shpory_matan

14. Объем. Как отмечалось выше, объем цилиндроида, т.е. тела, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельные оси ,равен

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . Очевидно, что .

Замечание 1. Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью , а снизу – поверхностью причем проекцией обеих поверхностей на плоскость является область D, то объем этого тела равен разности объемов двух цилиндроидов:.. Формула верна для любых непрерывных функций , для которых

Площадь плоской фигуры.

Если составить интегральную сумму для функции по области D, то эта сумма равна площади . Переходя к пределу, получим: . Если область – правильная, то имеем – формула, рассмотренная ранее.

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную линиями . Координаты точек пересечения:

2. Пусть имеем два ряда с положительными членами: (2) и (3).

Теорема 1. Если члены ряда (2) не больше соответствующих членов ряда (3), т.е. и ряд (3) сходится, то сходится и ряд (2).

Пусть сумма рядов. Из следует, что Т.к. ряд (3) сходится, то . Т.к. члены рядов положительны, то Доказали, что частичные суммы возрастают и ограничены, значит, они имеют предел:

Пример. Ряд сходится, т.к. его члены меньше соответствующих членов ряда. Последний ряд сходится, т.к. начиная со второго члена - это геометрическая прогрессия с

Теорема 2. Если члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ряда (3), т.е. и ряд (3) расходится, то и ряд (2) расходится. Из условия следует, что (положительный ряд). Т.к. ряд (3) расходится, то , тогда из следует, что, т.е. ряд (2) расходится.

Пример. Ряд расходится, т.к его члены начиная со второго, больше соответствующих членов гармонического ряда , который расходится.

Теорема 3. Если существует конечный и отличный от нуля предел, то ряды (2) и (3) сходятся или расходятся одновременно.

6. Знакочередующиеся ряды.

Члены знакочередующегося ряда имеют чередующиеся знаки: где - положительны.

Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что и , то ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит . Рассмотрим сумму первых членов ряда (1): . Из (2) следует, что и возрастает с увеличением m. Запишем В силу (2) каждая скобка положительна. В результате вычитаний получим число, меньше , т.е. . возрастает и ограниченна сверху поэтому имеет предел S: . Рассмотрим нечетные суммы: сходится. Замечание. Теорема Лейбница справедлива, если (2) выполняется, начиная с некоторого N.

Пример. Ряд

3. Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение при имеет конечный придел , т.е. , то ряд сходится в случаи ряд расходится при. При теорема не дает ответа о сходимости ряда.

Доказательство. Пусть Рассмотрим число . По определению предела начиная с номера отсюда . Запишем последнее неравенство для Рассмотрим два ряда: (1) и Ряд – геометрическая прогрессия с – сходится. Члены ряда (1), начиная с , меньше членов ряда поэтому ряд (1) сходится на основании признака сравнения.

Пусть . Тогда из , следует, что для . Но это означает, что члены ряда возрастают и не стремится к 0, поэтому ряд расходится.

Замечание 1.

Если , то ряд расходится.

Если, но , начиная с , то ряд расходится.

4. Если для ряда с положительными членами (1) величина имеет конечный предел

Пусть . Рассмотрим . Начиная с . Рассмотрим два ряда: (1) и Ряд сходится – геометрическая прогрессия с Члены ряда (1), начиная с меньше членов ряда ряд (1) сходится.

Пусть , тогда начиная с или – ряд расходится, т.к. не стремится к нулю.

Пример.

Замечание: Если то требуется дальнейшие исследования.

Пример. Для гармонического ряда однако ряд расходится.

Пример,, но ряд сходится, т.к. члены ряда, начиная со второго, меньше членов сходящего ряда .

19. Понятие события. Под случайным событием будем понимать все то, что может произойти, а может и не произойти при проведении испытаний. Например, стрелок стреляет по мишени. Выстрел это испытание, попадание в определенную область мишени – это случайное событие.

События обозначается заглавными латинскими буквами. Событие U называется достоверным, если оно обязательно происходит при каждом испытании.

Событие V называется невозможным, если оно не происходит не при каком испытании

20. Классическое определение вероятностей.

