Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 база и антибаза

Базой B орграфа G называется такое множество вершин, которое удовлетворяет следующим двум условиям:

1) каждая вершина орграфа G достижима хотя бы из одной вершины множества B;

2) в B нет вершины, которая достижима из другой вершины множества B.

Из этих двух условий следует, что:

1) в множестве B нет двух вершин, которые принадлежат одной и той же компоненте сильной связности орграфа G;

2) в любом орграфе без циклов существует единственная база – она состоит из всех таких вершин орграфа, полустепени захода которых равны нулю.

Конденсация G^* орграфа G не содержит циклов, поэтому имеет единственную базу B^*, состоящую из вершин орграфа G^*, полустепени захода которых равны нулю. Базы орграфа G можно строить так: из каждой компоненты сильной связности, соответствующей вершине базы B^* конденсации G^* надо взять по одной вершине.

Базой орграфа G^* (рис.4.38) является множество B^*={V₁,V₃}, а базами орграфа G (рис.4.35) являются множества B₁={1,5}, B₂={2,5} и B₃={6,5}.

Антибазой орграфа G называется такое множество вершин, которое удовлетворяет следующим двум условиям:

1) из любой вершины орграфа G достижима хотя бы одна вершина множества ;

2) в нет вершины, из которой достижима другая вершина множества .

Из этих двух условий следует, что:

1) в множестве нет двух вершин, которые принадлежат одной и той же компоненте сильной связности орграфа G;

2) в любом орграфе без циклов существует единственная антибаза – она состоит из всех таких вершин орграфа, полустепени исхода которых равны нулю.

Конденсация G^* орграфа G не содержит циклов, поэтому имеет единственную антибазу ^*, состоящую из вершин орграфа G^*, полустепени исхода которых равны нулю. Антибазы орграфа G можно строить так: из каждой компоненты сильной связности, соответствующей вершине антибазы ^* конденсации G^* надо взять по одной вершине.

Антибазой орграфа G^* (рис.4.38) является множество ^*={V₄,V₅}, а антибазами орграфа G (рис.4.35) являются множества ₁={7,10} и ₂={7,11}.

Задача. Руководство организации должно иметь возможность получать информацию от каждого сотрудника и иметь власть над каждым сотрудником. Необходимо сформировать эффективное руководство для управления организацией из наименьшего числа людей.

Решение. 1. Построим орграф G=(V,E), в котором вершины соответствуют членам организации и (v_i,v_j)E, если член организации, соответствующий вершине v_i, имеет возможность непосредственно связываться с членом организации, соответствующим вершине v_j. Наименьшее число лиц, которые знают или могут получать все сведения об организации, образуют одну из антибаз орграфа G.

2. Построим орграф G’=(V,E’), в котором вершины соответствуют членам организации и (v_i,v_j)E’, если член организации, соответствующий вершине v_i, имеет непосредственное влияние на члена организации, соответствующего вершине v_j. Наименьшее число лиц, имеющих власть над каждым сотрудником, образуют одну из баз B’ орграфа G’.

3. Руководство может представлять собой множество B’ наименьшей мощности.