3.9. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле

Рассмотрим контур с током, образованный неподвижными проводами и скользящей по ним подвижной перемычкой длины (рис.3.23). Поместим этот контур в однородное магнитное поле, перпендикулярное к плоскости контура. Сила, действующая на перемычку по закону Ампера, равнаВ ситуации на рис.3.23а) она направлена вправо, на рис. 3.23 б)– влево. При перемещении перемычки наdh на рис.3. 23а) сила Ампера совершает работу

где dS – заштрихованныя площадь. Это площадь поверхности, которую описывает перемычка при своем движении. Очевидно, - изменение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, при перемещении перемычки. Поэтому работаdA равна

Для случая, представленного на рис. 3.23 б)

Работа, совершаемая при конечном перемещении перемычки, равна интегралу

(3.7)

Таким образом, работа, совершаемая магнитными силами (силами Ампера), равна произведению силы тока в проводнике и магнитного потока через поверхность, описываемую проводником при его движении.

Выражение (3.7) справедливо и для определения работы при перемещении в магнитном поле замкнутого контура с током.

3.10. Поток магнитного поля. Дивергенция вектора магнитной индукции

В природе не существует магнитных зарядов. Это означает, что линии вектора нигде не начинаются и не заканчиваются. Поэтому поток векторачерез любую замкнутую поверхность должен быть равен нулю:

, (3.8)

и число линий вектора , выходящих из некоторого объема, равно числу линий, входящих в этот объем. Это теорема Гаусса для вектора.

Из этой теоремы следует, что поток вектора сквозь поверхностьS, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы поверхности.

Применив к выражению (3.8.) теорему Стокса получаем:

,

здесь V – объем, ограниченный поверхностью S. Тогда

(3.9)

• дивергенция вектора в любой точке поля равна нулю, т.е. магнитное поле не имеет источников истоков (т.е. нет магнитных зарядов, и не они порождают магнитное поле, а электрические токи) . Это дифференциальная форма теоремы Гаусса. Она справедлива как для постоянных, так и для переменных магнитных полей.

Лекция 7

3.11.МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. НАМАГНИЧЕНИЕ МАГНЕТИКА. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТОКИ. ВЕКТОР НАМАГНИЧЕННОСТИ И ЕГО СВЯЗЬ С ПЛОТНОСТЬЮ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ТОКОВ. НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. МАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ И МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле , которое накладывается на обусловленное токами поле. Результирующее поле, таким образом, равно:

.

С точки зрения Ампера, намагничение тел объясняется наличием в молекулах циркулирующих токов, которые получили название молекулярных токов. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, и результирующее поле равно нулю.

Под действием магнитного поля магнитные моменты поворачиваются по полю и вследствие этого магнетик намагничивается, магнитный момент его становится отличным от нуля и возникает поле . Намагниченностьюназывают магнитный момент единицы объема , где – магнитный момент отдельной молекулы.

Поле также как и полене имеет источников, поэтому дивергенция результирующего поля равна нулю:

.

Ротор результирующего поля равен , причем, , где– плотность макроскопического тока. Тогда, по аналогии, ротор векторадолжен быть пропорционален плотности молекулярных токов:

,

а ротор результирующего поля равен:

. (3.10)

Таким образом, для того, чтобы вычислить ротор , надо знать плотность как макротоков, так и молекулярных токов, причем плотность молекулярных токов зависит от. Чтобы обойти это затруднение, необходимо ввести некоторую вспомогательную величину. Найдем ее.

Выразим плотность молекулярных токов , через намагниченность магнетика. Сумма молекулярных токов, охватываемых замкнутым контуром, равна интегралу по поверхности этого контура:

.

Рассмотрим элемент контура , который образует с вектором намагниченности угол(рис.3.19). Этот элемент нанизывают на себя молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра объемом(где–площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если число молекул в единице объема обозначить черезn , то суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом , можно выразить формулой:

.

Произведение – это магнитный момент отдельного молекулярного тока. Тогда– магнитный момент единицы объема, по определению – это модуль вектора намагниченности

.

Тогда - проекция вектора на направление . Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом , равен скалярному произведению , а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром, равна:

.

Правую часть этого выражения преобразуем по теореме Стокса: .

- циркуляция вектора по произвольному контуруL равна потоку вектора через произвольную поверхностьS , ограниченную данным контуром, где S – поверхность, которая опирается на контур L, получаем - интегралы равны. Это возможно, когда равны подынтегральные выражения. Имеем

(3.11)

- плотность молекулярных токов равна ротору вектора намагниченности.

Подставим значение из ( 3.11) в выражение ( 3.10), имеем:

, (3.12)

или .

Сравнив последнее выражение с законом полного тока в форме (3. 4), видим, что разность векторов, стоящая под знаком ротора в левой части (3. 12) есть не что иное, как вектор напряженности :

- это и есть искомый вспомогательный вектор.

Вектор для магнитного поля является аналогом вектораэлектрического смещения для поля электрического. Он, также как ине зависит от среды.

Принято, что в каждой точке магнетика , где – магнитная восприимчивость, характеризующая способность вещества намагничиваться. В слабых поляхне зависит от.

Тогда , или , причем – магнитная проницаемость вещества.