Физика лекции / физика твёрдого тела / тв10

Лекция 10

8. Сверхпроводимость

Сверхпроводимость была открыта в 1911 году голландским физиком Камерлинг-Оннесом. Изучая зависимость сопротивления ртути от температуры, он установил, что при очень низких температурах сопротивление образца исчезало. При температуре 4,2 К удельное электрическое сопротивление резко обращалось в ноль. Согласно теории электропроводности металлов в образцах без примесей и дефектов удельное сопротивление должно стремиться к нулю при понижении температуры (Т→0 К) постепенно.

Добавление примесей к ртути не приводило к появлению остаточного сопротивления, т.е. образцы также переходили в сверхпроводящее состояние.

В настоящее время сверхпроводимость обнаружена примерно у половины

металлических элементов, большого числа металлических соединений и при некоторых условиях у ряда полупроводников. Температура Т_с, называемая температурой сверхпроводящего перехода или критической температурой, при которой у образца исчезает сопротивление, для разных веществ представлена в таблице.

Металл, вещество	Тс, К
Be	0,03
Ti	0,4
Zr	0,75
Mo	0,93
In	3,4
Sn	3,7
Ta	4,5
Pb	7,2
Tс	7,7
Nb	9,3
Ti2Co	3,44
La3In	10,4
Nb3Au	11,5
MoN	12,0
NbN	16
Nb3Al	17,5
Nb3Ge	23,4

При Т < Т_с сопротивление сверхпроводников равно нулю. Это означает, что если через сверхпроводящее кольцо пропустить ток и отключить это кольцо от источника, то ток будет сохраняться в кольце сколь угодно долго.

Изучение кристаллической структуры сверхпроводника показало, что при температурах, меньших критической T_c, не происходит никаких изменений в кристаллической решетке. Свойства твердого тела, зависящие от колебаний кристаллической решетки, также остаются неизменными. Таким образом, сверхпроводимость не связана с какими-либо изменениями кристаллической структуры.

Теплоемкость несверхпроводящего металла, как известно, в области низких температур складывается из теплоемкостей кристаллической решетки и электронного газа, температурная зависимость теплоемкости имеет вид: . Охлаждение сверхпроводника приводит к тому, что при критической температуре (Т=Т_с ) происходит скачок теплоемкости без появления скрытой теплоты, т.е. имеет место фазовый переход второго рода. При температурах ниже критической (Т < Т_с ) зависимость теплоемкости от температуры определяется выражением вида:

- решеточный вклад в теплоемкость остается без изменений, а электронный меняется, т.е. сверхпроводимость связана с какими-то коренными изменениями поведения электронов проводимости.

В 1950 г. Максвеллом и независимо Рейнольдсом было установлено, что образцы сверхпроводника, изготовленные из разных изотопов одного и того же элемента, обладают различными критическими температурами. В большинстве случаев критическая температура обратно пропорциональна корню квадратному из массы изотопа. Это изотопический эффект. Он свидетельствует о том, что хотя кристаллическая решетка при переходе в сверхпроводящее состояние и не изменяется, она играет существенную роль в изменении свойств электронного газа. Для явления сверхпроводимости существенным является взаимодействие электронов с колебаниями решетки.

Мейсснер и Оксенфельд установили, что если образец сверхпроводника охлаждать в магнитном поле до температуры ниже критической , то в точке сверхпроводящего перехода магнитное поле выталкивается из образца, т.е. в сверхпроводнике магнитная индукция В=0 – сверхпроводник является идеальным диамагнетиком (это эффект Мейсснера-Оксенфельда).

Этот результат не является просто следствием исчезновения сопротивления. Действительно, согласно закону Ома . При конечном значении плотности тока и удельном сопротивлении, стремящемся к нулю ( ) , электрическое поле в образце равно нулю. Тогда, согласно уравнению Максвелла , должно быть =0, т.е. магнитный поток в образце не может измениться при переходе в сверхпроводящее состояние.

Таким образом, идеальный диамагнетизм, также как и нулевое сопротивление - это фундаментальное свойство сверхпроводника.