Пусть в урне имеются 3 белых, 2 черных одинаковых шара. Если наудачу извлекается шар, то возможно 5 элементарных исходов (можно вынуть любой из трех белых и любой из двух черных шаров). Такие исходы образуют полную группу, и они равновозможные (равновероятные), так как нет основания считать, что появление какого-либо шара будет предпочтительней. Мы рассмотрели все возможные исходы. Мы рассматриваем возможность вынуть белый шар, тогда интересующими нас исходами будет появление из 3 белых шаров. Эти исходы назовем благоприятствующими нашим событиям. Отношение благоприятствующих исходов к общему числу всех исходов называется вероятностью событий A и обозначается . События A и B называются несовместными, если их совместное наступление невозможно. События образуют полную группу, если они попарно не совместны и в результате испытания наступит одно и только одно событие.

7. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то знакопеременный ряд сходится условно.

Знакопеременные ряды – если среди членов есть положительные и отрицательные.

Числа - положительные и отрицательные.

Теорема. Если знакопеременный ряд (1) таков, что ряд из модулей (2) сходится, то и данный ряд сходится.

Доказательство.

Пусть - суммы первых n членов рядов (1) и (2).

Пусть - сумма положительных членов, сумма модулей отрицательных членов, тогда и . По условию имеет предел – положительные возрастающие величины, меньшие , поэтому они имеют пределы , тогда и имеет предел , т.е. (1) – сходится. Отметим следующие свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от порядка его членов.

2. Если ряд сходится условно, то, какое бы ни выбрали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки окажется расходящимся.

сумма ряда после перестановки уменьшилась вдвое. Это говорит о том, что бесконечные ряды отличаются по своим свойствам от сумм конечного числа слагаемых.

8. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от X: . Давая x определенные числовые значения, получим различные числовые ряды, которые могут сходиться и расходиться. Совокупность тех значений x, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости ряда. В области сходимости ряда его сумма является функцией .

Пример. . Этот ряд сходится при (убывающая геометрическая прогрессия). Очевидно, . Пусть – сумма первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и его сумма равна остаток ряда. Для всех х в области сходимости ряда

10. 1. Если степенной ряд имеет интервал сходимости , то ряд , полученный почленным дифференцированием ряда (1), имеет тот же интервал сходимости , т.е. внутри интервала сходимости производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.

Замечание. Полученный ряд снова можно почленно дифференцировать и продолжать сколько угодно раз.

2. Пусть дан ряд (1). Тогда если принадлежат интервалу сходимости . Т.е. если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда

9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где –числа – коэффициенты ряда.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд сходится при некотором значении , то он абсолютно сходится при всяком значении x, для которого .

Если ряд расходится при некотором значении , то он расходится при всяком x, для которого .

Из теоремы Абеля следует, что если – точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости, т.е. существует число R, такое что при всех х таких, что - степенной ряд сходится, а при – расходится.

Теорема. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение. Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал от R до R, что для всякой точки x, лежащей внутри интервала, ряд сходится абсолютно, для точек x, лежащих вне него – расходится. Число R – радиус сходимости степенного ряда.

Для определения радиуса сходимости R применяют признаки Даламбера и Коши для модулей членов ряда. Для определения R используем признак Даламбера для модулей: .

5. Пусть члены ряда положительны и не возрастают, т.е. и пусть - такая

непрерывная невозрастающая функция, что . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Построим графики членов ряда: Из графика (а) следует, что площади прямоугольников равны и т.д. и . С другой стороны, площадь области, ограниченной кривой и прямыми равна , поэтому

Из рисунка (б) следует, что сумма площадей всех прямоугольников равна . Предположим, что остается ограниченной

Пусть расходится, тогда неограниченно возрастает при увеличении n. Тогда (из неравенства (1)) тоже неограниченно возрастает, т.е. ряд расходится. Пример. Ряд Дирихле:

18. Вычисление тройного интеграла

Предположим, что пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, обладает следующими свойствами:

1. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю точку области V , пересекает поверхность S в двух точках.

2. Вся область V проектируется на плоскость ХОУ в правильную область D.

3. Всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной и любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1, 2. Область V, обладающую указанными свойствами, будем называть правильной трехмерной областью. Пример – эллипсоид, тетраэдр.

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение: , а сверху – . Пусть область D – проекция области V на плоскость ХОУ – ограниченна линиями: . Введем понятие трехкратного интеграла от функции по области V: . В результате интегрирования по z в квадратных скобках, получится функция от х и у. Далее вычисляем двойной интеграл по области D . Теорема. Тройной интеграл от по правильной области равен трехкратному интегралу по этой же области, т.е. .

