4. При движении материальной точки по плоской кривой:

Вектор ускорения равен , а его модуль

При криволинейном движении точки вектор её ускорения всегда отклонен от касательной к траектории в сторону ее вогнутости.

При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует.

Интересным является тот факт, что

-обращается в ноль в точке перегиба криволинейной траектории (точка ТП на рис.1.8).

- По обе стороны от этой точки векторы направлены в разные стороны.

- вектор не может изменяться скачком, изменение направления на противоположное происходит плавно с обращениемв ноль в точке перегиба.

• Если материальная точка движется с постоянными по величине скоростью и ускорением, то , так чтои, поэтому– частица движется по линии постоянной кривизны,т.е. по окружности.

1.4. Кинематика вращательного движения

Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной кривой, называемой осью вращения (рис.1.9).

Ось вращения может находиться и вне тела (рис.1.9.б).

Поворот тела на некоторый уголможно задать в виде отрезка, длина которого, а направление совпадает с осью вращения.

Для того, чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, связывают направление поворота и изображающего его отрезка правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (рис.1.10).

Вектор поворота является не истинным вектором, апсевдовектором.

Угловой скоростью тела называется векторная величина ,.

где – время, за которое совершается поворот,

Она направлена по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой псевдовектор.

Модуль угловой скорости равен .

Вращение с постоянной угловой скоростью называют равномерным.

Такое движение характеризуют:

1) периодом , под которым понимают время полного оборота.

При этом , тогда, и.

2) частотой (частота обращения) - число оборотов в единицу времени равно .

Подставив , получаем:.

Вектор может изменяться:

- при изменении скорости вращения тела вокруг оси (по величине),

- при повороте оси вращения в пространстве (в этом случае меняется по направлению).

Угловое ускорение характеризует изменение вектора угловой скорости со временем :

.

Угловое ускорение, также как и угловая скорость, является псевдовектором.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости .

Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление.

Величина скорости определяется угловой скоростью вращения телаи расстояниемрассматриваемой точки от оси вращения.

Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол (рис.1.11).

Точка, находящаяся на расстоянии от оси, проходит при этомпуть: .

Линейная скорость точки:

. (1.9)

Эта формула связывает модули линейной и угловой скоростей.

Найдем выражение, связывающее векторы и.

Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиус-вектором , проведенным из лежащего на оси вращения начала координатО ( рис.1.12).

Из рисунка видно, что векторное произведение совпадает по направлению с вектороми имеет модуль, равный.

Следовательно, .

Нормальное ускорение точек вращающегося тела равно .

Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор , проведенный в данную точку тела (рис.1.12), это выражение можно записать в векторной форме .

Знак минус поставлен, так как векторы и направлены противоположно.

Будем считать, что ось вращения не поворачивается в пространстве. В этом случае расстояние рассматриваемой точки до оси вращения не меняется, , и взяв производную от выражения (1.9), получаем

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния точки от оси вращения.

Вслучае сложного вращения, когда тело движется одновременно относительно нескольких осей, необходимо производить сложения угловых скоростей.

Рассмотрим движение твердого тела, вра­щающегося одновременно вокруг двух пересе­кающихся осей.

Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью вокруг осиОА (рис. 1.13)

и затем эту ось приведем во вра­щение с угловой скоростью вокруг осиOB, неподвижной в К-системе отсчета.

Найдем ре­зультирующее движение тела в К-системе.

Введем вспомогательную K'-систему отсчета, жестко связан­ную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угло­вой скоростью , и тело вращается относительно нее с угло­вой скоростью.

За промежуток времени тело совершит поворотвокругоси АО в K'- системе и одновременно поворот вокруг оси ОВ вместе с K'- системой.

Суммарный поворот есть = + .

Разделив обе части этого равенства на получим .

Таким образом, результирующее движение твердого тела в K- системе представляет собой чистое вращение с угловой ско­ростью вокруг оси, совпадающей в каждый момент с векто­ром и проходящей через точкуO (рис. 1.13).

Эта ось переме­щается относительно K- системы — она поворачивается с угло­вой скоростью вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости ине меняются по модулю, тело будет обладать в K- системе угловым ускорением, направленным, согласно, за плоскость (рис. 1.14).

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению,можно представить как векторную сумму состав­ляющих на определенные направления, т. е.=++..., где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при ана­лизе сложного движения твердого тела.