ezz |
|
|
х х _ |
51/52 |
5z2 |
5i/a * |
« |
__ О |
^ 2е-<2______ ^ 2gXX __ |
0 2gZZ |
5x5z |
5za |
5x2 • |
'Izz |
2 дЧху |
дЧхх |
д2еуу |
|
дхду |
ду2 |
ах* |
||
|
(Ш.9>
дЧ2г |
|
|
дёху __ |
dbyz |
+ |
дг |
{ |
dz |
дх |
дхду |
||||
д2еуу |
J _ |
( |
деХ2 |
аеХу |
+ |
ду |
\ |
ду |
dz |
дхдг |
||||
дЧхх + |
— |
( |
деуг |
дехг |
дудг |
дх |
\ |
дх |
ду |
б) Цилиндрическая система координат:
д&хг ' ду ,
дВуг дх .
деху ' dz ,
_ |
2 |
д |
/ |
дев2 |
| |
|
\ ____1 |
^егг_____1 |
|
дЧгг |
а*еее |
||||||||
Т1гг~ |
г |
dz \ |
d0 |
+ |
6rzj |
|
г |
дг |
|
г2 |
|
ав* |
а2* |
||||||
|
|
|
|
|
_ О |
д*еГ2 |
дЧгг |
|
Э*е„ |
’ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Л00 |
^ |
drdz |
|
|
dz* |
|
0Г2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а |
/ |
дег0 . |
ег0 |
К |
- 4дг~ ( е" |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ае |
[ |
дг |
|
^ |
г |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
а2егг |
|
52е90 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
г2 |
ае2 |
|
|
дг2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
1 |
д |
/ |
дЕгг |
|
ezz \ |
, |
д |
Г |
1 |
/„ |
|
__ |
деГ2 |
\ i |
|||
Лгв - |
T |
I |
T[ ~ г - - - - - -г ) |
+ |
1 7 [ Т |
Г |
|
2— |
5) Г+ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
(егв — e6z) j ■ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
_ |
_ д _ |
j девв |
|
е99 |
егг |
\ |
_1_ |
|
|
/ |
1 |
derz |
|
|||||
|
|
dz |
\ |
дг |
|
|
|
г |
|
) |
|
г |
аб \ |
г |
дв |
|
|||
|
|
|
|
|
|
^02 |
|
евг |
|
дегв |
\ |
|
|
|
|
(ШЛ0> |
|||
|
|
|
|
|
|
аг |
|
г |
|
дг |
) |
’ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
I |
дегг |
|
дег2 |
, |
егг \ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ае |
\ |
dz |
|
дг |
"И |
|
г |
) |
|
|
|
||
|
|
д |
/2 о |
|
, |
^ег9 |
\ |
|
|
|
1 |
ae9z |
|
|
|||||
|
~1г(7Егв+ ~ ) |
|
|
ага |
|
г |
|
|
дг |
|
|
в) Сферическая система координат:
а(sin фб9ф) +
^= T ( f [ sin<I>^а<рr (sin<p^ ) + ^ 0
aerQ |
1 |
1 |
двфф__ |
+ sin ф |
+ sin2 фЕ„| + |
— sin 2ф- |
|
|
|
|
дф |
------ -- — |
( sin2 ф |
аеее |
) |
dBm |
1 дЧ^ |
— 5 т 2 ф |
ае* |
||||
Г 0ф |
\ |
00 |
J |
дг |
|
|
|
|
|
|
|
|
___L f,a „ |
)\ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
г* д г |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
^00 - т ( т [ |
2 |
а’ Кф> |
___ д |
( г* а>д.Ф |
\ |
а’е" |
1 |
дел |
||||||||
|
дгдф |
|
дг |
\ |
дг |
J |
дф* |
J |
|
дг |
||||||
Л фф = |
- |
f |
|
— |
|
д2К |
0) + г - дгГг■+ |
2 c t g q > - ^ ^ ------ |
||||||||
|
га |
|
ц sin ф |
дгдв |
|
дг |
|
|
|
Or |
|
|||||
— С^ф |
|
а2ег< |
|
д |
|
дей1 |
|
|
J ___ -J 4 , |
|
||||||
|
дф |
|
_ |
/ Г2 _!fe0_\ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
дг |
\ |
дг |
) |
|
5Шаф |
д0* ]• |
|||||
|
1 |
(2 |
|
|
|
|
|
да |
|
|
|
0*е, |
|
|||
]гв = |
— |
|
-Sin фЕ,в |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ чрф |
|
|||
|
|
sin ф |
дгдф |
|
|
|
|
двдг |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ — [ - — |
•(sin фЕ^) —ctg ф |
дф |
(sin фе*)) — -О6гг. ___ |
|||||||||||||
г |
|_ |
дфа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дЭ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
аа| |
|
|
|
|
|
|
|
(iii-ii) |
|
|
|
|
|
|
•sin ш ------- |
\ |
sin Ф |
] а |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
дфд0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
да (sin фЕее) |
|
д2е( |
|
|
|
де |
+ |
|||
Ч г ф = |
т |
|
( 81я ф [ |
^ |
|
|
0ф |
|
- C O S ф • |
>рФ |
||||||
1 г aaerm |
|
|
|
|
|
дгд0 |
|
|
дг |
|
||||||
|
|
|
|
да (sin фел0 |
|
-81п2ф |
дъгг |
|
||||||||
"7" [~~^Г + 2 sin2 |
|
|
д0дф |
|
дф |
])■ |
||||||||||
|
