книги / Механика композиционных материалов

6 =

2(1—у)

2v'

-<Гзз>

2v'

~ .

1

ак

—

в + —

p = p(P,Q),

q= q(P ,Q ),

(4.7)

а вместо (4.3)

—

0 =

Е

Е'

3‘

Е'

Е'

(4.8)

р = р(Р),

q =q(Q ).

В этом случае функции р и q можно

аналогично

(4.4) выра-

зить в следующем виде:

Р

—

(1

— П)Р,

<7 =

—

( 1 - -К) Q,

(4.9)

20

’

4

2G'

'

где функции П(Р, Q), К (Р, Q) или П (Р),

К (Q)

равны нулю в уп­

ругой области.

«каса­

Упражнение 4.1. Показать, что для положительности

тельной податливости» в случае жесткой

характеристики

по Р и

Q достаточно, чтобы

О <

<

П — £)3 < П + Р —^ — f- Z)3,

дР

(4.10)

0 < n 2 < K - D 1< K + Q - ^ - + D1,

oQ

причем для простейшей теории следует положить

C . - V T

.

дП

= 0.

(4.11)

Упражнение 4 .2 . Показать, что для упрощенной трансверсаль­

ной изотропной

теории

пластичности

связь между напряжениями

и деформациями описывается соотношениями

е11—е23

°11 =

(^4 Н" ^7) 0 +

^5633 “I

“

Pll»

Рп Е

2

0*22 =

(^4 +

^7) ^ +

^5е33 +

~Р22*

^22---

®22—6ц

<7зз =

^5® +

^зез;

3 =

еп

+ е2!

(4.12)

W +w = Oijeu.

(4.23)

построить лагранжиан

L =

J W (и) dV — J X tu,dV —

f S°u,d2

(4.24)

V

V -

Ё2

и кастильяниан

ЗС= — J w(a) dV +

j a;jnjU0.d2

(4.25)

и с их помощью сформулировать

вариационные

принципы Ла­

гранжа и Кастильяно.

Упражнение 4.3. Доказать, что обобщенное решение задачи А

имеет

не более

одного

решения,

если

выполняются условия

(3.100)

или (3.101).

имеет

не более одного решения,

если

выполняются

условия

(3.103)

или (3.104).

Упражнение 4.5. Показать, что для потенциальной теории при

выполнении условий (3.100) или

(3.101)

лагранжиан

(4.24) в

W = ^

C

^ i . . . I nk ni

(4.26)

i

; *л/’

(4.27)

/

суммирование

где kij

— неотрицательные

числа,

п

и

а в

(4.27) -

в (4.26)

происходит по таким

/,

что

= г 4- 1,

п

Я

по таким /, что

&t/ = r + l ,

где

г — фиксированное

неотри-

дательное число.

Упражнение

4.8. Показать,

что

теория

пластичности для

трансверсально

изотропной среды

следует

из

обшей

теории

6 , / 2— 633, /3 — р,

/4 —

]/"2 р,

Pij = ~

6 / 36 j 3) ,

p t-/^ =

6ззб(-3б / 3 ,

(4.28)

Pi? = Pen Pi? =

2<7a-

§ 5. Модельные установочные эксперименты

Для

определения

материальных

функций

деформационной

теории

пластичности

трансверсально

изотропной и

ортотропной

сред в принципе можно указать набор простейших

эксперимен­

тов, часть из которых описана в § 6 гл. 1 .

лать

ее «серьезной» (см. гл. 1 )

в рамках возможных экспери­

ментов.

например,

тонкостенный

цилиндрический

обра­

Рассмотрим,

зец

радиуса R,

толщиной

б

(рис. 8,

с. 41), который

может

кой трансверсальной изотропией (ось трансверсальной

изотропии

направлена по радиусу г).

хъ= г

и,

кроме

Будем считать, что по радиусу направлена ось

того, х\= z (по оси

цилиндра), *2= 0, т. е-

0 > = 0 *33 , 0*0 =

0 2 2 , а 2 = СГП

, (Угв = <*23>

*rz =

а 13>

<*вг =

СГ1 2 .

