Лекция № 1

1. Кинематика

1.1 Кинематика материальной точки (2 часа)

(МУ) Основные кинематические характеристики криволинейного движения: скорость и ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика вращательного движения: угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением.

(БУ) Пространство и время в механике Ньютона. Системы координат и их преобразования. Физический смысл производной и интеграла.

1. Механическое движение. Кинематическое уравнение движения. Радиус-вектор. Траектория. Путь. Перемещение.

1. Механическим движением называется изменение взаимного расположения тел или их частей.

Раздел физики, занимающийся изучением закономерностей механического движения и взаимодействия тел, называется механикой.

При этом под механическим действием на тело понимают такое воздействие со стороны других тел, которое приводит к изменению состояния механического движения рассматриваемого тела или к его деформации, т.е. к изменению взаимного расположения его частей.

Классическая механика рассматривает движение макроскопических тел, скорости которых много меньше скорости света в вакууме с= 310⁸ м/с.

Основы классической механики были разработаны И.Ньютоном, поэтому ее обычно называют ньютоновской механикой.

Релятивистская механика рассматривает движение макроскопических тел, скорости которых сравнимы со скоростью света в вакууме с= 310⁸ м/с.

Решая ту или иную конкретную задачу механики, всегда выделяют из множества тел только те, которые играют в данной задаче существенную роль. Эта совокупность тел называется механической системой.

Мы будем изучать два основных раздела классической механики: кинематику и динамику.

Кинематика описывает механическое движение тел безотносительно к причинам, вызвавшим движение.

Динамика занимается исследованием влияния взаимодействия тел на их механическое движение.

2. Все окружающие нас тела состоят из огромного числа атомов или молекул, т.е. представляют макроскопические системы.

В механике для описания реальных тел пользуются в зависимости от условий конкретной задачи различными упрощенными моделями: материальная точка; абсолютно твердое тело; абсолютно упругое тело; абсолютно неупругое тело, т.д.

Выбор той или иной модели нужно производить так, чтобы учесть все существенные особенности поведения реального тела в данной задаче и отбросить все второстепенные, неоправданно усложняющие решение.

Материальной точкой называется тело, формой и размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Одно и то же тело в одних задачах можно считать материальной точкой, а в других – нельзя.

Например, рассматривая движение Земли по орбите вокруг Солнца, ее можно считать материальной точкой, т.к. размеры Земли много меньше радиуса орбиты. В то же время при рассмотрении движения тел по Земле ее уже нельзя считать материальной точкой. Любое протяженное тело или систему тел, образующих механическую систему, можно представить как систему материальных точек. Для этого все тела системы разбивают на такие части, размерами каждой из которых можно пренебречь в сравнении с размерами самих тел.

Абсолютно твердым называется тело, деформацией которого можно пренебречь. При любых взаимодействиях расстояния между любыми двумя точками абсолютно твердого тела остаются неизменными.

Эта модель пригодна в тех случаях, когда в рассматриваемой задаче деформации тела при его взаимодействии с другими телами пренебрежимо малы. Абсолютно твердое тело можно представить в виде системы материальных точек, жестко связанных между собой.

Абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело – два предельных случая реальных тел, деформациями которых нельзя пренебрегать в изучаемых процессах (например, при соударении тел)

Тело называется абсолютно упругим, если его деформации подчиняются закону Гука, т.е. пропорциональны вызывающим их силам. После прекращения внешнего механического действия на такое тело оно полностью восстанавливает свои первоначальные размеры и форму.

Тело называется абсолютно неупругим, если тело после прекращения внешнего механического действия полностью сохраняет деформированное состояние, вызванное эти действием.

3. Все тела существуют в пространстве и во времени. Любое тело имеет объем, т.е. пространственную протяженность. Время выражает порядок смены состояний, составляющих любое движение. Оно служит мерой длительности процесса.

Положение тела в пространстве определяется только относительно каких-либо других тел.

Для однозначного определения положения исследуемого тела в произвольный момент времени необходимо выбрать систему отсчета.

Абсолютно твердое тело и жестко связанную с ним систему координат, снабженную часами, используемую для определения положения материальной точки в пространстве в любой момент времени, называют системой отсчета.

При этом под часами подразумевается любое устройство, измеряющее промежутки времени между событиями. Начало отсчета времени выбирается произвольно.

Абсолютно твердое тело, с которым связывают систему координат, называют телом отсчета.

4. В качестве системы координат в классической механике наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат, имеющая ортонормированный базис, заданный ортами (рис.1.1).

Положение точкиA относительно этой системы координат задают двумя эквивалентными способами:

• радиус-вектором (это вектор, проведенный из начала координат в данную точку),

Из правила сложения векторов следует, что радиус-вектор точки А можно разложить по базису

(1.1)

• либо тремя координатами x, y, z.

Координаты x, y, z точки А называются также координатами (компонентами) радиус- вектора ,относительно базиса. Векторы -составляющие вектора по осям координат.

В силу ортогональности этой системы координат величины x, y, zравны проекциям вектора на оси декартовых координат:

Где α, β, γ – углы, составляемые радиус-вектором с ортами осей координат.

5. При движении точки A ее координаты и радиус-вектор изменяются с течением времени, поэтому для задания закона движения этой точки необходимо указать три непрерывные и однозначные функции времени

(1.2^*)

либо векторную функцию:

(1.2)

Выражения вида (1.2) называются кинематическими уравнениями движения.

Траекторией называется линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка. Кинематические уравнения движения точкизадают её траекторию в параметрической форме. Параметром служит времяt.

Уравнение траектории точки в обычной форме, т.е. в виде двух уравнений, связывающих между собой декартовы координаты точек траектории, можно получить решая уравнения (1.2^*) совместно и исключая из них параметр t.

Например: пусть кинематические уравнения движения точки заданы в форме

, где

Уравнение траектории точки , т.е. точка движется в плоскостипо эллиптической траектории с полуосями равнымиa и b/

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Движение называют плоским, если все точки траектории лежат в одной плоскости.

В этом случае уравнение траектории удобно задавать в виде y= y(x).

Механическое движение тела относительно: его характер, а, следовательно, и форма траектории, зависят от выбора системы отсчета.

Например, тело, свободно падающее с полки в вагоне равномерно движущегося поезда, в системе отсчета, связанной с вагоном, движется вертикально вниз, а в системе отсчета, связанной с Землей, совершает плоское движение по параболе.

6. Длиной пути, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, называется сумма длин всех участков траектории, пройденных за этот промежуток.

Длина пути – это скалярная неотрицательная величина.

Пусть в момент времениположение точки характеризовалось радиус-вектором, а в момент временирадиус-вектором(рис.1.2).