3.14. Эффект холла и его применение

Рассмотрим образец прямоугольной формы, по которому течет ток с плотностью . Образец помещен в магнитное поле с индукцией, перпендикулярное вектору(рис.3.32).Под действием электрического поляэлектроны в проводнике приобретают дрейфовую скорость. На частицу, движущуюся с этой скоростью в магнитном поле действует сила Лоренца, направленная перпендикулярно векторами. Под действием силиэлектрон перемешается вдоль образца, одновременно вращаясь (под действием магнитного поля). Траекторией такого движения является циклоида. Магнитное поле, при котором радиус кривизны траектории много больше длины свободного пробега электрона, называют слабым. Под действием силы Лоренца электроны отклоняются к боковой поверхности образца, и на ней создается избыток отрицательного заряда. На противоположной стороне возникает недостаток отрицательного заряда, т.е. избыток положительного. Разделение зарядов происходит до тех пор, пока сила, действующая на электроны со стороны возникшего электрического поля, направленного от одной боковой поверхности к другой, не скомпенсирует силу Лоренца. Это поленазывают полем Холла, а само явление возникновения в образце с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля было названо эффектом Холла.

Разделение зарядов прекратится при условии . Тогда разность потенциаловмежду боковыми гранями, называемая ЭДС Холла или холловская разность потенциалов, равна

, (3.14)

где - ширина образца. Плотность тока, выразив скорость и подставив в (3.14), получаем,- постоянная Холла.

Эффект Холла – один из наиболее эффективных методов изучения энергетического спектра носителей заряда в металлах и полупроводниках. Зная постоянную Холла, можно оценить концентрацию носителей, что позволяет сделать заключение о количестве примесей. Линейная зависимость используется для измерения напряженности магнитного поля.

Лекция 8

4.Электромагнитная индукция

4.1. Феноменология электромагнитной индукции. Физика электромагнитной индукции. Правило ленца. Уравнение электромагнитной индукции. Вихревое электрическое поле

Явление электромагнитной индукции состоит в том, что при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в последнем возникает индукционный ток, т.е. действует ЭДС индукции. Величинане зависит от способа, которым осуществляется изменение магнитного потока, и определяется лишь скоростью изменения, т.е.. При изменении знаканаправление индукционного тока меняется.

Ленц установил правило, согласно которому индукционный ток всегда направлен так, чтобы препятствовать причине, его вызвавшей. Действительно, рассмотрим два контура (рис.4.1). Ток в первом контуре можно менять с помощью реостатаR. Этот ток создает магнитное поле, пронизывающее контур 2, подключенный к гальванометру G.

Если ток в первом контуре уменьшить, то

магнитный поток, пронизывающий второй контур, уменьшится. При этом во втором контуре возникает индукционный ток такого направления, чтобы своим магнитным полем препятствовать уменьшению магнитного потока, пронизывающего этот контур. Магнитный моментэтого тока будет направлен по полю, создаваемому током. Токиинаправлены одинаково.

Если ток увеличить, возникает токпротивоположного направления. Изменение магнитного потока может происходить либо за счет изменения площадиS контура, либо за счет изменения индукции магнитного поля .

Найдем связь между электродвижущей силой индукции и скоростью изменения магнитного потокав случае изменения площади контура. Возьмем контур с подвижной перемычкой длины(рис.4.2а). Поместим его в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура и направленное за чертеж. Приведем перемычку в движение со скоростью. С той же скоростью станут перемещаться и носители заряда в перемычке (электроны) относительно поля. При этом на каждый электрон действует направленная вдоль перемычки магнитная сила:

.

где e - заряд электрона. Действие этой силы эквивалентно действию на электрон электрического поля . Это поле неэлектрического происхождения, его циркуляция по контуру равна ЭДС индукции, действующей в этом контуре:

. (4.1)

Следовательно, данное электрическое поле не является потенциальным, это вихревое электрическое поле.

Подынтегральная функция выражения (4.1) отлична от нуля лишь на образуемом перемычкой участке 1 – 2.

За положительное направление ЭДС индукции (направление обхода контура) примем то, в котором ток образует с нормалью к поверхности контура правовинтовую систему. Пусть нормаль направлена за чертеж (см. рис.4.2). Тогда при вычислении циркуляции нужно обходить контур по часовой стрелке и соответственно выбирать направление векторов.

В выражении (4.1) постоянный вектор вынесем за знак интеграла, получим:

, (4.2)

где – вектор, показанный на рис. 4.2.б), направленный по направлению обхода контура и равный длине перемычки 1 – 2. Преобразуем выражение (4.2):

.

Из рис. 4.2.б видно, что , гдеdS - приращение площади контура за время dt, тогда

,

и - электродвижущая сила индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком.

В приведенных рассуждениях роль сторонних сил играют магнитные силы. Работа этих сил над единичным положительным зарядом равна ЭДС и отлична от нуля. Однако известно, что магнитные силы не совершают работы над зарядом. Противоречие устраняется, если учесть, что работу совершает не вся сила , а ее составляющая, параллельная проводу. Под действием этой составляющей электрон приходит в движение вдоль провода со скоростью, в результате чего возникает перпендикулярная к проводу составляющая магнитной силы.

Эта составляющая не вносит вклада в циркуляцию, так как перпендикулярна к . Полная магнитная сила, действующая на электрон, равна:

,

аработа этой силы над электроном за времяdt -

направление векторов иодинаковы, а векторовипротивоположны (рис.4.3).

Подставим ;, получим

- работа магнитной силы равна нулю.

Сила направлена противоположно скорости перемычки, поэтому для движения перемычки со скоростьюк ней надо приложить внешнюю силу, уравновешивающую силы, приложенные ко всем электронам, содержащимся в перемычке. За счет работы этой силы возникает энергия, выделенная в контуре индукционным током. Если ЭДС индукции возникает вследствие изменения индукции магнитного поля, то изменяющееся во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Под действием этого поля носители тока в проводнике приходят в движение и возникает индукционный ток.

Рассмотрим контур, состоящий из N витков, например, соленоид. Витки соединяются последовательно, поэтому равна сумме ЭДС, индуцируемых в каждом витке в отдельности:.

.

Величину называют потокосцеплением или полным магнитным потоком. Если потоки, пронизывающие каждый из витков одинаковы, то, ЭДС индукции в сложном контуре равна:

.