7.6. Тепловое расширение твердых тел

Рассмотрим простую модель, состоящую из двух атомов. Будем считать, что между атомами действует упругая сила взаимодействия. Кривая потенциальной энергии взаимодействия представлена на рис.7.8 и меняется по закону гдекоэффициент квазиупругой силы.

При температуре атомы колеблются так, что межатомное расстояние меняется отдосо средним значением , при межатомное расстояние меняется отдосо средним значением и т.д. Кривая потенциальной энергии симметрична относительно прямой , и среднее межатомное расстояние не зависит от амплитуды колебаний и остается постоянным при любой температуре.

Однако, в реальных кристаллах силы взаимодействия между атомами в решетке нельзя считать абсолютно упругими, как мы предполагали ранее, они зависят от смещения атомов из положения равновесия не линейно, а содержат ангармонические члены, влияние которых возрастает с ростом температуры. Тепловое расширение решетки (или изменение равновесного объемаVпри изменении температуры) обусловлено асимметрией взаимодействия между атомами, вызванной тем, что сила отталкивания возрастает быстрее при сближении атомов, чем сила притяжения при их удалении друг от друга. Это приводит к непараболическому виду кривой потенциальной энергии взаимодействия (рис.7.9). При температуреатомы колеблются так, что межатомное расстояние меняется отдосо средним значением , при межатомное расстояние меняется отдосо средним значением и т.д. и твердое тело с повышением температуры расширяется. Среднее расстояние между атомами определяется выражением:

где g– коэффициент ангармоничности колебаний атомов;- коэффициент упругости.

Таким образом, с ростом температуры увеличивается не только амплитуда колебаний атомов, но также происходит увеличение средних расстояний между ними, что ведет к расширению твердого тела.

Коэффициент линейного теплового расширения для данного вещества зависит от коэффициента ангармоничностиg, коэффициента упругости, т.е. определяется свойствами вещества.

7.7. Теплопроводность твердых тел

1. Диэлектрики

Все тела способны проводить теплоту. В изотропном твердом теле распространение теплоты подчиняется закону Фурье

= -,

где – поверхностная плотность теплового потока. Это вектор, модуль которого равен тепловому потоку через единичное сечение, перпендикулярное , Т – температура,– градиент температуры вдоль нормалик изотермической поверхности;- теплопроводность.

Знак «минус» показывает, что теплота течет в направлении, противоположном градиенту температуры, т.е. от горячей области к холодной.

В диэлектриках теплота распространяется посредством атомных колебаний (фононный механизм).

Атомы в твердом теле связаны между собой. При нагревании какого-либо участка тела амплитуда колебаний атомов этого участка увеличивается, и атомы при своем движении толкают соседние атомы, которые в свою очередь передают это движение своим соседям, и т. д. Кинетическая энергия колебаний атомов передается от нагретого участка к более холодному. Макроскопический поток кинетической энергии атомов – теплообменный поток. Этот процесс одинаков с процессом распространения упругих звуковых волн в твердом теле. При объяснении явлений теплопроводности мы уже не можем считать, что атомы совершают строго гармонические колебания, которые распространяются в кристалле в виде системы невзаимодействующих между собой упругих волн. Такие волны распространялись бы в кристалле без затухания, следовательно, имели бы неограниченный свободный пробег, тепловой поток даже при малых градиентах температуры мог бы существовать сколь угодно долго, и теплопроводность была бы бесконечной (тепловое равновесие не устанавливалось бы). В реальных же твердых телах теплопроводность конечна. Это связано с тем, что колебания атомов кристаллической решетки не являются чисто гармоническими из-за того, что силы взаимодействия между атомами линейно зависят от смещения атомов. Ангармонический характер колебаний учитывают, выводя дополнительные слагаемые в значение потенциальной энергии. Тем самым учитывают рассеяние фононов друг на друга, которое сопровождается рождением и исчезновением фононов – либо два фотона превращаются в один, либо фонон распадается на два (рис.7.10).

При этом должны выполняться два условия:

, , (7.12)

где ,- вектор обратной решетки. Первое из уравнений (7.12) представляет собой закон сохранения энергии для трехфононного процесса. Фонон с волновым вектороми частотой, вообще говоря, не обладает механическим импульсом, как обычная микрочастица. Однако величина, называемая квазиимпульсом, во многом сходна с импульсом. Привыражение (7.12) совпадает с законом сохранения импульса. Взаимодействие, при которомназывается нормальным илиN-процессом. Этот процесс аналогичен процессу взаимодействия элементарных частиц, при котором выполняются законы сохранения энергии и импульса.

В отличие от взаимодействия обычных микрочастиц при взаимодействии фононов общее число фононов не сохраняется, а квазиимпульс может сохраняться лишь с точностью до значения обратной решетки. Это означает, что кристаллическая решетка, в которой движутся фононы, тоже принимает участие в столкновениях, забирая часть импульса, равную . Взаимодействие, при которомназывается процессом переброса илиU-процессом. В процессах переброса энергии должна сохраняться так же, как и в нормальных процессах.

После N-процесса тепловая энергия переносится в направлении групповой скорости фонона, поэтому в случае N-процесса направление потока энергии в моде с волновым вектором совпадает с направлением, в котором энергия эффективно переносится модамии. В такой ситуацииN-процессы сами по себе не приводят к восстановлению равновесного распределения фононов, а это означает, что конечный перенос энергии может сохраняться и при отсутствии градиента температуры, т.е. теплопроводность бесконечно велика.

После U- процесса тепловая энергия передается в направлении, которое не совпадает с направлением групповых скоростей в модах и. Такие существенные изменения волнового векторавсегда ведут к восстановлению равновесного распределения фононов, а, следовательно, и к конечному значению теплопроводности.

Рассмотрим зависимость теплопроводности от температуры. Из кинетической теории газов в предположении, что вместо движения молекул рассматривается движение фононов, получаем

где -теплоемкость единичного объема кристалла, связанная с колебаниями решетки,- средняя скорость фононов, примерно равная скорости звука в кристалле и слабо зависящая от температуры,- средняя длина свободного пробега фонона,- эффективное время релаксации, обратное значение которого соответствует частоте столкновений фононов.

Зависимость теплопроводности от температуры определяют величины и. При высоких температурахудельная теплоемкость приближается к предельному значению, определяемому законом Дюлонга и Пти,,т.е. становится независящей от температуры, и зависимость теплопроводности от температуры определяется температурными изменениями длины свободного пробега фононов. Число фононов при таких температурах велико и пропорционально температуре:

поэтому вероятность возникновения процессов переброса увеличивается с ростом температуры, и частота столкновений растет пропорционально температуре, а, соответственно длина свободного пробега фононов уменьшается обратно пропорционально температуре: . Тогда.

При понижении температуры среднее число фононов, способных принять участие в процессах переброса, спадает по экспоненте:

вероятность процессов переброса уменьшается тоже по экспоненте, и длина свободного пробега (как и время релаксации) фонона с понижением температуры увеличивается экспоненциально

Удельная теплоемкость с понижением температуры уменьшается в соответствии с законом Дебая, как , но рост теплопроводности происходит преимущественно за счет, которая растет по экспоненте,

При приближении температуры к абсолютному нулю вероятность процессов переброса становится малой, длина свободного пробега становится сравнимой с размерами образца и не зависит от температуры. При дальнейшем понижении температуры коэффициент теплопроводности резко спадает до нуля, так же, как теплоёмкость, т.е. как . Зависимость теплопроводности диэлектриков от температуры представлена на рис.7.11.