Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 клики и независимые множества

4.16. Клики и независимые множества

Множество вершин M графа G=(V,E) называется кликой, если каждая пара вершин из этого множества смежны. Подграф графа G, построенный на множестве вершин M, являющимся кликой, представляет собой полный подграф.

Обычно в графе можно найти несколько клик, например, каждая пара смежных вершин является кликой. Клика называется максимальной, если она не является собственным подмножеством никакой другой клики. В максимальную клику нельзя добавить ни одной вершины графа так, чтобы полученное множество было кликой. Максимальных клик в графе может быть несколько. Различные максимальные клики могут не пересекаться или находиться в общем положении, могут содержать одинаковое или различное число вершин. В графе, диаграмма которого представлена на рис.4.46, максимальных клик шесть: {1,2,5}, {2,3,6,7}, {3,4,7}, {5,6,2}, {5,8}, {7,8}.

8

Рис.4.46. Диаграмма графа

В полном графе есть только одна максимальная клика, состоящая из всех вершин графа.

Найти одну из максимальных клик можно по следующему алгоритму.

Алгоритм 4.15 поиска одной из максимальных клик.

Вход: граф G=(V,E).

Выход: M – максимальная клика.

1. M:={x}, xV;

2. V’:=V- ;

3. Пока V’≠ выполнять п.4;

4. M:=M{x}, xV’; V’:=V’- ;

5. M – максимальная клика;

6. Конец.

В этом алгоритме на первом шаге в множество M включается одна из вершин графа. На втором шаге определяется множество вершин V’, элементы которого могут быть включены в формируемую клику M. На четвёртом шаге вершина из множества V’ добавляется в M и V’ пересчитывается.

Все максимальные клики можно найти, используя метод поиска с возвращением.

1 5

2

3 4

Рис.4.49. Диаграмма графа

Существует три алгоритма для поиска максимальной клики близкой к наибольшей, но мне лень их тут печатать.

Во втором алгоритме в исходном состоянии множество M пусто и на каждом шаге добавляется в него вершина наибольшей степени, смежная всем вершинам этого множества. Если на некотором шаге не найдётся вершины, которую можно добавить в множество M, то множество M содержит максимальную клику.

Множество вершин M графа G=(V,E) называется независимым, если никакие две вершины из этого множества не смежны. Независимое множество является некоторой противоположностью клики.

Граф называется дополнением графа G=(V,E), если в нём пара вершин смежны только в том случае, если эти вершины не смежны в графе G. Независимое множество вершин графа G=(V,E) представляет собой клику в графе и клика графа G=(V,E) представляет собой независимое множество в графе .

Независимое множество называется максимальным, если оно не является собственным подмножеством ни какого другого независимого множества. Максимальное независимое множество, содержащее наибольшее количество вершин по отношению ко всем другим максимальным независимым множествам, называется наибольшим. Для поиска максимальных и наибольших независимых множеств в графе G могут применяться рассмотренные выше алгоритмы поиска максимальных и наибольших клик в графе .