
shpory_matan
.docx
14.
Объем.
Как отмечалось выше, объем цилиндроида,
т.е. тела, ограниченного поверхностью
Пример.
Вычислить объем тела, ограниченного
поверхностями
Замечание
1.
Если тело, объем которого ищется,
ограничено сверху поверхностью
Площадь плоской фигуры.
Если
составить интегральную сумму для
функции
Пример
2.
Вычислить площадь, ограниченную
линиями
|
2.
Пусть
имеем два ряда с положительными
членами:
Теорема
1.
Если члены ряда (2) не больше соответствующих
членов ряда (3), т.е.
Пусть
Пример.
Ряд
Теорема
2.
Если члены ряда (2) не меньше соответствующих
членов ряда (3), т.е.
Пример.
Ряд
Теорема
3.
Если существует конечный и отличный
от нуля предел,
|
6. Знакочередующиеся ряды.
Члены
знакочередующегося ряда имеют
чередующиеся знаки:
Теорема
Лейбница. Если в знакочередующемся
ряде
Пример.
Ряд
|
3.
Теорема.
Если в ряде с положительными членами
Доказательство.
Пусть
Пусть
Замечание 1.
Если
Если |
4.
Если
для ряда с положительными членами
Пусть
Пусть
Пример.
Замечание:
Если
Пример.
Для гармонического ряда
Пример, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. Понятие события. Под случайным событием будем понимать все то, что может произойти, а может и не произойти при проведении испытаний. Например, стрелок стреляет по мишени. Выстрел это испытание, попадание в определенную область мишени – это случайное событие. События обозначается заглавными латинскими буквами. Событие U называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом испытании. Событие V называется невозможным, если оно не происходит не при каком испытании 20. Классическое определение вероятностей. Пусть
в урне имеются 3 белых, 2 черных одинаковых
шара. Если наудачу извлекается шар,
то возможно 5 элементарных исходов
(можно вынуть любой из трех белых и
любой из двух черных шаров). Такие
исходы образуют полную группу, и они
равновозможные (равновероятные), так
как нет основания считать, что появление
какого-либо шара будет предпочтительней.
Мы рассмотрели все возможные исходы.
Мы рассматриваем возможность вынуть
белый шар, тогда интересующими нас
исходами будет появление из 3 белых
шаров. Эти исходы назовем благоприятствующими
нашим событиям. Отношение благоприятствующих
исходов к общему числу всех исходов
называется вероятностью событий A
и обозначается
|
7.
Знакопеременный
ряд
Знакопеременные ряды – если среди членов есть положительные и отрицательные.
Числа
Теорема.
Если знакопеременный ряд
Доказательство.
Пусть
Пусть
1. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов. 2. Если ряд сходится условно, то, какое бы ни выбрали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки окажется расходящимся. сумма ряда после перестановки уменьшилась вдвое. Это говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых. |
8.
Ряд
Пример.
10.
1.
Если степенной ряд
Замечание. Полученный ряд снова можно почленно дифференцировать и продолжать сколько угодно раз. 2.
Пусть дан ряд (1). Тогда
|
9.
Степенным рядом называется функциональный
ряд вида
Теорема Абеля.
Если
степенной ряд сходится при некотором
значении
Если
ряд расходится при некотором значении
Из
теоремы
Абеля
следует, что если
Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат. Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от R до R, что для всякой точки x, лежащей внутри интервала, ряд сходится абсолютно, для точек x, лежащих вне него – расходится. Число R – радиус сходимости степенного ряда. Для
определения радиуса сходимости R
применяют признаки Даламбера и Коши
для модулей
членов ряда. Для определения R
используем признак Даламбера для
модулей:
|
5.
Пусть
члены ряда
непрерывная
невозрастающая функция, что
Из
рисунка (б) следует, что сумма площадей
всех прямоугольников равна
Пусть
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. Вычисление тройного интеграла Предположим, что пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, обладает следующими свойствами: 1. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю точку области V , пересекает поверхность S в двух точках. 2. Вся область V проектируется на плоскость ХОУ в правильную область D. 3. Всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной и любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1, 2. Область V, обладающую указанными свойствами, будем называть правильной трехмерной областью. Пример – эллипсоид, тетраэдр.