( 5 . 1 )

Для упрощенной теории (4.1), (4.7) требуется

найти упругие пос­

тоянные Х3, U, A*, fo, Яд и функции Р(р,

q)t Q(p,

q) (3.28).

1) Кручение образца.

Задаем крутящий момент Мкр, т. е.

и снимаем показания ив. Тогда, в силу того что

2еге = --------£ -•

9 = 1 е'в1.

Q = K o | ,

(5.3).

можно построить кривую

|Ore | ( |еГ01)

(верхняя кривая

на

рис.

61,

помеченная р = 0 ). Из этого

графика

находим

функцию

Q(0,

q) и модуль Яд. Для

«простейшей»

теории (4.3),

(4.8) таким

образом можно найти функции Q(q) и q(Q).

2) Растяжение образца.

Растянем образец силой F0:

«г

Fo

(5.4)

%nR6

и будем замерять величины ez, е0

и, если

возможно,

ег

(т. е. из­

менение толщины образца). Тогда из (4.7) имеем

0 = е, +

е0 =

Е

в2,

е33 =

—

-^-сг2,

(5.5)

1—v

(5.6)

где

Р =

/ 2

I

р =

/ 2

(5.7)

'Определив из (5.5) константы 1—V и ----- строим согласно

(5.6), (5.7) графики функции Р(р)

или р(Р)

(верхняя кривая на

рис. 62, *7= 0), откуда определяем

модуль

(а

значит,

Е и

l+ v

С

Р=0

Т'Роо

1

/ я

1

tqd^2X9

1

9s

\

C l=

---------Ь

_ £ = ! . __________ 1

(5.25)

^зН"2Я6

ах

(ааг-l^aj—l_аа,—l^оц—lj’

Ся-

fo

b*'-1__________ 1_________

Я3 + 2 Я5

a2

(aai~ lbat~ l__aa*~lbai~ 1)'

В случае плоской деформации имеем

611 = 612 = 813= 0.

(5.26)

(Если выбрать

е3з= е1з=б2з = 0,

то

упрощенная теория

будет

описывать плоскую деформацию для изотропной среды).

В этом случае имеем для упрощенной теории

р

<*22 =

2Р

(^4 “t" ^7) е22 “Ь ^Бе33 Н----— ^22»

<*33 — ^Бе22 +

^Зе33»

<*23--------е2!

(5.27)

<*11

£(^4 "Ь ^ 7 )

2р

| 6 3 2

^бе33>

<*12 —

<*13 — О*

причем все

деформации

и напряжения зависят

только от

х2, л:3,

' — 622»

р — ■

Г . .

- Г "

|ff|.

Р = Ц

- |вг« -

<7= | 62! *

Q =

1<*гз I •

(5.28)

реннего и внешнего равномерного давления:

<*г \г—а—

fa>

<*r |г=Ь

(5.29)

где

<*38 — <*г> <*22 — <*в>

<*11 — <*z*

<*23 — Огв •

(5.30)

Единственное в этом случае уравнение

равновесия

имеет вид

+ aS

* = 0 .

(5.31)

dr

Если труба является трансверсально несжимаемой:

езз= 0,

б22= 0»

(5.32)

то она жесткая. Заметим,

что так будет

для любого

трансвер­

Для сжимаемой трубы имеем соотношения

« г = Я 5- ^ +

Х »-^ -,

<уе = ( \ + Я7) —

du

,

/

2~

+ » , - £ ■

+

■

-Р(р). (5.33)

г

dr

г

аг

Р(р) = 2Х, (1 — я (р))р,

(5.35)

и (г) = СхгР + Саг"Р — ^

г-Р j* Г- 1* 2Р dr J я

j Ц (р) р -1"Р ф ,

3

а

а

C l = ~k [“ ' е' 1 V b - W 9- 1J

-

3

a

a

b

C2=

f

up-P'^dp) + 4 1 ( ^ -

«2

J

A3

a

a

a

ф =

( V +

Р^з) (aP-^-P-1*— fl-P-^P-1),

Ф =

(Xe -

РЯ3) (aP-16-P-1 -a -P -i^ P -1).

Таким образом,

задача свелась к рекуррентным квадратурам.