книги / Механика композиционных материалов

о>1

tON

j

J

Q(a>lt

,M [ /(« 1 *

, ЮлО —

M

w;

co^

— J ]

(“ l>

. . . , <Dw)] фрK ,

, 0)*)

, d(0Ny

<7=1

p =

1,2,

, Af.

(3.9)

После^решения этой системы можно заменить в (3.5)

о)? на опера­

торы (о<7,

1

,

7V и решение задачи

(3.3),

(3.4)

записать

в виде

_

м

^

f< (*. 0

= 2

С,% (“ 1 ..........М

и?,

(3.10)

<7=1

а так как ядро ф<;(£—т)

каждого канонического

оператора

уя мо­

жет быть найдено экспериментально, то

Щ(X, О = 2

СчJ % V ~ т) du° W -

(З .п )

<7=1

0

Описанный метод представляет собой аналитический

метод

ап­

проксимации

в теории

вязкоупругих

композитов.

Если

задачу

теории упругости, соответствующую задаче (3.3), (3.4),

аналити­

чески решить

не удается, можно воспользоваться

методом

чис­

позитов.

Предположим,

что

Его существо заключается в следующем.

заданные

на

границе перемещения

(3.4)

можно представить в

виде

«»(х,

0 =

а =

1 ,2 ,3 ;

/ =

1..........L.

(3.12)

!=i

Положим

теперь Va (t) = 0, / =

2 , 3 , . . . , L;

a Va (0 = 1

и

Ре"

шим соответствующую

задачу

при

различных

наборах

чисел

4 V), 0)2V)' ••• ’ ©Sr» У =

1,

.Г .

Тогда,

воспользовавшись

ап­

проксимацией для каждой компоненты а вектора

у,

м

С&<р, (а,.

, cow), / =

1,2.

, L,

(3.13)

VW = £

<7=1

в каждой точке тела получаем

систему

алгебраических

уравне­

ний

м

VWW=

С® ф, (о/Д

. (0%');

I =

1,

, L; у = 1.

. Г

(3.14)

£

На рис. 66 показана зависимость k(t)

при

следующих

парамет­

рах:

•0,4;

Е1=

10е —

; К, =

Ю6 —

; m =

0, 1;

(3.30)

а =

0,01; 6 = 0,99;

а = 1.

Рассмотрим теперь задачу о слоистой трубе из вязкоупругого

простого композита под действием нагрузки

(6.6.1), показанной

на рис. 27 (с. 177,

|3= я/16). Для такой зада­

чи

может

быть

построено

точное

решение.

Ядро

со(0

для

связующего

было

выбрано

в виде

(3.28), где

а = 0,1;

6 = 0,9; а = 1 .

(3.31)

Аппроксимация (3.13) выбиралась в виде

va — AiaCO -Ь Ага +

'

■+

1+

м

-р2й)

(3.32)

Для определения

неизвестных

коэффициентов

А и,

А2а, А3а,

А 4а, А5а и «плавающих»

параметров

(Зг решалась система семи

алгебраических уравнений (мы отбросили для

простоты

записи

индекс

а ) :

А4

*'> = А ^ п + А2 +

(3.33)

1 + р 1(й(/)

1+ М '-)

№

Е сли в выражении (3.32) зафиксировать один

из

параметров

(3,

например рь оставив плавающим только

то в системе

(3.33)

будет только 6 неизвестных, и она является

линейной. Если

же

оставить «плавающими» оба параметра (3i и

(32, то

система

(3.33)

будет

нелинейной, и ее можно решать методом

итераций.

На

рис. 67 и 68 показаны графики изменения

со

временем

макси­

мальных напряжений ве/р в вязкоупругом слое

(рис. 67) и в упру­

гом слое (рис. 68) слоистой трубы, состоящей

из

5 пакетов (у =

= 1/2)

при различных значениях

параметра

М (3.19). Буквой э

[ & /« Й (ukii - a ki(x)T)},i + X;= 0,

(4.1)

р (х) ср Сх)

*L = [ХГ/ (х) Т.,1, +

Рq + w

-

at

- Г *

[а,7 (х) Rm (икл-

аш (х) Г)]

(4.2)

at

при выполнении граничных условий

и, |s, = lie,

Rijik (х) (ик,1 — « « (х) Т) П/Is,Si,

(aMXj,(x)Tjnt + b w T)Uq = xM

(4.3)

и начальных данных (1.2.33)

при t= 0 :Т — Т°(х).

