Курсовая
.docxМинистерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Ижевский Государственный Технический Университет
им. М. Т. Калашникова
Факультет «Информатика и вычислительная техника»
Кафедра «Вычислительная техника»
Курсовая работа
по дисциплине «Схемотехника ЭВМ»
на тему «Минимизация и факторизация булевой функции»
вариант № 21-11.
Выполнил: |
студент гр. Б06-781-2з Чернышев М.С. ______________
|
Проверил: |
Профессор д.т.н. Гитлин В.Б. |
|
_____________ |
Ижевск 2014
Оглавление
1.Минимизация исходного состояния 3
2.Факторизация покрытия и выбор функциональной схемы ячейки минимальной стоимости 7
3.Построение схемы в универсальном базисе и в базисе, определяем заданием. 14
4.Определение исходных данных для расчёта принципиальной схемы логического элемента 15
5.Список литературы 17
-
Минимизация исходного состояния
Пусть частично определённая логическая (переключательная) функция задана кубическими комплексами
,
на котором функция принимает значение, равное единице (F = 1), и
,
на котором функция может принимать как единичное, так и нулевое значение (F = d). Говорят, что функция F на множестве N не определена.
|
000 |
010 |
110 |
100 |
|
101 |
111 |
011 |
001 |
000 |
d0 |
|
|
d0 |
d0 |
|
|
d0 |
|
010 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
110 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
011 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция имеет шесть переменных, поэтому при её минимизации используем карту Карно на шесть переменных. Минимальное покрытие достигается в том случае, если значения функции на наборах 000000, 001000 100000, 101000 доопределить до нуля.
Схема, реализующая это покрытие.
Стоимость схемы:
Оценим выигрыш в стоимости, полученный за счёт минимизации. Стоимость схемы до минимизации можно определить непосредственно по исходному покрытию L:
.
Выигрыш по стоимости составит
.
Минимальное покрытие, имеет вид:
.
-
Факторизация покрытия и выбор функциональной схемы ячейки минимальной стоимости
Еще раз подчеркнём. Факторизация не обязательно снижает стоимость схемы. Ее основная задача – уменьшение коэффициента объединения по входу логических элементов путём перехода от двух уровневых схем к многоуровневым. При этом изменяется стоимость схемы, изменяется количество используемых в схеме логических элементов, увеличивается число ступеней, повышается время прохождения сигнала от входа до выхода и снижается быстродействие. Необходимость и глубина выполнения факторизации определяются разработчиком.
В рассматриваемом примере используем второй метод факторизации. Запишем минимальное покрытие, поученное после минимизации в виде ДНФ:
.
Обозначим термы функции как X1, X2, X3, X4, X5, X6 и заменим переменные их порядковыми номерами:
Составим таблицу пересечений термов. Выпишем общие части термов и найдём экономию, получаемую после их вынесения:
|
X1 |
X2 |
X3 |
X4 |
X5 |
- |
|
|
|
|
|
5 |
- |
|
|
|
|
5 |
5 |
- |
|
|
|
5 |
3,4,5 |
- |
|
||
5 |
5 |
5 |
- |
||
- |
- |
Общие части Z1, Z4, и Z5 дают экономию на 3 входа. Вынесем Z5. После вынесения вверх конъюнкции Z5 выражение для функции F можно записать как:
.
Эта функция может быть реализована при помощи схемы.
Исходное множество X1,X2,X3,X4,X5,X6 разбивается на два подмножества: X31 , X41 и X1, X2, X5, X6, Z5. Дальнейшее вынесение вверх возможно только по отдельности в каждом из множеств.
Проведём вынесение вверх для множества X1 , X2 , X5 , X6 , Z5.
Составим таблицу пересечений термов. Выпишем общие части термов и найдём экономию, получаемую после их вынесения:
|
X1 |
X2 |
X5 |
X6 |
- |
|
|
|
|
5 |
- |
|
|
|
5 |
- |
|
||
- |
- |
- |
||
5 |
5 |
5 |
3,4 |
Вынесем Z9,как дающее максимальную экономию, на данном этапе. После вынесения вверх конъюнкции Z9 выражение для функции F можно записать как:
.