Свойства тройного интеграла:

1. Если область V разбита на области и плоскостью, параллельной какой – либо из плоскостей координат, то тройной интеграл по области V равен сумме тройных интегралов по областям .

2. Если m и М – наименьшее и наибольшее значение функции в области V, то , где V – объем данной области.

3., где V – объем области.

4. Если в тройном интеграле положить .

12. Рассмотрим в плоскости XOY замкнутую область D, ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция . Разобьем область D на n частей: называемых площадками. Через обозначим и площади площадок. В каждой из площадок возьмем точку . Обозначим через значения функции в выбранных точках и составим сумму произведении вида . Эта сумма называется интегральной суммой для функции – объем цилиндра, построенного на как на основании с высотой .

Теорема 1. Если непрерывна в замкнутой области D, то существует предел последовательности (2) интегральных сумм (1), если max диаметр площадок , который не зависит ни от способов разбиения области D, ни от выбора точек . Этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается: , D – область интегрирования. Если – объему тела, ограниченного поверхностью , плоскостью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны , а направляющей служит граница области D.

Теорема 2. Двойной интеграл от суммы двух функций по области D равен сумме двойных интегралов по области D от каждой из функций в отдельности.

Теорема 3. Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла:

Теорема 4. Если область D разбита на две области без общих внутренних точек и функция.

Теорема 5. (теорема о среднем).

Теорема 6. Если во всех точках области D удовлетворяет неравенствам , где S – площадь области D.

17. Понятие тройного интеграла

Пусть в пространстве задана область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена непрерывная функция (если – то можно рассматривать плотность распределения вещества в области V). Разобьем область V на n областей произвольным образом, причем – это и объем этой области. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и составим интегральную сумму . Перейдем к пределу, т.е. , чтобы и , тогда для непрерывной функции существует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения области, ни от выбора точек Это предел обозначается символом и называется тройным интегралом, т.е. . Если считать – объемной плотностью распределения вещества в области V, то тройной интеграл даст массу вещества в области V.

11. Имеется формула Тейлора для функции , имеющий производные до включительно, в окрестности точки Если имеет производные всех порядков в окрестности точки , то в формуле Тейлора число n можно брать сколь угодно большим. Допустим, что , тогда, переходя в формуле Тейлора к пределу при , получим справа бесконечный ряд, Тейлора: . Если в формуле ряда Тейлора положить , то получим ряд Маклорена: . Для каждой элементарной функции существуют , такие, что в интервале она разлагается в ряд Тейлора (или Маклорена).

16. Пусть в полярной системе координат задана такая область D, что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу области не более чем в двух точках. D ограничена кривыми . Такую область называют правильной.

Пусть в области D задана непрерывная функция Разобьем D на площадки и составим интегральную сумму

Из теоремы существования двойных интегралов следует, что при существует предел V интегральной суммы: Т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения D, то разобьем D с помощью лучей и концентрических окружностей:

Обозначим через площадку, ограниченную линиями

Если площадка пересекается границей или не лежит в D, то их не учитываем . Интегральная сумма где – произвольная точка площадки . Найдем площадь . Она равна разности площадей двух секторов: ощадь . Тогда интегральная сумма: . Предположим, что .

Теперь пусть – формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах. Если область D является правильной в полярных координатах, то .

13. Пусть область D такова, что всякая прямая, параллельна, одной из координатных осей, например, оси и проходящая через внутреннюю точку области D пересекает границу области в двух точках. Предположим, что область ограничена линиями: причем и функции и непрерывны на отрезке . Такая область называется правильной в направлении оси . Аналогично, определяется область, правильная в направлении оси . Область, правильную как в направлении оси . так и оси , называют правильной.

Пусть непрерывна в области D. Рассмотрим , который будем называть двукратным интегралом от по области D. В этом выражении сначала вычисляется определенный интеграл, стоящий в скобках, при этом считаем, что получаем функцию далее вычисляем определенный интеграл , который равен постоянному числу.

Пусть область D такова, что одна из функций не может быть задана одним аналитическим выражением на всем участке

Теорема. Двойной интеграл от непрерывной функции по правильной области D равен двукратному интегралу от этой функции по области D:

Замечание 1. Пусть правильная в направлении оси OX область D ограниченная линиями . Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного. В каждом конкретном случаи надо выбрать формулу (1) или (2) в зависимости от вида области и подынтегральной функции .

1. Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение (1) называется числовым рядом. Числа , называются членами ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n-ой частичной суммой ряда: Рассмотрим частичные суммы: . Если существует конечный предел , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если не существует, то ряд расходится и суммы не имеет.

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного ряда (1) отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного ряда отбрасыванием нескольких членов.

Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд тоже сходится и его сумма =Sc.

Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряды и тоже сходятся и их суммы равны и соответственно.

Теорема. Если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.

Пусть ряд сходится, т.е. – сумма ряда. Тогда . Вычтем из одного другое: Следствие. Если , то ряд расходится

23. Теоремы умножения вероятностей

Произведением событий А и B называется событие C состоящее осуществлением и события A и события B. C=AB. Условной вероятностью события A относительно события B называется вероятность события A, найденное в предположении, что событие B уже произошло.

Пример. В урне 6 белых и 5 черных шаров на удачу вынимают последовательно 2 шара найти вероятность того что второй шар черный, если 1 извлеченный шар белый. Пусть событие событие B второй извлеченный шар черный, тогда вероятность этого события.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

1. На пяти карточках записаны буквы О Л О В О, карточки извлекают на удачу извлекают по одной и выкладывают в линию. Найти вероятность того, что получится данное слово. Событие A.

2. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки.

Теорема: Вероятность произведения двух независимых событий равно произведению их вероятностей

15. Якобиан преобразования имеет вид, где

Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен Пусть область интегрирования R в полярных координатах определяется следующим образом (рис 2) Тогда двойной интеграл в полярных координатах описывается формулой Полученную область (рис 3) будем называть полярным прямоугольником и удовлетворяющую условиям В этом случае формула замены переменных в двойном интеграле имеет вид

24. Вероятность появления хотя бы одного события

2 стрелка стреляют по мишени вероятность попадания соответственно. Найти вероятность хотя бы одного попадания. Пусть событие А это хотя бы одно попадание. Вероятность этого события, что попал один . Рассмотрим событие противоположное А: . Пусть в результате испытания могут появиться n независимых событий либо некоторые из этих событий, либо не одного. Пусть нам известны вероятности появления каждого события которые обозначим соответственно обозначим. Мы хотим найти вероятность появления хотя бы одного из этих событий. Рассмотрим противоположное событие, которое состоит в том, что не произошло не одно из событий . Вероятность противоположного события где вероятность не появления так как тема вероятностей противоположных событий равна 1. Вероятность появления хотя бы одного из событий

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

Следствие: Если События имеют одинаковую вероятность p, то вероятность появления хотя бы одного события

21. Элементы комбинаторики

Комбинаторика рассматривает подсчет количества способов, выбора определенного количества элементов по определенным правилам. Различают размещения перестановки и сочетания. Размещениями называют комбинации, составленные из m элементов взятых из общего количества n, которое обличается либо составом элементов, либо порядком. Число размещений ; Перестановкой называется размещение из m элементов по n . Сочетаниями называются комбинации из n элементов по m, которые обличаются хотя бы одним элементом (порядок исследования не играет роли). ; Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из n элементов по m в каждом, где некоторые элементы могут быть одинаковы.

22. Геометрическая и статическая вероятности.

Классическое определение вероятности дает возможность рассматривать события, которые распадаются на конечное число равновероятных случаях. если количество равновероятных исходов большое, то используют геометрическую вероятность. Пусть имеется отрезок длиной L, внутри которого имеется отрезок длиной l. На отрезок 4 ставится точка. Считается, что вероятность попадания на отрезок l пропорциональна длине отрезка 4. Тогда вероятность попадания этой точки на отрезке l P(A)=l/L. Иногда удобно использовать отношение площадей P(A)=S^'/S. Относительная частота это отношение числа появления события A m к общему числу испытаний n (…m/n). Если число испытаний n неограниченно возрастает, то частость стремится к вероятности события

27. Формула Байеса

Пусть имеется полная группа гипотез вероятности, которых известны до опыта. Проводятся, в результате, которого появляется событие А. известно, что этому событию А гипотезы предписывали определенные условные вероятности . Определим какими стали вероятности этих гипотез после опыта.

Исходя из того, что событие А произошло, необходимо переоценить приятности гипотез, то есть определить условную вероятность .