д0а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin Ф |
|
д0дг |
|
|
|
|
|
_ м „ ф J L ( ~ L U |
д2 |
f - i s - 1 ] |
|
|
|||||||||||
|
дфд0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
дгдф |
\ |
sin ф / |
\ |
sin ф / |
J |
|
П р и л о ж е н и е IV
Преобразование Фурье
Пусть |
на бесконечном интервале — о о < / < + оо задана функ |
ция /( /) , |
интегрируемая на любом конечном интервале и для ко |
торой выполняется равенство |
П т М °7 ( 0 = 0 , |
(IV. 1) |
1/1-00 |
|
где а — произвольное действительное число. Такая функция (обобщенная функция) называется фурье-оригиналом и ей мож но поставить в соответствие некоторую функцию того же класса /*(со) по закону
/* (со) = f f ( t ) e ~ l <“ |
d t . |
(IV .2 ) |
|
Функция (обобщенная функция) |
(со) |
называется |
фурье-образом |
f(t), или ее спектральной функцией. Существует обратное преоб
разование Фурье, которое |
каждой спектральной |
функции ставит |
в соответствие фурье-оригинал по закону |
|
|
|
00 |
|
f (t) = |
j* /* (со) еш dec. |
(IV.3) |
|
---00 |
|
Воспользовавшись формулой Эйлера, получим из (IV.2) коси |
||
нус-преобразование Фурье: |
|
|
|
00 |
|
/ ' (ш) = 2 J / (<) cos |
(IV.4) |
|
|
О |
|
а из (IV.3) — обратное-преобразование Фурье |
|
|
|
00 |
|
f ( t ) = |
— j* /с (©) SOD M e n . |
(IV .5 ) |
о
Аналогично, для синус-преобразования Фурье, прямого и обрат ного, имеем
/* (ш) = 2 J / (<) sin atdt, |
(iv.6). |
0 |
|
/ (0 = |
-i-J / s(o>) sinMat. |
(IV.7). |
|
|
0 |
|
|
Заметим, что если f(t) — четная |
функция, то |
(IV.8) |
|
|
/*(0))=/с(и). |
||
Если f(t) — нечетная функция, то |
(IV.9> |
||
H<o)=tfs(co). |
|||
Подставив выражениеf(t) |
через |
спектральную функцию |
(IV.3) |
в формулу (IV.2) и производя |
формальную замену порядка ин |
||
тегрирования, получим |
|
|
|
оооо
ги = 5 е~ш ( J г {р) e"”dp) dt=
|
JГ ( р ) |
e w - ^ d t j dp, |
(IV.10) |
||||
откуда видно, что |
|
|
|
|
|
(IV.11) |
|
_ j_ |
j |
gi/(p—(D) (ft — 6 (р — со), |
|||||
|
|||||||
где б(р) — дельта-функция |
Дирака. |
Аналогично, |
подставляя |
||||
(IV.2) в (IV.3), получим |
|
|
|
|
|
||
_ L |
j* |
ef<DW-x) dco = 5 |
— x). |
(IV.12) |
|||
|
— so |
|
|
|
|
|
|
Точно так же устанавливается справедливость формул |
|
||||||
ОО |
|
|
|
00 |
|
|
|
— J* cos t (р — <£>)dt=b{p — (о), |
- L j c o s c o O 1 — т) d(a = |
6 (t — т). |
|||||
о |
|
|
|
о |
|
(IV. 13) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Фурье-образ производной |
я-го |
порядка |
от функции f(t) (обоб |
щенной производной) находится л-кратным дифференцированием выражения (IV.3):
/<п>(t) = _ L j (jfljjn ((0) еШ f a |
(IV. 14) |
В таблице IV. 1 приведены фурье-образы оригиналов, встреча ющихся в книге
|
|
Т а б л и ц а |
IV. 1 |
|
|
фурье-образ |
|
|
|
00 |
|
Н О |
(*(<■>) = J f(t) |
|
|
|
|
---00 |
|
оо |
|
(i 0 )n f* (0 ) |
|
|
|
|
|
J f(i-x)g(x)dx |
|
Г(о>)Я*И |
|
—00 |
|
|
|
1 |
|
2 яб (0 ) |
|
С |
|
2 я c 6 (0 ) |
|
6 ( 0 |
|
I |
|
tn, п^О |
|
2 я (—l)n 6 (n>(0 ) |
|
elat |
|
2 я6 ( 0 + a) |
|
sin a t |
я i[b (0 —a) — 6 ( 0 + |
a)] |
|
cos at |
я [6 |
( 0 — a) - f 6 ( 0 - f |
a)] |
Пусть функция f(x) может |
быть |
преобразована по Фурье: |
|
F(u>) = j7 (х) e~ ^ d V x . |
(IV. 15) |
где F ((о) называется спектральной функцией, или фурье-образом
функции f(x), причем интегрирование в (IV. 15) ведется по всему трехмерному евклидову пространству. Преобразование, обратное к (IV.15), дает
= |
(IV.16) |
V
Дифференцированием (IV. 16) по координате Xk легко убедиться,
что фурье-образом производной f,k(x) будет функция i^kF((n). Легко дать обобщение формулы (IV.11) на трехмерный случай:
et7(Z-7) dVx = б(ш — р) = б К — p j б (со2 — р2) б (о)3 — р3).
