12. Частные производные высших порядков

Пусть функция имеет в некоторой областиD частную производную по одной из переменных(она называется также частной производной первого порядка). Тогда эта производная, сама являясь функцией тех же переменных, может иметь в некоторой точкеDчастные производные по той жеили по любой другой переменной. Для исходной функцииэти производные будут ужепроизводными второго порядка (иливторыми частными производными). Производнаявторого порядка функции по аргументамив точкеобозначается одним из следующих символов:

Если , точастная производная второго порядка называется смешанной. Если , то частная производная второго порядка обозначается

Частные производные третьего порядка определяются как частные производные от частных производных второго порядка и т.д.

Следует отметить свойство смешанных частных производных:

Теорема. Если в точкеDсмешанные частные производныеинепрерывны, то они равны между собой в этой точке, т.е.

,

или значение смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование.

Это свойство верно и для смешанных производных любого порядка.

Теорема. Если функция определена в некоторой областиDи имеет в этой области всевозможные частные производные до го порядка включительно инепрерывные в Dсмешанные производные го порядка, то значение любой той смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования.

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для этой функции мы нашли раньше, рассматривая пример 1:

Найдем теперь частные производные от частных производных первого порядка, получим тем самым частные производные второго порядка заданной функции:

На примере убеждаемся, что смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования, поэтому в дальнейшем будем находить только одну из них.

13. Дифференциалы высших порядков

Пусть функция определена в некоторой областиD и имеет в этой области непрерывные частные производные первого порядка. Тогда она имеет и полный дифференциал:

,

который, в свою очередь, является некоторой функцией от тех же переменных. Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для функции , то в этом случае функциябудет иметь непрерывные частные производные первого порядка, и можно будет говорить о дифференциале от этого дифференциала:, который называетсядифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) функции и обозначается.

Замечание. Приращения при этом рассматриваются какпостоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Следовательно, дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю, т.е.

,. (7)

Поэтому, применяя правила дифференцирования и помня о равенстве смешанных производных по одному и тому же набору переменных, получим:

Здесь и далее ,.

Аналогично определяются дифференциалы третьего ,четвертого и т.д.порядков. Если определен дифференциал го порядка, то дифференциалго порядка определяется как полный дифференциал от дифференциалаго порядка:

.

Сложность выражения для дифференциала зависит как от количества переменных, так и от его порядка. Поэтому проще запомнить символическое равенство

,

которое нужно понимать следующим образом: сначала многочлен, стоящий в скобках, формальнопо правилам алгебры возводится в степень, затем все полученные члены «умножаются» на, т.е.дописывается в числителе каждой дроби при, а после этого всем символам возвращается их значение производных и дифференциалов.

Например, если , то

т.е.

(8)

таким образом,

(9)

и т.д.

Пример 6. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .

Решение. Для нахождения дифференциалов функции воспользуемся свойствами дифференциала, выраженными формулами (6) (дифференциал суммы, разности, произведения двух функций и т.д.) и определением дифференциала второго, третьего и т.д. порядков:

Теперь дифференцируем полученное выражение, помня, что дифференциалы независимых переменных есть константы, т.е. дифференциалы любого порядка выше первого от независимых переменных равны нулю (см. формулу (7)):

Дифференцируя третий раз, применяя те же правила, получим:

Здесь

.

Для дифференциалов второго и третьего порядка данной функции мы получили бы те же самые выражения, если бы воспользовались для их нахождения формулами (8) и (9), т.е. если бы сначала нашли все частные производные нужных порядков, а потом подставили их в эти формулы. Проверьте и сравните.

Из полученных выражений для дифференциалов заданной функции мы можем теперь записать выражения для частных производных этой функции любого порядка, по любым независимым переменным, сопоставляя полученное с формулами (8) и (9), например:

,

, .

Пример 7. Найти дифференциалы до третьего порядка включительно функции .

Решение. Так как все частные производные данной функции по переменной, начиная со второй, равны нулю, то здесь легко сразу воспользоваться формулами (3) и (4):

.