26. Формула полной вероятности

Пример: на конвейер поступает продукция 3 станков. Причем 50% продукции изготавливает первый станок, 30% второй станок и 20% третий. Для 1 станка брак составляет 2%, для 2 3% и для 3 5%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь будет доброкачественная. Событие A взятая деталь – доброкачественная. Вероятности изготовления стандартной детали . вероятность того, что деталь изготовлена первым станком равна 0,5, на втором 0,3, на третьем 0,2. . пусть событие А может произойти в результате появления одного и только одного. События из общей группы несовместных событий. Тогда события называются гипотезами

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить при появлении одной из гипотез равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условные вероятности события А . Доказательство: событие А равносильно тому, что произойдет .

27. Событие А называется независимым в данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний. Тогда считаем, что вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна p.

Определим вероятность того, что при n независимых испытаниях событие А, имеющее одну и ту же вероятность р для каждого отдельного испытания, появится ровно k раз, безразлично в какой последовательности. Для каждого испытания имеется два исхода: А и . Значит, если событие А встречается k раз, то – (n – k) раз. Вероятность реализации такой благоприятной серии: Все благоприятные серии получаются в результате выбора различных k номеров из общего числа n, т.е. . Напомним, что число сочетаний . Тогда по теореме сложения для несовместных событий:

25. Суммой или объединением A и B называется событие C, состоящее в наступлении события A, или события B или событий A и B вместе: C=A+B.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей. Докажем для двух событий. Пусть из общего числа n случаев событию A благоприятствует k случаев, а событию случаев. Тогда ; По условию события A и B несовместимы. Следовательно, ни один из k случаев, благоприятствующих A, не благоприятствующих B. Сумме благоприятствующим случаев из n, поэтому (доказательством является диаграмма Виена).

Следствие1: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Следствие2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1,

29. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона

Если число испытаний n велико (n > 20), то вычисления по формуле Бернулли громоздкие. Например, . Лаплас получил приближенную формулу: , где . Функция табулированная, т.е. имеется таблица значений функции.

Очевидно, что – функция четная.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстреле . Найти вероятность того, что из 100 выстрелов будет ровно 20 попаданий.

. (таблица 1), тогда

Вероятность малая, поскольку ровно 20 раз. Почти достоверное событие - около 20 раз.

Если , но близка к нулю, а n достаточно велико, причем , то вероятность того, что в n испытаниях событие A наступит k раз

30. Интегральная теорема Лапласа

Часто необходимо найти вероятность того, что число появлений события А заключено в интервале , т.е. число появлений события А в n испытаниях не менее k₁ и не более раз. Считаем, что вероятность появления события А. Ответ дает интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность равна , событие наступит не менее k₁ раз, и не более k₂ раз, приблизительно равно , где – функция Лапласа, которая табулирована; . Функция Лапласа – нечетная: , возрастающая, для можно считать, что .

Следствие. Если вероятность р наступления события А – постоянна , а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях абсолютная величина отклонения относительной частоты события А от его вероятности р не превзойдет данного , находится по формуле . Т.к , то при В условиях Бернулли, как бы ни было мало , с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно ожидать, что при будет меньше (закон больших чисел в форме Бернулли).

31. Понятие случайной величины. Закон распределения

дискретной случайной величины

На практике часто встречаются величины, которые могут принимать некоторые значения, но нельзя достоверно предсказать, какое именно значение каждая из них примет в рассмотренном испытании. Например, число мальчиков, родившихся в Белгороде завтра, может быть различным: . Или – дальность полета снаряда, количество бракованных изделий в партии и т.д. Это – случайные величины. Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения, причем для каждого испытания она принимает единственное значение. Случайные величины обозначают заглавными буквами X, Y, Z, значения случайных величин соответственно малыми буквами. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетное. Например, стрельба по мишеням из орудия до первого попадания (1,2,3,…, n, ). Или – количество бракованных деталей в партии из 30 изделий.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного (или бесконечного) промежутка. Пусть Х – дискретная случайная величина, возможными и единственными значениями которой являются х₁, х₂, х₃,…, х_n. Обозначим через вероятность этих значений, т.е. р_i есть вероятность того, что Х принимает значения x_i. События Х = х_i образует полную группу, поэтому Закон распределения дискретных случайных величин – соответствие между всеми значениями дискретных случайных величин и их вероятностями. Обычно его записывают в виде таблицы:

Если множество xi – бесконечно, то ряд - сходится.