По своим магнитным свойствам все сверхпроводники делятся на сверхпроводники первого и второго рода. Эффект Мейсснера - Оксенфельда наблюдается у сверхпроводников первого рода, к которым относятся все сверхпроводники, кроме ниобия. Сверхпроводники второго рода (ниобий, сверхпроводящие сплавы и химические соединения) не обнаруживают эффекта Мейсснера – Оксенфельда, хотя магнитное поле в них и проникает.

Сверхпроводимость можно разрушить магнитным полем с напряженностью больше некоторой критической Н_с, которая зависит от температуры следующим образом:

Эффекты Джозефсона. В 1962 году Джозефсон предсказал эффекты слабой сверхпроводимости. Различают стационарный и нестационарный эффекты Джозефсона.

Стационарный эффект заключается в том, что сверхпроводящий ток может течь в отсутствие электрического поля через щель между двумя сверхпроводниками, заполненную изолятором, если толщина слоя изолятора достаточно мала (1-2 нм). Это означает, что “сверхпроводящие” электроны способны туннелировать через тонкие изолирующие слои.

Если увеличить ток через подобный контакт сверхпроводников, то он достигнет некотрого максимального значения, после чего на контакте появится электрическое напряжение V. Согласно предсказаниям Джозефсона, в этих условиях на контакте должен появиться высокочастотный переменный ток с частотой

.

Это нестационарный эффект Джозефсона. Эффекты Джозефсона подтверждены экспериментально и положены в основу чрезвычайно точного метода измерения напряжения.

Эффекты Джозефсона подтверждают согласованное когерентное поведение электронов, объединившихся в единый квантовый коллектив.

Еще в 30-х годах указывалось на то, что сверхпроводящее состояние может быть разрушено с помощью электромагнитного излучения соответствующей частоты. При этом излучение должно быть поглощено сверхпроводником. Эксперимент подтвердил, что при температурах ниже критической (Т<Т_с ) поглощение электромагнитных волн возникает при частотах , больших 10¹¹ Гц. Наличие “края поглощения” в сверхпроводниках свидетельствует о существовании в их спектре некоторой энергетической щели (~10^-4 эВ). Если ширину этой щели выразить через , то получается температура порядка ~ 1К. По порядку величины это соответствует критическим температурам сверхпроводящего перехода.

Первой теорией, описавшей свойства сверхпроводников, была теория, созданная физиками Ф. и Г. Лондонами в 1935 году. Они основывались на двухжидкостной теории сверхпроводника. При температурах ниже критической (Т<Т_с ) в сверхпроводнике имеются “сверхпроводящие” электроны с концентрацией (Т) и “нормальные” электроны с концентрацией , где n - полная концентрация электронов проводимости. Плотность “сверхпроводящих” электронов с ростом температуры уменьшается и обращается в ноль при критической температуре (Т = Т_с). При приближении к абсолютному нулю (Т0 К) n (концентрация сверхпроводящих электронов стремится к концентрации всех электронов; ток сверхпроводящих электронов течет через образец без сопротивления).

Теория Лондонов была ограниченной в силу ее феноменологичности. Она не раскрывала природы сверхпроводников и не объясняла, что представляют собой сверхпроводящие электроны.

В теории Гинзбурга-Ландау для описания свойств сверхпроводников была привлечена квантовая механика. Вся совокупность сверхпроводящих электронов описывалась волновой функцией Ψ(r) от одной пространственной координаты. Введением функции Ψ(r) устанавливалось когерентное, согласованное поведение всех сверхпроводящих электронов (в случае “нормальных” электронов Ψ является функцией п координат Ψ=Ψ(r₁,r₂…r_n)). В случае же сверхпроводника все электронов ведут себя совершенно одинаково, согласованно, и для описания их поведения достаточно той же самой волновой функции, что и для описания одного электрона, т.е. Ψ (r). Но эта теория также не была всеобъясняющей. Она не давала понимания явления сверхпроводимости на микроскопическом уровне.

