Лекция 7 Тепловые свойства твердых тел

6.Колебания в кристаллах

В твердом теле атомы при любой температуре совершают колебания вокруг своего положения равновесия, включая и температуру абсолютного нуля. При небольших амплитудах эти колебания можно считать гармоническими. С ростом температуры энергия и амплитуда колебаний увеличивается. Атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, поэтому возбуждение колебаний одного атома передается его соседям и т.д. Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. С колебаниями атомов кристаллической решетки связаны такие физические явления как теплоемкость, теплопроводность, тепловое расширение, электропроводность твердых тел и др. Теория колебаний атомов трехмерного кристалла сложна, поэтому рассмотрим сначала распространение упругих волн в однородной упругой струне и в кристаллах без учета их дискретной структуры.

6.1.Одномерные колебания однородной струны

Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с плотностью ρ. Движение каждого из элементов струны происходит лишь в направлении ее длины.

Выделим бесконечно малый элемент струны толщиной (рис.6.1). При распространении продольной волны на этот элемент действуют упругие силы: слева, справа, где- площадь поперечного сечения струны,σ– нормальное упругое напряжение. Результирующая этих сил. Под действием силыFэлементиспытывает смещение. Обозначивu(x, t) смещение центра масс элемента, запишем по второму закону Ньютона уравнение его движения:

.

Здесь - масса элемента,- его ускорение. Разделив наS, имеем:

.

При x0 получаем . Согласно закону Гука, гдеЕ- модуль упругости (модуль Юнга);- деформация в точке, тогда

.

Для смещения получаем уравнение

. (6.1)

Это обычное волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны. Решение этого уравнения будем искать в виде бегущей продольной монохроматической волны: , где- амплитуда колебаний;t-время,-круговая частота,-волновое число.

Подставив это решение в (6.1), получим:

-

-для упругой волны, распространяющейся в неограниченно протяженной струне, частота колебаний линейно зависит от волнового числа (рис.6.2). При этом скорость распространения волныдля данного материала величина постоянная, т.к.Еиρзависят только от материала. Так для железной струны,,.

6.2.Упругие волны в монокристаллах

Процессы распространения упругих волн в кристаллах много сложнее процессов распространения электромагнитных волн. Электромагнитные волны всегда поперечные, упругие (звуковые) волны могут быть как поперечными, так и продольными. Продольные волны - это волны сжатий и растяжений, поперечные - волны деформаций сдвига. В каждом заданном направлении в кристалле распространяются в общем случае три поляризованные упругие волны с разными скоростями.

Рассмотрим распространение упругих волн в кристалле, плотность которого ρ. Внутри кристалла выберем элементарный параллелепипед с ребрами, параллельными кристаллографическим осям координатx,y,z(рис.6.3).

При движении упругой волны по кристаллу каждая грань элементарного параллелепипеда под действием напряжения совершает небольшие перемещения. Для поступательного перемещения элементарного параллелепипеда при распространении упругой волны вдоль направленияхимеем следующее: на граньхдействует напряжение, на параллельную ей грань- напряжение. Результирующая сила, действующая в направлениих, равна: . Другие силы, действующие в направлениих , вызваны изменением внутри параллелепипеда напряженийи, так что в направлениихрезультирующая сила равна

.

Пусть -компоненты вектора смещения центра масс параллелепипеда. Уравнение движения параллелепипеда в направлениихпод действием напряжений имеет вид:

.

Оно имеет три решения.

Первое решение , оно описывает продольную волну, скоскорость распространения которой в направлении [100] (т.е. в направлении осих) равна.

Второе решение описывает поперечную волну (волна сдвига), волновой вектор которой направлен вдоль ребра куба и совпадает с направлением х, эта волна дает смещениеυпо направлению осиy:, скорость распространения ее в направлении [100]

,

где c_y - упругая постоянная поперечной волны в направлении [100].

Третье решение - это волна сдвига, волновой вектор которой направлен по оси х,смещениеwпроисходит вдоль осиz:

,

скорость распространения ее в направлении [100] , гдеc_z-упругая постоянная.

Таким образом, для одного и того же волнового вектора , параллельного направлению [100], возникают три упругие волны - одна продольная и две поперечные. При этом две независимые волны сдвига имеют одинаковые скорости. В случае произвольного вектора имеют место три поляризованные волны, распространяющиеся с разными скоростями, которые не зависят от частоты колебаний. При этом , чем меньше плотность и чем меньше жесткость кристалла, тем выше скорости распространения упругих волн. Круговая частота ω~, т.е. результат тот же, что и для упругой струны.