Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 Центры и медианы во взвешенном орграфе

.docx
Скачиваний:
61
Добавлен:
11.03.2015
Размер:
19.61 Кб
Скачать

4.15. Центры и медианы во взвешенном орграфе

Определим для каждой вершины vi взвешенного орграфа число so(vi) как максимум среди кратчайших расстояний от вершины vi до каждой вершины орграфа, число st(vi) как максимум среди кратчайших расстояний до вершины vi от каждой вершины орграфа и число sot(vi) как сумму чисел so(vi) и st(vi): sot(vi)=so(vi)+st(vi). Число so(vi) называется числом внешнего разделения вершины vi, число st(vi) - числом внутреннего разделения вершины vi и число sot(vi) - числом внешне-внутреннего разделения вершины vi.

Вершина с минимальным числом внешнего разделения называется внешним центром, вершина с минимальным числом внутреннего разделения называется внутренним центром и вершина с минимальным числом внешне-внутреннего разделения называется внешне-внутренним центром.

Определим для каждой вершины vi взвешенного орграфа число fo(vi) как сумму кратчайших расстояний от вершины vi до каждой вершины орграфа, число ft(vi) как сумму среди кратчайших расстояний до вершины vi от каждой вершины орграфа и число fot(vi) как сумму чисел fo(vi) и ft(vi): fot(vi)=fo(vi)+ft(vi). Число fo(vi) называется внешним передаточным числом вершины vi, число ft(vi) – внутренним передаточным числом вершины vi и число fot(vi) - внешне-внутренним передаточным числом вершины vi.

Вершина с минимальным внешним передаточным числом называется внешней медианой, вершина с минимальным внутренним передаточным числом называется внутренней медианой и вершина с минимальным внешне-внутренним передаточным числом называется внешне-внутренней медианой.

На рис.4.44 представлен взвешенный орграф, матрица D кратчайших расстояний, числа внешнего so, внутреннего st и внешне-внутреннего sot разделения, а так же внешние fo, внутренние ft и внешне-внутренние fot передаточные числа вершин орграфа. В этом орграфе вершины 2 и 5 являются внутренними центрами, вершины 3 и 5 – внешним центром, вершина 5 – внешне-внутренним центром, вершины 1 и 2 – внутренней медианой, вершина 3 – внешней медианой и вершины 1, 2 и 6 –внешне-внутренней медианой.

so fo

1

2

3

5

6

1

2

2

3

4

5

st 17 18 10 13 10 15

6

4

ft 42 42 26 49 36 36

4

sot 28 28 22 31 20 28

fot 68 68 70 115 70 68

Рис.4.44. Определение центров и медиан орграфа

Рассмотрим задачи, решение которых сводится к нахождению центров и медиан взвешенного орграфа.

Задача 1. Несколько жилых районов связаны дорожной сетью. Необходимо разместить в одном из них пожарное депо так, чтобы самый отдалённый пункт находился от него на минимально возможном расстоянии.

Решение. Построим взвешенный орграф, в котором вершины соответствуют районам, дуги соответствуют дорогам между районами, вес дуги – длина дороги. Пожарное депо можно разместить в районе, который соответствует вершине орграфа, являющейся внешним центром.

Задача 2. Несколько жилых районов связаны дорожной сетью. Необходимо разместить в одном из них больницу так, чтобы доставка пациента в больницу машиной скорой помощи из самого отдалённого района занимало минимально возможное время.

Решение. Построим взвешенный орграф, в котором вершины соответствуют районам, дуги соответствуют дорогам между районами, вес дуги – время проезда машины скорой помощи по соответствующей дороге. Больницу можно разместить в районе, который соответствует вершине орграфа, являющейся внешне-внутренним центром.

Задача 3. Потребители обслуживаются товарами со склада. Потребитель посылает машину на склад, она загружается товаром и возвращается. Необходимо разместить склад на территории одного из потребителей так, чтобы общее расстояние, проходимое транспортом, было бы минимально возможным.

Решение. Построим взвешенный орграф, в котором вершины соответствуют потребителям, дуги соответствуют дорогам между потребителями, вес дуги – длина дороги. Склад можно разместить на территории потребителя, который соответствует вершине орграфа, являющейся внешне-внутренней медианой.

Задача 4. Электросеть должна охватывать заданные районы. Необходимо разместить в одном из них подстанцию и протянуть линии электропередач от подстанции к каждому району так, чтобы суммарная длина проводников была минимально возможной.

Решение. Построим полный взвешенный граф, в котором вершины соответствуют районам, а вес ребра – расстоянию между соответствую-щими районами. Подстанцию можно разместить в районе, который соответствует вершине орграфа, являющейся медианой.