Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 деревья

4.8. Деревья

Связный ациклический граф называется деревом. Несвязный ациклический граф называется лесом. Лес представляет собой множество деревьев. Дерево и лес обладают следующими свойствами:

1) количество рёбер любого дерева на единицу меньше количества вершин;

2) количество рёбер любого леса меньше количества вершин на количество деревьев в нём;

3) любые две вершины, принадлежащие различным деревьям – не смежны;

4) любую пару вершин дерева соединяет единственная простая цепь;

5) если в дереве любую пару несмежных вершин соединить ребром, то полученный граф будет содержать ровно один цикл;

6) если две вершины леса, принадлежащих различным деревьям, соединить ребром, то количество деревьев уменьшится на единицу.

Вершина дерева, степень которой равна единице, называется висячей вершиной или листом. Центральная вершина дерева (эксцентриситет которой равен радиусу) называется корнем.

Если из дерева D, имеющего радиус r, удалить все его листья, то получим дерево D₁, имеющее радиус r-1 и те же самые корни. Продолжая процесс, получим дерево с одной либо с двумя вершинами, которое имеет те же корни, что и исходное дерево, следовательно, любое дерево имеет один, либо два корня.

На рис.4.20 представлена диаграмма дерева, в котором вершины 1, 3, 5, 6, 8, 9 и 11 являются листьями, а вершины 4 и 7 – корнями.

1 6 8

2 4 7 10 11

3 5 9

Рис.4.20. Диаграмма дерева

Каждому дереву с n вершинами можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность длины n-2, элементы которой берутся из множества вершин. Получить такую последовательность для заданного дерева, множество вершин которого V={1, 2,…, n}, можно следующим образом:

1. Выполнить п.2 n-2 раза.

2. Найти лист с минимальным номером, исключить его, вершину, смежную с ним, занести в последовательность.

Рассмотрим дерево, диаграмма которого изображена на рис.4.20. Выбираем у него лист с наименьшим номером. Это вершина 1. Удалим её вместе с инцидентным ребром и вершину 2, смежную с ней, запишем на первое место последовательности. После этого листом с наименьшим номером будет вершина 3. Удалим её вместе с инцидентным ребром и вершину 2, смежную с ней, запишем на второе место последовательности. Далее листом с наименьшим номером будет вершина 2. Удалим её вместе с инцидентным ребром и вершину 4, смежную с ней, запишем на третье место последовательности. Продолжая выполнять такие действия, получим для данного дерева определённую единственным образом последовательность (2,2,4,4,4,7,10,10,10).

Каждая последовательность P длины n-2, элементы которой берутся из множества вершин, однозначно определяет дерево с n вершинами. Построить такое дерево для заданной последовательности P можно следующим образом:

1. Составить множество N натуральных чисел (1,2,…,n).

2. i:=1.

3. Выполнять п.4, пока |N|>2.

4. Найти в множестве N минимальное число m, которого нет в последовательности P. {m,P_i} – ребро дерева. Число m удалить из множества N, а P_i – из последовательности P. i:=i+1.

5. Последнее ребро образуется оставшимися элементами множества N.

Построим дерево, которое определяется последовательностью P=(4, 2,4,7,7,7,10,11,11). В этой последовательности 9 элементов, поэтому в дереве будет 11 вершин. Составим множество N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, 11}. Найдём в этом множестве минимальное число, которого нет в последовательности P. Это число 1. Оно с первым элементом последовательности образует ребро {1,4}. Удалим из множества N число 1, из последовательности P – число 4 и получим P=( ,2,4,7,7,7,10,11,11) и N={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Теперь снова найдём в множестве N минимальное число, которого нет в последовательности P. Это число 3. Оно со вторым элементом последовательности образует ребро {3,2}. Удалим из множества N число 3, из последовательности P – число 2 и получим P=( , ,4,7,7,7,10,11,11) и N={2,4,5,6,7,8,9,10,11}. Продолжая выполнять такие действия будем получать новые рёбра дерева. Когда все элементы из последовательности P будут исключены, в множестве N останутся два элемента N={10,11}, которые образуют последнее ребро дерева. Диаграмма полученного дерева представлена на рис.4.21.

Т.к. каждому дереву с n вершинами можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность длины n-2, элементы которой берутся из множества вершин, то количество различных деревьев, которые можно построить на n вершинах равно количеству таких последовательностей (размещений с повторениями из n элементов по n-2 местам), т.е. n^n-2.

1 6 8

2 4 7 10 11

3 5 9

Рис.4.21. Диаграмма дерева, которое определяется последовательностью P=(4, 2,4,7,7,7,10,11,11)