книги / Механика композиционных материалов

где, как и прежде, штрих означает производную по быстрой ко­ ординате £=£з- Уравнения (6.6) в этом случае имеют вид

Тогда систему (6.11) (или (2.30)) можно переписать в виде (6.13)

Ф<Б.ев)

Разрешая (6.14) относительно

где в функциях е33, Q0, сгз3 ((6.19), (6.22)) аргументы опущены. Определяющие соотношения (6.3) можно записать, используя выражения для инвариантов тензоров напряжений и деформаций

в случае трансверсально изотропной среды, в виде

Тогда согласно (2.39) определяющие соотношения нулевого при­ ближения имеют вид

где тензоры р и (/ определяются формулами (3.20), (3.21), а

У 0> = [ я (5) + -j- — е’; вц)-|в + | * ш - ± ■Ф-^ е“) j

1Осредняя соотношения (6.27), получим эффективные опреде­ ляющие соотношения

+ т ( - ^и ) < - — )•

тропными или ортотропными, то, применяя технику осреднения, описанную в § 2, и в этом случае легко получить эффективные определяющие соотношения.

Технику осреднения можно проводить и на основании вариа­

де

то, подставляя разложение (2.6) в (6.31), раскладывая лагран­

где величины, помеченные звездочкой, определены в (6.5).

где

0’23 = 0*23 ( 6 12> 613> 8 23> T ) .

Упражнение 6.6. Дать постановку связанной задачи упрошен­ ной теории термопластичности трансверсально изотропного тела, полагая функцию рассеивания W* в виде

Упражнение 6.7. Дать постановку связанной задачи упрощен­ ной теории термопластичности ортотропного тела, полагая функ­ цию рассеивания W* в виде

Упражнение 6.8. Дать постановку связанной задачи упрощен­ ной теории термопластичности для тела с произвольной анизо­ тропией, выбирая функцию рассеивания в виде

п

с быстро-осциллирующими коэффициентами была предложе­ на Н. С. Бахваловым [7]. Осреднение нелинейных уравнений на основе вариационного принципа дано в [9]. Подробнее слу­ чай линейного упрочнения разобран в [42].

§3. Понятие квазилинейности определяющих соотношений для анизотропных сред введено в' [81]. Существуют и другие подходы к анизотропной теории пластичности, например

в[20, 63].

§4. Описанная теория пластичности, в том числе и упрощенная,

предложена в работе [87].

.§ 6. Метод осреднения для теории малых упругопластических деформаций в вариационной постановке рассмотрен в [42].

сящие от быстрых переменных Таким образом, решение задачи А сводится к решению двух

рекуррентных последовательностей задач. Одна из них (задачи Дв(р), р = 0, 1, 2, ...) состоит в решении краевых задач линейной теории вязкоупругости для анизотропной однородной среды:

причем входные данные определяются из рекуррентных формул

где hijki(t) — компоненты эффективного тензора функций релак­ сации (или ядер релаксации).

Локальные ядра релаксации й операторы hi% t...kr+lt г = 0, 1, . . . определяются из рекуррентной последовательности задач Жв(?)> q=r—1, 0, ..., являющихся задачами линейной теории вяз­ коупругости для неоднородной среды на ячейке периодичности:

(Rilrnl^mtkl..kq+2ll)\l + (RiImkq+2Nmtkl..kq+1)\l +

где все локальные ядра релаксации отрицательного уровня тож­ дественно равны нулю и так же, как и в гл. 4,

Точно так же можно дать постановку задач теории вязкоуп­ ругости в напряжениях Б и В, причем этого добиться можно фор­

мальной заменой локальных функций М(<7) (g) на операторы

M(9)(g) с локальными ядрами ползучести М(<7>(£, t); тензоров уп­ ругих податливостей J на операторы тензоров функций ползучес­

ти 11(g) с ядрами Uijki(l, t), а величин HW на операторы H{q)• Рассмотрим только теорию нулевого приближения.

Для задачи А она заключается в решении соответствующей задачи по теории эффективного модуля

но, зная локальные ядра релаксации Nmnk{l, t), также и микро­ перемещения

0