Пусть
поверхность, ограничивающая область
V
снизу, имеет уравнение:
Свойства тройного интеграла:
1.
Если область V
разбита на области
2.
Если m
и М
– наименьшее и наибольшее значение
функции
3. 4.
Если в тройном интеграле положить
|
12.
Рассмотрим
в плоскости XOY
замкнутую область D,
ограниченную линией L.
Пусть в области D
задана непрерывная функция
Теорема
1.
Если
Теорема
2.
Двойной интеграл от суммы двух функций
Теорема
3.
Постоянный множитель можно вынести
за знак двойного интеграла:
Теорема
4.
Если область D
разбита на две области
Теорема
5.
(теорема
о среднем). Теорема
6.
Если
|
17. Понятие тройного интеграла
Пусть
в пространстве задана область V,
ограниченная замкнутой поверхностью
S.
Пусть в области V
и на ее границе определена непрерывная
функция
11.
Имеется
формула
Тейлора
для функции
|
16.
Пусть
в полярной системе координат
Пусть
в области D
задана непрерывная функция
Из
теоремы существования двойных
интегралов следует, что при
Обозначим
через
Если
площадка
Теперь
пусть
|
13.
Пусть область D
такова, что всякая прямая, параллельна,
одной из координатных осей, например,
оси
Пусть
Пусть
область D
такова, что одна из функций
Теорема.
Двойной интеграл от непрерывной
функции
Замечание
1.
Пусть правильная в направлении оси
OX
область D
ограниченная линиями
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.
Пусть
задана бесконечная последовательность
чисел
Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием нескольких членов.
Теорема
2.
Если ряд
Теорема
3.
Если ряды
Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n. Пусть
ряд
|
23. Теоремы умножения вероятностей
Произведением
событий А и B называется событие C
состоящее осуществлением и события
A и события B. C=AB. Условной вероятностью
события A относительно события B
Пример.
В урне 6 белых и 5 черных шаров на удачу
вынимают последовательно 2 шара найти
вероятность того что второй шар черный,
если 1 извлеченный шар белый. Пусть
событие
Теорема:
Вероятность произведения двух событий
равна произведению вероятности одного
из них на условную вероятность другого
при условии, что первое событие
произошло:
1.
На пяти карточках записаны буквы О Л
О В О, карточки извлекают на удачу
извлекают по одной и выкладывают в
линию. Найти вероятность того, что
получится данное слово. Событие A.
2. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки.
Теорема:
Вероятность произведения двух
независимых событий равно произведению
их вероятностей
|
15. Якобиан преобразования имеет вид, где
|
24. Вероятность появления хотя бы одного события
2
стрелка стреляют по мишени вероятность
попадания
Теорема:
Вероятность появления хотя бы одного
из событий
|
21. Элементы комбинаторики
Комбинаторика
рассматривает подсчет количества
способов, выбора определенного
количества элементов по определенным
правилам. Различают размещения
перестановки и сочетания. Размещениями
называют комбинации, составленные из
m элементов взятых из общего количества
n, которое обличается либо составом
элементов, либо порядком. Число
размещений
22. Геометрическая и статическая вероятности. Классическое определение вероятности дает возможность рассматривать события, которые распадаются на конечное число равновероятных случаях. если количество равновероятных исходов большое, то используют геометрическую вероятность. Пусть имеется отрезок длиной L, внутри которого имеется отрезок длиной l. На отрезок 4 ставится точка. Считается, что вероятность попадания на отрезок l пропорциональна длине отрезка 4. Тогда вероятность попадания этой точки на отрезке l P(A)=l/L. Иногда удобно использовать отношение площадей P(A)=S^'/S. Относительная частота это отношение числа появления события A m к общему числу испытаний n (…m/n). Если число испытаний n неограниченно возрастает, то частость стремится к вероятности события |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. Формула Байеса
Пусть
имеется полная группа гипотез
вероятности, которых
Исходя
из того, что событие А произошло,
необходимо переоценить приятности
гипотез, то есть определить условную
вероятность
|
26. Формула полной вероятности
Пример:
на конвейер поступает продукция 3
станков. Причем 50% продукции изготавливает
первый станок, 30% второй станок и 20%
третий. Для 1 станка брак составляет
2%, для 2 3% и для 3 5%. Найти вероятность
того, что наудачу взятая деталь будет
доброкачественная. Событие A взятая
деталь – доброкачественная. Вероятности
изготовления стандартной детали
Теорема.