(4.4)

<т=К(*)6,

(4.14)

то соотношения

(4.13)

примут вид (1.4.48):

<Уц=

[Г (X) — Гф (х) ф (х, е)] е,, +

+

| А" (х )-----[Г (*) — Г, (х) ср (х, е)] j 68,,.

(4.15)

Рассматривая теперь соотношения (4.13) или (4.15) как опе­

раторные

1

<*ц =

е),

(4.16)

можно повторить все выкладки § 2 предыдущей главы.

Тогда для теории

эффективного модуля в случае1 слоистых

вязкоупругих композитов получим задачу

Gii.i +

-X/ — 0»

(4.17)

n, k = Ub

<Ji,n,k = S°,

(4.18)

°V/ =

— бз/^з/) + 0Г3363А / +

Pii + 2Qtj,

(4.19)

где

_

~

Lfi (t

* = j* [7,х (t — т) 6 (т) + L2 {t — г) е33 (т)

т) fl (0, е33,!р2, q2)] drt

о

*33 — J [7.2 (^

Т) ® (Т) “Ь 7.3 (^

Т) е33 (Т)

Lf2(t

т) X

о

X

/ 2 (0, е33, р\ q2)] dr,

Ри'= j

[7.4 (* — т) — 7,f3(t — t) /3 (0, e33,p2, q2)] pu (T ) dr,

(4.20)

0

Q/j =

j

[LB(^ — T) — Lfi(t — т )/ 4(?, e33, p2, q2)]qu {rydr,

0

-а

аргументы

функций

fa, a = l, 2,

3, 4,

зависят от

времени т,

тензоры

р,

q и величины р2, q2 определены

формулами

(7;3.20),

(7.3.21),

|7.3724),

(7.3.25). К (4.17) — (4.20)

следует добавить еще

я

соотношения Коши (1.2.1). Заметим, что функции fa, a = l,2 , 3,4,

Для упрощенной главной

квазилинейной теории

упругости

трансверсально изотропной среды следует положить

W

s

= 0,

(4.21)

/з = /з(р2, <72).

U - W , ? ) ,

(4.22)

t

<*п =

J

{in «

-

г) в (г) +

L2 (/ -

х) е33 (т)-+

- L

[ Ц 0 -

т) -

О

—

1 ,3 0 —

Т) /з ] [е ,1 (т) — е 22 (т)] J d x ,

t

сгаа =

|

( l 2 0

—

т) 6 (т )

+

I *

0 —

т ) е 33 (т ) +

- J

[L 6 (t —

x) —

—

L , 3 ( t —

x ) f t ]

[e22 (т) — ец(т)] j

d x ,

o 33 = j [ L 3 0 — T ) 9 (T ) + L 3 ( t — т ) e 33 (T )] d x ,

( 4 .2 3 )

0

=

j

{ U ( t ~

x )

—

L f 3 ( t

—

x ) /3] e„(T) d x ,

0

<*13 =

j

[ L 3 0 -

T )

-

Z.,4 0

-

T ) / , ] e 13 ( T )

d r,

0

<J23 =

J [^5

T)

Ln (t

т) / 4] e23 (T) dr.

/з = /з ( Р 2) , / 4 = Ы <72) .

(4 .2 4 )

§ 3. О методе численной

реализации упругого решения говорится:

в [84]. Решение задачи о концентрации напряжений в анизо­

тропной пластинке с

отверстием в упругом случае дано

в

[54], в вязкоупругом

— в [2]. Эффективные вязкоупругие

характеристики в плоском случае приведены в [79]. Задача о*

слоистой вязкоупругой трубе под действием локальной

на­

грузки решена в работе [28].

рении граничным условиям

(1.2.9)

« ( Is. = “ ( . 3 ц (Х,~и) п , |z, = S;

( 12)

и начальным данным

при

t =

0 :

(1-3)

К задаче (1.1) — (1.3)

может быть, как и для

квазистатиче-

•ского случая, применена техника осреднения. Прежде

чем

это

сделать, заметим, что

при изучении динамики МДТТ

часто инте­

ресуются характером

распространения плоских

гармонических

волн в неограниченной среде. Для этого рассматриваются

одно­

родные уравнения движения (1.1)

(1.4)