книги / Механика композиционных материалов

где вектор w удовлетворяет однородным

уравнениям

равнове­

сия и

t ) k , =

— $ N e lk ( $ , t —

x ) d v , . k (x, T )|2i>

(1.18).

О

если в (1.12) имеются кинематические

граничные

условия.

Квазистатическую задачу линейной теории вязкоупругости Б

можно сформулировать в виде

Ецк*(*) + У ц = 0,

(1.19)

ОцП; Ь = S?, (o’,/., + X t) |£ = 0,

(1.20)

где тензор

Ецк (4.3.25)

выражен через

напряжения по

закону

t

_

_

^

е(/ = j П ,ш (х, t — x)d<jkl(r) = Пш (х) ahl,

(1.21)

0

а тензор

Y выражается через объемные

силы

X по формуле

(4.3.8).

Решение задачи (1.19), (1.20) по теории нулевого

приближе­

ния имеет вид

оа =

т,, (х, t) +

(£) Ти ,

(1.22)

ного

модуля,

которая

получается

заменой

в

(1.19),

(1.20)

а на

т, а соотношений (1.21)

— на соотношения

ц = Нцк$!кь

(1-23)

где Hijki(t) — компоненты эффективного тензора функций

пол­

зучести

(или ядер'

ползучести). Для того

чтобы их найти, нужно

определить

локальные

функции

ползучести

MfjPq (£, t)

из

(4.6.20)

— (4.6.22)

с

соответствующим введением

операторов.

Пусть теперь требуется

решить

задачу В

линейной

теории

вязкоупругости в напряжениях

<*/./+*! = о,

%/(*) =

0,

(1.24)

f f i M : = s “ .

(1-25)

где

второе из

соотношений

(1.24)

означает,

что

в

уравнениях

совместности

(1.2.2)

деформации

выражены

через

напряжения

по формуле (1.21).

силы

обладают

потенциалом (4.3.30),

то

мож­

Если

объемные

но

ввести тензор

функций

напряжений

<р (4.3.31)

и для

него

сформулировать задачуаналогично

(4.3.32),— (4.3.35).

Решение

- r L

R T n + (RilmnR l^ n h ),

(1.49)

hlkl(x, t) = (R'kmn N‘o)m„ —

+ 2 Г ^ ,Ут'1/и )т1п+

+ 2 ф ?л'“ + (R'/^M tUn)./).

Упражнение 1.2. Показать, что из (1.45) и (1.46) следует, что

iV(0)m|„ (£, X, t) =

- ri, (х) K V | „ (f. x, ().

(1.50)

Упражнение 1.3. Показать, что из (1.50), (1-47) и (1.48) сле­

дует, что

RiiU?, х, t) =

- r i,(x j£ ('if’ (i, X, О,

(1.51)

а поэтому

л;'* (х, t) =

—г'р, (X) А"'« (х, 0.

(1-52)

Упражнение 1.4. Показать,

что из (1.50) и (1.49) следует, что

для квазипериодической структуры

А" (х, 0 = -

rL.; (х) А'/'"" (/) -

2Г£ (Г) Лй"'м (/) rL Й,

h‘il (х, о

= -

r L (Г) А'*™'1(0 + 2Г<‘ (х) hMk (/)■■

(1.53)

Niik(l,

t ) - ( A Uk(l, t)),

(2.1)

где

t

[ЙГэ!з (R l3m3)

(2.2)

A ik ( l 0 = j

(R ^ L R n :u i) -

(R I^ R iH i)] d\,

0

где под /?;з/з(|, 0

понимаются

ядра, резольвентные по отноше­

нию к ядрам Ri3iz(l, t):

J RiM (t - x) dR73fi (T) =

6,,.

(2-3)

t) =

Riink(l, t) + Rijmsd) [ЯтЗ/З© x

X (Rl3p3)

1(Rp3q3Rq3nk) — Rm3l3(|) Rl3nk\,

(2.4)

откуда определяется эффективный тензор ядер релаксации

I. 0>-

(2.5)

Аналогично имеем для локальных ядер ползучести

I

MpQij (£, t) =

j* (£ — л) DpQij (rj, t) dr\ + 2\ {\DpQij) —

-

y

<|Op«.7 > + ( S2DPQ.7 )),

(2.6)

где

DpQij = GPMGQNПлWJCL(П/CLi/ — (П KLIj) 1{RlJRsH-RSii))-

(2.7)

Тензор ядер ползучести нулевого приближения имеет вид

ГЙ/iz = Пijki (g, t) + TlijMNПMNKL(— ПЯШ + (Пк!/у) 1(П/ypQripQw)),

(2.8)

откуда находится эффективный тензор ядер ползучести

Я ,Л| (0 = < П ?М е.0 > .

