1.1.5. Энергетический спектр электронов в кристалле. Модель кронига-пенни

Для нахождения энергетического спектра электронов в кристалле необходимо решить одноэлектронное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом решетки . Собственные функциии собственные значения энергииэтого уравнения зависят от вида периодического потенциала.

Некоторые характерные особенности энергетического спектра можно узнать, рассматривая простую одномерную модель периодического потенциала, предложенную Р.Кронигом и В.Пенни. Зависимость потенциальной энергии V электрона от расстояния х для одномерной решетки в этой модели представлена на рис.1.1.1. Прямоугольные потенциальные ямы шириной а чередуются с прямоугольными барьерами шириной b. Период такой решетки . Потенциальная энергия представляет собой функцию

Здесь п- любое число ().

Решение одноэлектронного уравнения Шредингера для одномерного случая и потенциальной энергии приводит к уравнению

(1.1.7)

Здесь Р – степень прозрачности барьера для электрона, т.е. степень связанности электрона в потенциальной яме,

. (1.1.8)

В уравнении (1.1.7) cos k - функция четная, замена волнового числа k на –k не меняет уравнения. Это означает, что энергия электрона также является четной функцией k, т.е.

На рис.1.1.2 изображена зависимость левой части уравнения (1.1.7) от параметра . Посколькуcos k, стоящий в правой части уравнения (1.1.7), может принимать значения только в интервале от +1 до -1, то допустимыми значениями являются такие, для которых левая часть уравнения не выходит из указанных пределов. На рис.1.1.2 интервалы разрешенных значенийзаштрихованы. Ширина этих интервалов зависит от параметраР. Чем меньше Р, тем они шире. Кроме того, их ширина зависит и от . При любом зафиксированном значенииР эти интервалы расширяются с увеличением . В силу соотношения (1.1.8) междуи энергией электронаЕ сказанное относится и к энергии. Таким образом, энергия электрона в кристалле не может принимать любого значения. Есть зоныразрешенных и зоны запрещенных энергий. Чередование разрешенных и запрещенных зон иллюстрирует рис.1.1. 3.

Рассмотрим, как изменяется энергетический спектр в двух предельных случаях и. Случайсоответствует условию, т.е. почти свободному электрону (приближение слабой связи). Из (1.1.7) получаем, т.е., и на основании (1.1.8):

.

Это выражение совпадает с зависимостью E(k) для свободного электрона. Поскольку на k в этом случае никаких ограничений не накладывается, кривая E(k) представляет собой непрерывную параболу.

В другом предельном случае в силу того, что. Это означает, что электрон локализован в бесконечно глубокой яме, т.е. сильно связан (приближение сильной связи). Прииз уравнения (1.1.7) находим, чтот.е.

, (1.1.9)

где М=а из (1.1.8)

. (1.1.10)

Таким образом, при система энергетических зон вырождается в дискретные уровни.

Попытаемся теперь найти явный вид закона дисперсии E(k) для электрона, движущемся в периодическом поле решетки. Для этого надо решить относительно Е уравнение (1.1.7). Это можно сделать только приближенно. Допустим, что Р>>1. Это соответствует приближению сильной связи. Для больших Р согласно (1.1.9) можно записать:

, (1.1.11)

где . Разлагая левую часть уравнения (1.1.7) в ряд и ограничиваясь линейными относительночленами, получим

,

или

(1.1.12)

Подставляя (1.1.12) в (1.1.11), находим

(1.1.13)

Учитывая связь между и энергией электронаЕ (1.1.8) и ограничиваясь линейными относительно членами при возведении (1.1.13) в квадрат, получим выражение, связывающееЕ и k:

, (1.1.14)

или

. (1.1.15)

Здесь обозначено ;- коэффициент перед, в общем случае не равный.

Первый член в (4.15) представляет собой энергию М-го энергетического уровня электрона в изолированной бесконечно глубокой потенциальной яме, определяемую формулой (1.1.10). Второй и третий члены связаны с действием периодического поля решетки.

