Lab_01_Схема Горнера
.docМИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рыбинский государственный авиационный технический университет имени П.А.Соловьева»
Кафедра «Высшей математики»
Лабораторная работа № 0
По дисциплине «Численные методы»
Тема: схема Горнера
Вариант № 4
Студент группы: НЭБ-14 Зухуров Н.М.
Преподаватель: Олейникова
Рыбинск 2014
Теория
Теорема 1. Пусть P(x) и Q(x) – многочлены. Тогда существуют многочлены M(x) и R(x) такие, что P(x) = Q(x) M(x) + R(x), причем deg(R) < deg(Q) или Q(x)=0. (deg(P) – степень многочлена P(x).)
Теорема 2. Для любого многочлена P(x) и любого числа x0 найдутся многочлен M(x) и число r, такие, что P(x) = (x-x0) M(x) + r.
Теорема 3.(БЕЗУ) Многочлен P(x) делится на (x-x0) тогда и только тогда, когда P(x0) =0.
Схема Горнера.
P(x) = an xn+an-1 xn-1 + …+ a0
|
an |
an-1 |
an-2 |
… |
a0 |
|
|
x0* bn |
x0* bn-1 |
|
x0* b1 |
x0 |
bn = an |
bn-1 = an-1+ x0* an |
bn-2 = an-2+ x0* bn-1 |
|
b0 = a0+ x0* b1 |
P(x0) = b0.
P(x) = (x-x0) (bnxn- 1+bn-1xn-2 + … + b1) + b0.
Теорема 3. Пусть P(x) = an xn+an-1 xn-1 + …+ a0 – многочлен с целыми коэффициентами, – рациональный корень многочлена P(x), p и q взаимно простые целые числа.. Тогда p делит a0 , q делит an.
Задание.
-
Вычислите с помощью схемы Горнера значение многочлена P(x) в точках x1=0,7, x2=-1,33, x3=2,45.
-
Разделите с помощью схемы Горнера многочлен P(x) на , где i=1,2,3.
-
С помощью схемы Горнера найдите корни заданных многочленов P(x) и Q(x).
Примечание: все данные указаны в таблице.
ВАРИАНТЫ
№ |
P(x) |
Q(x) |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
-4 |
2 |
2 |
|
|
2 |
-1 |
3 |
3 |
|
|
4 |
-2 |
5 |
4 |
|
|
4 |
-5 |
2 |
5 |
|
|
3 |
-3 |
4 |
6 |
|
|
2 |
-6 |
4 |
7 |
|
|
2 |
-3 |
1 |
8 |
|
|
3 |
-2 |
2 |
9 |
|
|
3 |
-5 |
2 |
10 |
|
|
1 |
-4 |
3 |
11 |
|
|
3 |
-4 |
2 |
12 |
|
|
1 |
-1 |
3 |
13 |
|
|
5 |
-2 |
5 |
14 |
|
|
5 |
-5 |
2 |
15 |
|
|
3 |
-3 |
4 |
16 |
|
|
3 |
-6 |
4 |
17 |
|
|
4 |
-3 |
1 |
18 |
|
|
-3 |
-2 |
2 |
19 |
|
|
2 |
-5 |
2 |
20 |
|
|
-1 |
-4 |
3 |
Оформление отчета лабораторной работы должно содержать:
-
Теорию, (смотри выше)
-
Задание (смотри выше)
-
Выполнение работы.
Выполнение лабораторной работы.
Вариант № 0.
P(x) =
-
Вычислим с помощью схемы Горнера значение многочлена P(x) в точках x1=4, x2=-5, x3=2,
В Excel вычисляем с помощью схемы Горнера значения P(x) в соответствующих точках.
-
Разделите с помощью схемы Горнера многочлен P(x) на , где i=1,2,3. Пусть в нашем случае 1;-4;3.
-
С помощью схемы Горнера найдем корни многочлена Q(x).
Q(x)=
Для многочлена корни будем искать среди чисел:
Построим с помощью Excel таблицу, в которой вычисляем по схеме Горнера корни многочлена .
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
-22 |
-1 |
6 |
6 |
2 |
11 |
44 |
263 |
1577 |
-6 |
2 |
-13 |
56 |
-337 |
2028 |
3 |
2 |
5 |
-7 |
-22 |
-60 |
-3 |
2 |
-7 |
-1 |
2 |
0 |
-3 |
2 |
-13 |
38 |
-112 |
|
2 |
2 |
-3 |
-7 |
-12 |
|
-2 |
2 |
-11 |
21 |
-40 |
|
1 |
2 |
-5 |
-6 |
-4 |
|
-1 |
2 |
-9 |
8 |
-6 |
|
1,5 |
2 |
-4 |
-7 |
-8,5 |
|
-1,5 |
2 |
-10 |
14 |
-19 |
|
0,5 |
2 |
-6 |
-4 |
0 |
|
0,5 |
2 |
-5 |
-6,5 |
|
|
-0,5 |
2 |
-7 |
-0,5 |
|
|
Корнями являются и .
Значит, можно записать в виде:
.
Решим квадратное уравнение и найдем оставшиеся корни:
.