(2-9)

«временных» аргумента, например hi,ki{t, т).

с изотропными

одно­

Рассмотрим двухкомпонентный композит

родными компонентами. Индексом 1 будем

снабжать величины,

относящиеся к армировке, а индексом 2 —

к связующему.

Для

случая нерелаксирующего объема имеем

(1.4.41),

(1.4.42)

$ % (() =

/( „ [ М ы + - f - м о

( м л +

М

л —

| - :м ы ) ] .

П<7h(t) =

—^— | Х А / + —

(/)

+ 6//6/S----- j«

а = 1 , 2 ,

(2.10)

где я<х(/) — ядро оператора, обратного к о:

па = 1/(Оа, (Оа =Ra/(3R)'

(2.11)

Д ля решения задач Ж “ (— 1)

в случае таких композитов

мож­

П,т = hiikl (щ, а>2), Hlikl = Hiikl (av ш2),

(2.12)

* //« (0 = £

Rf,i, ife, (<). И „и = £ n !f« Хй, (0.

(2.13)

<7=1

<7=1

Ф(<7) ( 0* %(Q)(t)

зависят только от одного оператора со.

В

приложении VI приведены

эффективные характеристики

простого двухкомпонентного

слоистого

композита.

Из

формул

(VI.4),

(VI.6)

видно, что

для

этого случая

в (2.13)

т = п=^4, и

можно положить

(coi = coi —const):

$U) =

1. Ф(2) =

ш2, ф(3) =

gPi~

1 + ^

2'>

=

(2.14)

Х(1) =

1,

Х(2) =

Я2,

Х3 = gf},=s-

*4 =

gfi4 :-

1+

\

(2-15)

l + f

P4t°2

Для

реслоистого

простого

композита

могут появиться

в

(2.И ),

(2.15) операторы

g fi с другими значениями

р, причем, в си^у того

что точного

аналитического выражения для эффективных

те н з о ­

содержать операторы вида

(2.14),

(2.15). Как

уже указывалось

в § 4 гл. 1, ядра А. А. Илюшина g>(t)

операторов

g ? могут быть

найдены экспериментально.

должны

быть

не §0льше>

Заметим, что числа

т и п в (2.13)

чем число независимых

компонент

тензоров Нцы

и

при

структурной анизотропии данного вида.

выражение опера­

Если композит простым

не является, найти

ров: (Осе, ла, gap (ct= 1, 2),

причем необходимо указать

экспери­

менты для определения ядер этих канонических операторов.

Введем в рассмотрение, например, операторы

Д(р, a) = gip -г ag2p,

Вл(а) =

+ ащ = lim р£ ф , а),

(2.16)

Лп(а )= ,, 1 ^- = 1 ! т 4 - ^ ( Р . ° ) .

(2-17)

Ях ~г QJI2

0-*оо Р

Д»(а)а=

1

аШо

03i

* = K2/.Kr,

(2.18)

ветствующие операторам Л(р, а) и Л„(а).

Пусть пружина,

изображенная

на рис. 63, имеет жесткость k.

К этой пружине последовательно

присоединены образцы

первого

и второго

компонентов композита,

имеющие

отношение

длины

к площади

сечения

соответственно

F\ и F2• Пусть соблюдено ус­

ловие

_1_

(2.19)

k

Тогда связь между

силой Q, растягивающей

образцы, и переме­

Q -

„

1

v

и,

(2.20)

biiti

-j- 62^2

где

K =

2F

,

а =

1,2-

(2.21)

—

Если теперь задать перемещение в виде

u= u0h(t),

(2.22)

где h(t) — единичная функция Хевисайда, и замерять

изменение

силы со временем <2(0, то

A ,{ a ) (t) = —

Q(t).

(2.23)

Uo

Рис. 63.

Рис. 64.

k

\/Ci + 1AV, са =

Т

»

а

1» 2*

ka

9Ка

(2.24)

С1/&1 =

сг/Ьг=

р,

где величины

Ьа определены в

(2.21),

связь

между перемещением