В 1957 году Дж.Бардин, Л.Купер и Дж.Шриффер опубликовали теорию (теория БКШ), раскрывающую микроскопический механизм сверхпроводимости.

Вот основные результаты этой теории:

1. Притяжение между электронами. Итак, сверхпроводимость связана с некоторым изменением в поведении электронов проводимости. При этом кристаллическая решетка активно участвует в создании сверхпроводящего состояния (изотопический эффект).

Одна из основных трудностей в создании теории сверхпроводимости заключалась в том, что было неясно, какое взаимодействие в системе электронов проводимости приводит к согласованному поведению электронов. Электроны проводимости в металле обладают энергиями в несколько электрон-вольт (~E_F), а сверхпроводящее состояние разрушается при 10^-4 эВ. Таким образом, нужно было найти очень слабое взаимодействие электронов с участием решетки, приводящее к сверхпроводимости. Таким взаимодействием является притяжение между электронами, которое осуществляется через колебания решетки. Это взаимодействие осуществляется следующим образом. В узлах кристаллической решетки металла находятся положительно заряженные атомные остовы. Электрон стремится притянуть эти остовы, поэтому в окружающей электрон области происходит скопление положительных зарядов (т.е. под действием отрицательного заряда электрона решетка поляризуется). Второй электрон, находящийся неподалеку, притягивается к поляризованной области, а, следовательно, к первому электрону. Между электронами существует и кулоновское отталкивание, для сверхпроводника нужно, чтобы отталкивание было слабее притяжения.

Электроны в металле обладают значительными скоростями, поэтому поляризация решетки не является статической. Возникающая при движении электрона поляризация зависит от того, насколько быстро решетка может откликаться на поляризующее воздействие электрона, т.е. поляризуемость решетки зависит от частоты собственных колебаний атомов.

Взаимодействие электронов через решетку можно представить так. Один электрон испускает фонон, другой его поглощает.

Рассмотрим металл при Т=0 К. При этой температуре фононов нет. Как происходит взаимодействие электронов? Пусть электрон имеет волновой вектор . Его квазиимпульс . В некоторый момент времени этот электрон возбуждает колебания решетки (испускает фонон), а сам переходит в состояние с квазиимпульсом . При этом квазиимпульс системы сохраняется: , где - квазиимпульс фонона (рис.8.2).

Этот фонон почти мгновенно поглощается другим электроном, имеющим до взаимодействия квазиимпульс . В результате поглощения фонона второй электрон переходит в состояние с квазиимпульсом :

.

Таким образом, в результате обмена фононом электроны из состояний и перешли в состояние и , т.е. произошло рассеяние электронов друг на друге.

При этом и . Но рассеяние двух частиц может осуществляться только в случае их взаимодействия. Фонон, которым обмениваются электроны, называют виртуальным фононом. Он связан с поляризацией решетки и может существовать только при переходе от одного электрона к другому (в отличие от реального фонона). Виртуальные фононы не могут распространяться в решетке независимо от этих электронов. Чем сильнее в нормальном металле электрон-фононное взаимодействие, тем меньше его проводимость. Благородные металлы являются прекрасными проводниками. У них слабое электрон-фононное взаимодействие. Они не переходят в сверхпроводящее состояние даже при самых низких температурах.

Все ли электроны притягиваются друг к другу? В процессе испускания фонона первый электрон переходит из состояния в состояние . При этом состояние должно быть свободно. Согласно принципу запрета Паули, такой переход возможен лишь вблизи уровня Ферми. Если представить состояния электрона в k-пространстве, то электронам, находящимся на уровне Ферми, соответствует - поверхность, представляющая собой сферу (рис. 8.3). Через фононы могут взаимодействовать лишь электроны, лежащие в достаточно узком сферическом слое около поверхности Ферми. Остальные электроны не взаимодействуют. Толщина слоя определяется дебаевской энергией :

,

где - энергия Ферми. Для электронов, имеющих энергию вне этого слоя, решетка движется слишком медленно и не успевает откликнуться на поляризующее действие электрона.

