14. Дифференцирование сложной функции

Предположим, что функция определена в некоторой областиD и имеет непрерывные частные производные,,, причем каждая из переменных,,является, в свою очередь, функцией переменной:

, , .

Предположим также, что существуют и производные ,,. Тогда существует и производная посложной функции, которая вычисляется по формуле

.

В дифференциальной записи эту формулу можно переписать в следующем виде:

(10)

Если же ,,зависят не от одной переменной, а от нескольких, например, , , , то после подстановки их в функциюв итоге получим некоторую функцию от трех переменных. Тогда в предположении существования частных производных функциии функций ,,по переменным можно вычислить и частные производные ,, :

Для полного дифференциала функции справедлива формула, выражающая свойство инвариантности формы (первого) дифференциала:

. (11)

Если же задана функция , гдезависят только от одного аргумента, то естьявляется, по сути дела, функцией одной переменной, то можно говорить ополной производной , которая вычисляется по формуле:

. (12)

Пример 8. Найти частные производные по ии полный дифференциал функции, если.

Решение. Так как

то

,

или

Поэтому полный дифференциал функции запишем в виде

,

откуда, после подстановки выражений для зависимых переменных, получим окончательное выражение для полного дифференциала заданной функции, как функции двух независимых переменных и:

.

С другой стороны, полный дифференциал функции двух переменных и:

,

а, в свою очередь,

.

Тогда

.

Тем самым мы на практике подтвердили правильность формулы (11).

Пример 9. Найти полный дифференциал и частную и полную производные по функции, если.

Решение. Так как

,

то

,

,

откуда

.

Можно эту процедуру совершить наоборот: сначала найти частные и полную производные, а потом на их основе найти дифференциал функции.

Пример 10. Найти , если , , .

Решение. Заданная функция зависит от трех переменных, каждая из которых является функцией одной переменной. Поэтому и функцияявляется сложной функцией одной переменной. Для нахождения производной воспользуемся формулой (10), а для этого найдем все составляющие этой формулы:

, .

=

.

30