Видно, что в периодическом поле решетки энергетические уровни опускаются на значение С(перед Сстоит знак «—»!). Это свидетельствует о том, что объединение атомов в цепочку энергетически выгодно. Третий член в (1.1.15) определяет зонный характер энергетического спектра, посколькуcos ka ограничивает пределы его изменения. На рис.1.1. 4 показана зависимость E(k) для электрона, находящегося в одномерной решетке. Здесь наглядно видно, что для всех k, отличающихся на (2/)n, энергия одна и та же. Интервал значений k от допредставляет собой первую зону Бриллюэна, два отрезка отдои отдо- вторую зону Бриллюэна и т.д.

Все возможные значения энергий в каждой энергетической зоне можно получить путем изменения k в пределах первой зоны Бриллюэна. Поэтому зависимость E(k) часто строят только для первой зоны Бриллюэна. Все остальные значения Е могут быть приведены в эту зону. Такой способ изображения E(k) , иллюстрируемый на рис.4.5, получил название схемы приведенных зон . В отличие от него зависимость, показанную на рис.1.1. 4, называют периодической зонной схемой.

Кроме этих двух способов изображения энергетических зон используют ещё один способ, получивший название расширенной зонной схемы (рис.1.1.6). Здесь различные энергетические зоны размещаются в k-пространстве в различных зонах Бриллюэна. На рис. 1.1.6 показана также параболическая зависимость E(k) для свободного электрона. Начало отсчета энергий обеих зависимостей совмещено.

Из рис.1.1. 4 хорошо видно, что в каждой нечетной энергетической зоне, т. е. в каждой зоне, определяемой числами М=1, 3, 5, ..., имеется один минимум энергии в центре зоны Бриллюэна и два эквивалентных максимума на краях зоны Бриллюэна. В четных энергетических зонах в центре каждой зоны Бриллюэна, наоборот, имеется максимум энергии, а на границах - минимумы.

Разрывы в энергетическом спектре электрона появляются при достижении волновым векторомk значений n/а, т. е. на границах зон Бриллюэна. Какова физическая природа этих разрывов? Выразим волновой вектор через длину волны электрона и запишем условие, при котором функцияE(k) терпит разрыв:

или. (1.1.16)

Последнее выражение представляет собой условие Вульфа — Брэгга для электронной волны, падающей на решетку перпендикулярно атомным плоскостям. При выполнении этого условия функция Блоха представляет уже не бегущую, а стоячую волну, так как электрон с таким волновым вектором при его движении (в реальном пространстве) испытывает брэгговское отражение. Падающая и отраженная волны могут складываться двумя способами, образуя симметричную и антисимметричную комбинации:

(1.1.17) (1.1.18)

Выражения (1.1.17) и (1.1.18) записаны для значений волновых векторов k=/. Волновая функцияне изменяется при заменех на - х, a меняет знак. Функцияявляется мнимой, однако плотность электрического заряда, связанная с волновой функциейвэтом случае, так же как и для представляет собой вещественную отрицательную величину. Волновым функциям и₂ соответствуют разные энергии. Решению , отвечает меньшая энергия, которая соответствует верхней границе первой зоны (точкаА на рис. 1.1.7), а решению - энергия, соответствующая нижней границе второй зоны (точка). Приk</a электрон обладает энергиями меньшими, чем , а приk>a - энергиями, большими, чем . В интервале от до нет ни одного собственного значения энергии электрона, т. е. эта область представляет собой запрещенную зону.

В трехмерном случае зонная структура здесь может быть значительно сложнее, чем в рассмотренной выше одномерной модели. Зависимость Е(k) в трехмерном кристалле может быть различна для разных направлений в зоне Бриллюэна. Это связано с тем, что трехмерный потенциал V(r), зависящий от структуры кристалла, в различных направлениях не одинаков. Следствием этого может быть перекрытие разрешенных зон. Так, например, запрещенная зона в одном направлении может совпадать с разрешенной зоной в другом направлении. Перекрытие разрешенных зон нельзя получить в одномерном случае.