Куперовские пары. В нормальном металле при Т=0 К наименьшей энергией обладает состояние, когда все электроны в - пространстве занимают ячейки внутри сферы Ферми. Все состояния вне этой сферы свободны. В этом случае электроны не взаимодействуют друг с другом, т.е. их потенциальная энергия равна нулю.

Обмен электронов виртуальным фононом приводит к их притяжению. Таким образом, появляется возможность образования связанных пар электронов. Энергия притяжения этих электронов дает отрицательный вклад в общую энергию системы, т.е. понижает ее. Но для того, чтобы наблюдать это, необходимо обеспечить возможность рассеяния электронов из состояния () в состояние (), такое рассеяние окажется возможным, если состояние () сначала заполнено, а () - пусто. Поэтому минимальной энергии при Т=0 соответствует уже не полностью заполненная сфера Ферми, а некоторая “размазанная” поверхность Ферми. Ряд ячеек в -пространстве над поверхностью Ферми окажется заполненным, в то время как некоторые ячейки под поверхностью Ферми - пустые.

Из квантово - механического рассмотрения следует, что наибольшее понижение энергии системы достигается, когда связанные пары образуют электроны с равными и противоположно направленными импульсами и противоположными спинами, т.е. когда образуются пары {}, получившие название куперовских пар.

В отличие от электронов, имеющих полуцелый спин, куперовская пара - это новая частица с нулевым спином. Такие частицы подчиняются статистике Бозе -Эйнштейна. Для них не существует запрета Паули. Основное свойство таких частиц состоит в следующем: они в сколь угодно большом количестве могут занимать одно состояние, причем, чем больше их оказывается в этом состоянии, тем труднее какой-либо из частиц выйти из данного состояния. Происходит так называемая бозе – конденсация.

Т.к. все частицы в конденсате находятся в одном состоянии, то они и описываются волновой функцией от одной пространственной переменной. Течение такого конденсата называют сверхтекучим. Любой из частиц бозе - конденсата очень не просто рассеяться на каком-либо дефекте - остальные частицы препятствуют этому.

Таким образом, сверхпроводимость можно представить как сверхтекучесть куперовских пар, имеющих заряд 2е.

Взаимодействие, приводящее к образованию куперовских пар, слабое, поэтому размер куперовских пар очень большой ( нм). Это означает, что внутри области, занимаемой любой парой, есть центры многих миллионов пар. Это означает, что куперовские пары нельзя представить в виде независимых частиц. Такое большое перекрытие волновых функций усиливает эффект спаривания, и процесс образования куперовских пар - это коллективный эффект.

Энергетическая щель. Все образовавшиеся куперовские пары при Т=0 К сконденсированы на одном уровне, характеризующем основное состояние сверхпроводника. При образовании куперовских пар энергия системы понижается на энергию связи электронов в паре 2. Неспаренный электрон представляет собой элементарное возбуждение в сверхпроводнике и занимает первый незанятый уровень спектра элементарных возбуждений. При разрыве пары оба электрона должны подняться на уровни элементарных возбуждений, поэтому должна быть затрачена энергия, большая . Таким образом, спектр элементарных возбуждений (нормальных электронов) отделен от энергетического уровня, соответствующего основному состоянию сверхпроводника, энергетической щелью 2.

При Т=0 К

.

С ростом температуры ширина энергетической щели уменьшается. Действительно, для разрыва куперовской пары и создания двух элементарных возбуждений необходимо затратить энергию (обозначение относится к случаю Т=0). Если температура сверхпроводника отлична от нуля и такова, что , то многие куперовские пары разорвутся под воздействием тепловых колебаний. При этом в k - пространстве много состояний заполнено одиночными электронами (элементарными возбуждениями). Эти заполненные состояния уже не участвуют в создании пары и не дают понижения энергии системы. Энергия сверхпроводника повышается. Эти же состояния не участвуют теперь в формировании энергетической щели. Следовательно, чем больше разорванных пар, тем больше элементарных возбуждений, тем меньше энергетическая щель. При критической температуре она исчезает. Вблизи критической температуры энергетическая щель убывает по закону

.