Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 поиск в глубину и в ширину

4.11. Поиcк в орграфе

Задача 1. Система состоит из конечного числа объектов. Между некоторыми из них установлены одно- или двусторонние каналы связи. Определить, каким объектам системы может передать сообщение по каналам связи заданный объект.

Решение. Рассматриваемую систему можно представить орграфом, в котором вершины соответствуют объектам, а дуги – каналам связи. Объект, соответствующий вершине v_i, может передать сообщение объекту, соответствующему вершине v_j, если в орграфе существует путь из v_i в v_j, т.е. если вершина v_j достижима из v_i. Пусть заданному объекту соответствует вершина v_i. Тогда для решения задачи необходимо найти все вершины орграфа, достижимые из v_i. Процесс нахождения вершин, достижимых из заданной, называется поиском в орграфе.

Одним из методов поиска в орграфе является поиск в глубину. Порядок “посещения” вершин при поиске в глубину определяется следующими правилами:

1. Посещаем начальную вершину v_i и считаем её текущей.

2. Если v_t – текущая вершина, v_j – вершина, смежная вершине v_t и ещё не посещалась, то посещаем её и считаем текущей.

3. Если исходная вершина v_i – текущая вершина и все смежные с ней уже посещались, то поиск заканчивается.

4. Если v_t – текущая вершина и все смежные с ней уже посещались, то текущей считаем вершину, из которой пришли в вершину v_t.

Процесс поиска в глубину можно представить как построение ориентированного дерева, корнем которого является начальная вершина орграфа, остальные вершины дерева – вершины орграфа, достижимые из начальной. Дуги дерева соответствуют дугам орграфа, по которым осуществлялось “движение” во время поиска. На рис.4.28 представлен орграф, а на рис.4.29 – дерево поиска в глубину с начальной вершиной 1. Нижний индекс около номера вершины дерева определяет порядок посещения вершин.

Для программной реализации метода поиска в глубину можно использовать рекурсивный или итеративный алгоритм. В алгоритмах используется множество V’ вершин, достижимых из начальной. В исходном состоянии оно содержит только начальную вершину. В итеративном алгоритме для запоминания вершин, предшествующих текущей, используется стек. Дерево поиска можно сохранить в массиве T, количество элементов которого равно количеству вершин орграфа. Элемент T_i представляет собой вершину, предшествующую вершине i в дереве.

Если вершина i – корень дерева, то T_i=0. Если вершина i недостижима из начальной, T_i=-1. В исходном состоянии элемент массива T, соответствующий начальной вершине, равен 0, а все остальные равны -1.

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Рис.4.28. Диаграмма графа

1₁

2₂ 4₈

3₃ 7₉

5₄

6₅ 8₆

9₇

Рис.4.29. Дерево поиска в глубину

Рекурсивный алгоритм 4.9 (рис.4.30) поиска в глубину.

Вход: v – текущая вершина.

Выход: последовательность вершин орграфа в порядке их посещения в процессе поиска в глубину (начальная вершина выводится перед первым обращением);

T – дерево поиска в глубину.

Глобальные параметры: V’ – множество вершин, достижимых из начальной.

Поиск в глубину(v)

xГ(v)-V’

x

V’ :=V’{v}

T_x := v

Поиск в глубину( x)

Конец

Рис.4.30. Рекурсивный алгоритм поиска в глубину

Итеративный алгоритм 4.10 (рис.4.31) поиска в глубину.

Вход: v –начальная вершина.

Выход: последовательность вершин орграфа в порядке их посещения в процессе поиска в глубину;

T – дерево поиска в глубину.

Поиск в глубину(v)

v

V’ :={v}

T_v := 0

поместить

v в стек

v:=верх стека

+

i=k

x

V’ :=V’{v}

извлечь из стека

T_x := v

поместить

x в стек

стек пуст

Конец

Рис.4.31. Итеративный алгоритм поиска в глубину

Задача 2. Система состоит из конечного числа объектов. Между некоторыми из них установлены одно- или двусторонние каналы связи. Определить пути передачи сообщения по каналам связи от заданного объекта ко всем достижимым, содержащие минимальное число промежуточных объектов.

Решение. Рассматриваемую систему можно представить орграфом, в котором вершины соответствуют объектам, а дуги – каналам связи. Пути передачи сообщения от заданного объекта ко всем достижимым можно представить деревом поиска. Поиск в глубину не позволяет найти пути, содержащие минимальное число промежуточных объектов. Для нахождения таких путей используется поиск в ширину.

Порядок посещения вершин при поиске в ширину определяется следующими правилами:

1. Посещаем начальную вершину v_i и считаем её текущей.

2. Если v_t – текущая вершина, Г(v_t) – множество вершин, смежных с v_t, то вершины из множества Г(v_t), которые ещё не посещались, последовательно посещаем, а вершину, которую посетили вслед за v_t, считаем текущей.

3. Если v_t – последняя вершина, которая посещалась при поиске, является текущей и все вершины, смежные с ней, уже посещались, то поиск заканчивается.

Дерево поиска в ширину с начальной вершиной 1 для орграфа (рис.4.28), представлено на рис.4.32. Нижний индекс около номера вершины дерева определяет порядок посещения вершин.

1₁

2₂ 4₃ 5₄

3₅ 7₆ 6₇ 8₈

9₉

Рис.4.32. Дерево поиска в ширину

При программной реализации метода поиска в ширину для запоминания порядка посещения вершин используется очередь, а множество V’ – для хранения вершин, достижимых из начальной. Дерево поиска в ширину можно сохранить в массиве T, в котором элемент T_i представляет собой вершину, предшествующую вершине i в дереве.

Алгоритм 4.11 (рис.4.33) поиска в ширину.

Вход: v –начальная вершина.

Выход: последовательность вершин орграфа в порядке их посещения в процессе поиска в глубину;

T – дерево поиска в ширину.

Поиск в ширину(v)

v

V’ :={v}

T_v := 0

поместить

v в очередь

v:=элемент из очереди

xГ(v)-V’

x

V’ :=V’{v}

T_x := v

поместить

x в очередь

очередь пуста

Конец

Рис.4.33. Алгоритм