Вероятность события А, которое может
наступить при появлении одной из
гипотез
|
27. Событие А называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний. Тогда считаем, что вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p.
Определим
вероятность
|
25. Суммой или объединением A и B называется событие C, состоящее в наступлении события A, или события B или событий A и B вместе: C=A+B.
Теорема.
Вероятность
суммы конечного числа несовместных
событий равна сумме их вероятностей.
Докажем для двух событий. Пусть из
общего числа n
случаев событию A
благоприятствует k
случаев, а событию
Следствие1: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.
Следствие2:
Сумма
вероятностей противоположных событий
равна 1,
|
29. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
Если
число испытаний n
велико (n
> 20), то вычисления по формуле Бернулли
громоздкие. Например,
Очевидно,
что
Пример.
Вероятность поражения цели стрелком
при одиночном выстреле
Вероятность малая, поскольку ровно 20 раз. Почти достоверное событие - около 20 раз.
Если
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. Интегральная теорема Лапласа
Часто
необходимо найти вероятность того,
что число появлений события А
заключено в интервале
Следствие.
Если вероятность р
наступления события А
– постоянна
|
31. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
На
практике часто встречаются величины,
которые могут принимать некоторые
значения, но нельзя достоверно
предсказать, какое именно значение
каждая из них примет в рассмотренном
испытании.
Например,
число мальчиков, родившихся в Белгороде
завтра, может быть различным:
Непрерывной
называют случайную величину, которая
может принимать все значения из
некоторого конечного (или бесконечного)
промежутка. Пусть
Х
– дискретная случайная величина,
возможными и единственными значениями
которой являются х1,
х2,
х3,…,
хn.
Обозначим через
Если
множество xi – бесконечно, то ряд
|
32.33. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно – это числовые характеристики величин. Рассмотрим математическое ожидание.
Математическим
ожиданием дискретной случайной
величины называют сумму произведений
всех ее возможных значений на их
вероятности.
Пусть дискретная случайная величина
принимает значения
1.
Математическое ожидание постоянной
величины равно самой постоянной, т.е
С
имеет одно значение, равное С, с
вероятностью
2.
Случайные
величины X
и Y
называют независимыми,
если закон распределения одной из них
не зависит от того, какие значения
принимает другая. Произведение
3.
Составим
значения, которые могут принимать
4.
Теорема.
М(Х)
числа появлений событий А
в n
независимых испытаниях равно
произведению числа испытаний на
вероятность появления события в одном
испытании p.
Иначе, М(Х)
биноминального распределения равно
|
34. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства. Легко указать случайные величины, имеющие одинаковые значения математических ожиданий, но различные возможные значения, например:
Теорема.
Математическое ожидание отклонения
равно нулю. Действительно,
Дисперсией
(рассеянием)
дискретных случайных величин называется
математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:
Получаем:
Свойства дисперсии
1.
Дисперсия
постоянной величины равной нулю.
2.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
дисперсии, возводя его в квадрат:
3.
Дисперсия
суммы двух независимых случайных
величин равна сумме дисперсий этих
величин
4.
Теорема.
Дисперсия числа появлений событий А
в n
независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
А
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35.
Дискретная случайная величина может
быть задана перечислением всех ее
возможных значений и их вероятностей
– законом распределения. Но его нельзя
использовать для задания непрерывных
случайных величин. Необходим общий
способ задания случайных величин -
это функция распределения вероятностей
случайных величин. Пусть x
– действительное число. Вероятность
того, что случайная величина Х
примет значение, меньше x,
т.е.
Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Свойства F(x)
Следствие
1.
Вероятность того, что
Следствие
2.
Вероятность того, что случайная
величина Х
примет одно определенное значение
равна 0.
Докажем.
Если
Следствие.
Если значения непрерывной случайной
величины расположены на всей числовой
оси, то
|
36. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства
Непрерывную
случайную величину можно задать
функцией распределения, однако можно
использовать и плотностью распределения.
Плотностью распределения вероятностей
непрерывной случайной величины Х
называют производную от функции
распределения:
Теорема.
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина Х
примет значение, принадлежащее
интервалу
Доказательство:
Если
известна функция распределения, то
1.
2.
Вероятностный
смысл
37. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Распространим определение числовых характеристик дискретных случайных величин на величины непрерывные.
Математическое
ожидание
Аналогично:
|
38. Нормальное распределение
Нормальным
распределением называется распределение
вероятностей непрерывных случайных
величин, которые описываются плотностью
распределения
|
39. Вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения для нормальной случайной величины.
функция Лапласа. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Вычисление вероятности заданного отклонения
Часто
требуется найти вероятность того, что
отклонение нормально распределенной
случайной величины Х от математического
ожидания по модулю меньше данного
Правило
3x
сигм: если
|
40. Задачи математической статистики. Вариационный ряд Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов. Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования: а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д. б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен. Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты. Вариационный ряд Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы: 5,5,5,5 6,6 7,7,7 8 4 раза 2 раза 3 раза 1 раз. При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называется частотой варианты. Полученную таблицу называют вариационным рядом.
В общем виде
Графическое
изображение вариационного ряда –
полигон.
Для непрерывного признака весь
интервал, в котором заключены все
наблюдаемые значения признака,
разбивают на несколько частичных
интервалов длиной h и находят для
каждого частичного интервала
Гистограммой
относительных частот называют
ступенчатую фигуру, состоящую из
прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною h,
а высоты равны
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
41. 42.Точечные оценки
Вариационный
ряд характеризует
случайную величину, но не в полной
мере, поэтому используются характеристики,
аналогичные теоретическим – М(х),
D(х)
и т.д. Эти числовые характеристики
подсчитываются на основании выборки
и называются точечными оценками (т.к.
являются числами). Точечной
оценкой
характеристики
называется некоторая функция *
результатов наблюдений, значение
которой принимают за приближение этой
характеристики:
1.
Несмещенность оценки: точечная оценка
называется несмещенной, если ее
математическое ожидание равно
оценивающему параметру:
2.
Состоятельность: точечная оценка
называется состоятельной, если она
при
3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданном n) наименьшую дисперсию. Основные точечные оценки
1.
Выборочная средняя:
Выборочная
средняя
2.
Выборочная дисперсия:
3.
Начальные и центральные моменты k-го
порядка. Начальный момент k-го
порядка:
|
43. Интервальные оценки для генеральной средней
При
выборке малого объема точечная оценка
может сильно отличаться от оцениваемого
параметра, поэтому широко используют
интервальные оценки. Интервальной
называют оценку, которая определяется
двумя числами – концами интервала.
Доверительной вероятностью (надежностью)
называется вероятность ,
с которой осуществляется неравенство
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Интервальные
оценки для генеральной средней с
известным .
Пусть
известно среднее квадратическое
отклонение
генеральной совокупности с нормальным
законом распределения. Требуется
оценить неизвестное математическое
ожидание, а
по
выборочной средней
(
Тогда
по следствию интегральной теоремы
Лапласа имеем:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Интервальная
оценка для генеральной средней с
неизвестным .
Пусть
признак Х
генеральной совокупности распределен
нормально, причем среднее квадратическое
отклонение
неизвестно. Требуется оценить
неизвестное математическое ожидание
а
по
выборочной средней
|
44. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
Пусть
из генеральной совокупности,
распределенной по нормальному закону
Случайная
величина
Тогда:
из
Если
|
|
|