Исходное множество X1, X2, X5, X6, Z5 разбивается на два подмножества: X21 , X51 и X1, X6, Z5, Z9.
Проведём вынесение вверх для множества X1 , X6 , Z5, Z9.
Составим таблицу пересечений термов. Выпишем общие части термов и найдём экономию, получаемую после их вынесения:
|
X1 |
X6 |
Z5 |
- |
|
|
|
- |
- |
|
|
5 |
3,4 |
- |
|
5 |
- |
5 |
Вынесем Z13 на данном этапе. После вынесения вверх конъюнкции Z13 выражение для функции F можно записать как:
Исходное множество X1 , X6 , Z5, Z9 разбивается на два подмножества: X61 , Z51 и X1, Z9, Z13.
Проведём вынесение вверх для множества X1, Z9, Z13.
Вынесем Z14 на данном этапе. После вынесения вверх конъюнкции Z13 выражение для функции F можно записать как:
Из схемы следует, что факторизация уменьшила максимальное значение коэффициента объединения по входу до трёх, общее число входов до двадцати трёх и количество элементов увеличилось до десяти. Число уровней схемы при этом возросло до пяти.
-
Построение схемы в универсальном базисе и в базисе, определяем заданием.
Перевод в базис ИЛИ-НЕ.
Все элементы булева базиса заменяем элементами ИЛИ-НЕ. Переменные, поступающие на входы элементов И исходной схемы, инвертируем. Переменные, поступающие на входы элементов ИЛИ исходной схемы, оставляем без изменений. Так как последним элементом исходной схемы является элемент ИЛИ, то на выходе схемы устанавливаем инвертор.
-
Определение исходных данных для расчёта принципиальной схемы логического элемента
Исходными данными для расчёта принципиальной схемы логического элемента являются тип схемы элемента, технические условия, коэффициент объединения по входу и коэффициент разветвления по выходу.
-
Тип схемы логического элемента и технические условия на элемент указываются в задании на курсовой проект.
В резисторно-транзисторных логических схемах (РТЛ) логические функции реализуются на резисторах R1, а транзистор выполняет функции инверсии и формирования сигнала. Будем рассматривать вариант логической схемы РТЛ, предназначенный для выполнения операции ИЛИ-НЕ в позитивной логике.
Достоинством схем РТЛ является малая стоимость, небольшие габариты, отсутствие дефицитных деталей и простота их реализации в гибридных интегральных структурах. Но эти схемы обладают низким быстродействием из-за возможного глубокого насыщения транзистора и низкой скорости перезаряда паразитных емкостей. Применение укоряющих форсирующих емкостей практически невозможно, так как переходные процессы в этих емкостях могут привести к ложным переключениям транзистора
Схема 11
-
Коэффициент объединения по входу m определяется по функциональной схеме, построенной в универсальном базисе.
Для одноступенчатых элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ коэффициент m равен максимальному количеству входов одного элемента. Поэтому определяем коэффициент объединения по входу как m = 3.
-
Коэффициент разветвления по выходу n определяют исходя из предположения, что сигналы на входы логических элементов разработанной схемы поступают с выходов таких же логических элементов. Разрабатываемые логические элементы не имеют инверсии на входах. Для выполнения инверсии входных переменных необходимо дополнительно устанавливать инверторы.
К шине подключено три входа со стороны логических элементов. Поэтому определяем коэффициент разветвления по выходу как n = 3.
-
Список литературы
-
Гитлин В.Б. Методические указания по выполнению курсового проекта по дисциплине "Схемотехника": учебное пособие. – Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2012.
-
Гитлин В.Б., Казаков В.С. «Введение в схемотехнику электронных вычислительных машин: учебное пособие» - Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2008 – 584 с.