1. , 2.И 3.

определяют функции для всех пар без исключения. Говорят, что эти функции определены во всей плоскости . А областью значений для всех трех будет вся числовая ось, т.е. .

Формулы

4. 5. 6.

определяют функции лишь для тех пар , которые удовлетворяют, соответственно, неравенствам

которые, в свою очередь, определяют круг единичного радиуса с центром в начале координат вместе с ограничивающей его окружностью, множество точек плоскости , не лежащих на прямой , и множество точек плоскости , лежащих на окружности радиуса с центром в начале координат и вне ее. Множествами значений этих функций будут, соответственно, отрезок[0,1], вся числовая прямая, кроме точки 0, т.е. , и промежуток.

В декартовой системе координат трехмерного пространства соотношение задает некоторую поверхность, которая является своего рода пространственным графиком нашей функции, а равенство называется уравнением поверхности.

В аналитической геометрии мы уже рассматривали некоторые поверхности и их уравнения. Например, уравнение является уравнением плоскости. Данная плоскость есть график функции. Уравнение является уравнением сферы радиусас центром в начале координат. Но, с другой стороны, сфера есть объединение графиков двух функций:и.

На рис. 2 – 5 представлены геометрические образы (поверхности) четырех функций:

–плоскость (рис. 2),

–гиперболический параболоид (рис. 3),

–параболоид вращения (рис. 4),

– полусфера единичного радиуса (рис. 5).

Построение графиков функций двух переменных во многих случаях представляет значительные трудности. Поэтому существует еще один способ изображения функций двух переменных, основанный на сечении поверхности плоскостями, гделюбое число.

Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4	Рис. 5

Линия на поверхности , в каждой точке которой функция принимает равные значения, называетсялинией уровня функции .Поэтому линии уровня изображают линиямина плоскости (рис. 6). Иными словами, линией уровня поверхности называется проекция на плоскость сечения этой поверхности плоскостью, параллельной плоскости .

Рис. 6	Рис. 7

Начертив ряд линий уровня и отметив, какие значения принимает на них функция, получим более или менее точное представление об изменении функции и ее графике, т.е. о форме поверхности. Там, где линии уровня располагаются «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность идет круче), а в тех местах, где линии уровня – реже, функция изменяется медленнее (поверхность более пологая) (рис. 7).

Аналогично, для случая функции трех переменных поверхностью уровня функцииназывается поверхность, в точках которой функция сохраняет постоянное значение.

Примеры.

1. . Уравнением семейства линий уровня данной функции будет уравнениеПридавая постояннойразличные значения, каждый раз будем получать окружность радиуса=с центром в начале координат (рис. 8). Приокружность вырождается в точку. Так как здесь линии уровня представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат, то графиком данной функции должна быть поверхность вращения вокруг оси. А из аналитической геометрии нам известно, что уравнение этой функции определяет параболоид вращения.

2. . Уравнением семейства линий уровня данной функции будет уравнение,. Линиями уровня будут окружности с центром в начале координат. При() линия уровня вырождается в точку(рис. 9).

3. . Уравнение семейства поверхностей уровня данной функции имеет вид. Это будет семейство концентрических сфер радиусас центром в начале координат.

4. . Уравнение семейства поверхностей уровня данной функции имеет вид. Приполучим конус, при– семейство однополостных гиперболоидов, при– семейство двуполостных гиперболоидов.

Рис. 8	Рис. 9

Определите линии уровня функций: и.