32.33. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако иногда выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно – это числовые характеристики величин. Рассмотрим математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями , тогда . Если дискретная случайная величина X принимает счетное множество возможных значений, то , причем М(Х) существует, если ряд сходится абсолютно. М(Х) – неслучайная (постоянная) величина. Свойства М(Х)

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е.

С имеет одно значение, равное С, с вероятностью , . Определим произведение постоянной С на Х как дискретную случайную величин , возможные значения которой равны произведениям С на возможные значения Х. Вероятность равна вероятностям Х. Например, если имеет вероятность , то имеет также вероятность .

2. . М(Х) – константу можно выносить за знак математического ожидания. Пусть случайная дискретная величина X задана законом распределения:

Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая. Произведение – случайная величина XY, возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения Х на каждое возможное значение Y. Вероятности XY равны произведению соответствующих вероятностей X и Y.

3. , где X, Y – независимые дискретные случайные величины. Пусть законы распределения вероятностей этих величин:

Составим значения, которые могут принимать Закон распределения:

4. Возможные значения случайной величины X + Y равна сумме возможных значений X и Y , а вероятность X+Y равна произведению вероятностей слагаемых.

Теорема. М(Х) числа появлений событий А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании p. Иначе, М(Х) биноминального распределения равно .

34. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства. Легко указать случайные величины, имеющие одинаковые значения математических ожиданий, но различные возможные значения, например:

Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y – далекие от М(Y), таким образом, М(Х) полностью не характеризует Х. Надо охарактеризовать отклонение случайной величины от M(X): отклонение – это величина X – M(X).

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю. Действительно, ,поэтому для оценки отклонения берут квадрат отклонения.

Дисперсией (рассеянием) дискретных случайных величин называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: .

Получаем:

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равной нулю. .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: . Если , то величина СХ имеет большие (по модулю) значения, поэтому

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин . Докажем: Следствие: .

4. . Докажем: .

Теорема. Дисперсия числа появлений событий А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А , равна , где . Иначе. Дисперсия биноминального распределения равна

35. Дискретная случайная величина может быть задана перечислением всех ее возможных значений и их вероятностей – законом распределения. Но его нельзя использовать для задания непрерывных случайных величин. Необходим общий способ задания случайных величин - это функция распределения вероятностей случайных величин. Пусть x – действительное число. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше x, т.е. обозначим через . Если x изменяется, то изменяется и , т.е. – функция х. Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е. . Геометрически есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается точкой левее точки х.

Добавим более четкое определение непрерывной случайной величины – случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Свойства F(x)

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку , т.е. вероятность, .

2. F(x) неубывающая функция, т.е. . Пусть . Событие, состоящее в том, что Х примет значение меньше, можно разделить на 2 несовместных события:

1. Х примет значение, меньше , с вероятностью

2. Х примет значение с вероятностью По теореме сложения: отсюда: или

Следствие 1. Вероятность того, что равна приращению на этом интервале:

Следствие 2. Вероятность того, что случайная величина Х примет одно определенное значение равна 0.

3. Если возможные значения случайной величины  (a,b), то:

Докажем. Если , то события невозможны. Пусть , тогда – достоверное событие.

Следствие. Если значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то .

36. Плотность распределения вероятностей непрерывной

случайной величины и ее свойства

Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют производную от функции распределения:. Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу

Доказательство: Если известна функция распределения, то По формуле Ньютона-Лейбница: Свойства f(x)

1. , т.к. – неубывающая функция, поэтому,

2. Этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение – достоверное событие, поэтому .

Вероятностный смысл , тогда: – вероятность того, что случайная величина примет значение .

37. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Распространим определение числовых характеристик дискретных случайных величин на величины непрерывные.

Математическое ожидание . Пусть Х задана плотностью распределения . Допустим, что все возможные значения . Разобьем его на n отрезков и выберем на каждом произвольную точку Тогда . Переходя к пределу, получим: . Если возможные значения случайной величины принадлежат R, то , предполагаем, что этот интеграл сходится. Дисперсия дискретной случайной величины: . Поступим аналогично: . Если , то . Более удобная формула: .

Аналогично: – среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины. Свойства и сохраняются для непрерывных случайных величин.

38. Нормальное распределение

Нормальным распределением называется распределение вероятностей непрерывных случайных величин, которые описываются плотностью распределения . Нормальное распределения определяются параметрами а и . Покажем, что .

. Введем:

. Первое слагаемое равно нулю, т.к. функция нечетная, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат, (это – интеграл Пуассона). Таким образом, .