(IV.17)
Фурье-преобразованию могут подвергаться векторные и тен зорные величины. Пусть, например, имеются два симметричных
тензора второго ранга £(*) и g(x), фурье-образы которых F((о)
и G (со). Пусть f и g являются действительными функциями. Тог
да тензор-функция |
g (x ), комплексно сопряженная к |
с ней |
||||
совпадает. Поэтому |
имеем |
|
|
|
||
J/,(*): £ Й dVx = J Ц х) : g Й dVx = -JL - |
( Т о |
) d V ^ : |
||||
|
: [J а (р) (j |
dV,) dVp] dVa>- |
(IV.18) |
|||
Учитывая |
(IV. 16), получим из (IV. 18) |
|
|
|||
|
J / Й |
|
: g (Т) d V , = |
J > Й : G Й |
dV*,. |
(IV . 19) |
Формула |
(IV. 19) |
носит название |
обобщенной |
формулы |
Парсева- |
|
ля. |
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
Иногда функцию g(jc), комплексно |
сопряжен |
||||
ную к # (* ), мы обозначаем £ *(*). |
|
|
|
П р и л о ж е н и е V
Эффективные характеристики слоистого композита для плоской задачи теории упругости
|Пусть слои ортогональны оси х2. 1. Задача в перемещениях, а) Общий случай.
Тензор модулей упругости нулевого приближения:
для плоско-напряженного состояния (§ 8 гл. 4).
б) Все компоненты композита изотропны. Плоско-деформиро ванное состояние.
Тензор модулей упругости нулевого приближения:
^,(0) R w ill =
v (vH\—
(V.3)
( l + v ) ( l - 2 v )
( £ (1 —v) )
Эффективный тензор модулей упругости
Е \ , |
|
(у/ ( 1 - у)« |
||
|
|
/ (1 |
|
2V) у |
|
|
\ |
£ (1 —v) |
/ |
h — |
Г (0) |
h |
г (0) |
(V.4) |
” 2222 — |
'-'2222> |
'‘1122 |
^2211, |
|
Лц |
2 |
\ 1+ |
v ' |
|
|
|
в) Все компоненты композита изотропны. Плоско-напряжен ное состояние.
Тензор модулей упругости нулевого приближения:
Ciili = £ + |
у |
( у ) |
|
||
|
|
< ^ > |
740) |
|
(V.5) |
О2222 — ' |
|
|
< ^ > |
|
( ^ г ) |
(V) |
|
г ( 0) |
|
|
^1212 = 2 ( 1 + V ) |
' < г = г - )
Эффективный тензор модулей упругости:
(у)2 |
", ^2222 — ^2222 |
(V.6) |
< £ > + - 1— V2 |
|
Е)
|
^1122 — ^2211» h. |
- |
1 |
|
- |
М . |
|
||
|
2 |
( |
\ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 4- у / |
|
||
2. Задача в напряжени |
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
Общий случай. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тензор упругих податливостей нулевого приближения: |
|||||||||
|
j IJKL = J1JKL + ■ |
WKJ J\\\\) |
(V.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Эффективный тензор упругих податливостей: |
|
||||||||
HUKL= ( J ] ; KL) + |
( A ^ ) - |
(JI\KLIJU\0 _ / |
(у .8) |
||||||
|
|
7MI111ill |
0 / 7 11П> |
|
7l111 |
||||
где J)JKL= JIJKL |
для плоской деформации и |
J]JKL= JJJKL |
|||||||
для плоско-напряженного состояния (§ 8 гл. 4). |
|
||||||||
б) |
Все компоненты композита |
|
изотропны. Плоско-деформиро |
||||||
ванное состояние. |
|
|
|
|
|
|
|
|