. Пусть тогда .

, тогда

39. Вероятности попадания в заданный интервал и заданного отклонения для нормальной случайной величины.

. Пусть .

функция Лапласа.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Х от математического ожидания по модулю меньше данного .

Если

Правило 3x сигм: если то

40. Задачи математической статистики. Вариационный ряд

Первая задача статистики – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования:

а) оценка неизвестной вероятности события, известной функции распределения, параметров распределения, вид которого известен и т.д.

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Для исследования какого-либо признака из генеральной совокупности (всех объектов) извлекают выборку – случайно отображенные объекты.

Вариационный ряд

Рассмотрим пример. Токарь изготавливал в течение 10 дней следующее количество деталей: 5,6,5,7,7,7,8,5,6,5. Ранжируем эту выборку – разобьем на группы:

5,5,5,5 6,6 7,7,7 8

4 раза 2 раза 3 раза 1 раз.

При ранжировании группы располагаются в порядке возрастания. Значение каждой группы называется вариантой. Число повторений в каждой группе называется частотой варианты. Полученную таблицу называют вариационным рядом.

В общем виде

– объем выборки.

Графическое изображение вариационного ряда – полигон. Для непрерывного признака весь интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны , где – относительная частота.

41. 42.Точечные оценки

Вариационный ряд характеризует случайную величину, но не в полной мере, поэтому используются характеристики, аналогичные теоретическим – М(х), D(х) и т.д. Эти числовые характеристики подсчитываются на основании выборки и называются точечными оценками (т.к. являются числами). Точечной оценкой характеристики  называется некоторая функция * результатов наблюдений, значение которой принимают за приближение этой характеристики: . Качество точечной оценки определяется характеристиками:

1. Несмещенность оценки: точечная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру: , т.е. совпадает с истинным значением.

2. Состоятельность: точечная оценка называется состоятельной, если она при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

3. Эффективность: точечная оценка считается эффективной, если она имеет (при заданном n) наименьшую дисперсию.

Основные точечные оценки

1. Выборочная средняя: .

Выборочная средняя приближается к , является несмещенной, состоятельной и эффективной.

2. Выборочная дисперсия: . является состоятельной, но смещенной, поэтому часто используют несмещенную оценку – исправленную выборочную дисперсию:

3. Начальные и центральные моменты k-го порядка. Начальный момент k-го порядка: . Центральный момент k-го порядка:

43. Интервальные оценки для генеральной средней

При выборке малого объема точечная оценка может сильно отличаться от оцениваемого параметра, поэтому широко используют интервальные оценки. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Доверительной вероятностью (надежностью) называется вероятность , с которой осуществляется неравенство , т.е. , где * – найденная характеристика параметра . Надежность обычно выбирается 0,95; 0,99; 0,999 и т.д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Интервальные оценки для генеральной средней с известным . Пусть известно среднее квадратическое отклонение  генеральной совокупности с нормальным законом распределения. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание, а по выборочной средней . Будем рассматривать выборочную среднюю , как случайную величину , для которой

( – случайная величина, т.к. меняется от выборки к выборке).

Тогда по следствию интегральной теоремы Лапласа имеем: , где , – точность оценки. Число t определяем по таблице значений функции Лапласа: . Получаем: ,

– интервальная оценка для математического ожидания

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным . Пусть признак Х генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение  неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней . Для построения интервальной оценки используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Получаем: где n – объем выборки, – исправленное среднее квадратическое отклонение, – выборочная средняя, – уровень значимости, находим по распределению Стьюдента (t – распределение) (для двухсторонней критической области). Точность оценки: . Можно по таблице приложения 3 Гмурмана.

44. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли

Пусть из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону , взята выборка объема n и вычислена исправленная выборочная дисперсия . Требуется определить с надежностью  интервальные оценки для

Случайная величина имеет распределение Пирсона степенями свободы. Имеем: . По таблице - распределения нужно выбрать такие, чтобы площадь, заключенная под графиком плотности распределения между , была равна . Обычно: .

Тогда: . Поскольку таблица содержит лишь , то тогда из

из , т.е. . Эта формула используется при решении обратной задачи – нахождение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии. находим из равенств: Запишем неравенство из :

и преобразуем его: .

Если , то доверительный интервал для : . Если , то , где определяется по таблице функции Лапласа: