3. Транспортная задача

Пусть имеется m поставщиков А₁, А₂, ..., А_mоднородного груза в количествах соответственно а₁, а₂, .., .а_mединиц и n потребителей В₁, В₂, ..., В_nэтого груза, потребность которых составляет соответственно b₁, b₂..., b_nединиц.

Известны стоимости перевозок (тариф) единицы груза от i-го поставщика кj-му потребителю - с_ij(i=1,m; j=1,n).

Требуется составить такой план перевозок, который обеспечит минимальные транспортные расходы.

Возможны три ситуации:

1) количество груза у всех поставщиков равно потребности в данном грузе всех потребителей:

или.

2) количество груза у всех поставщиков больше потребности в данном грузе всех потребителей:

или.

3) количество груза у всех поставщиков меньше потребности в данном грузе всех потребителей:

или.

В первом случае модель задачи называется закрытой, во втором и третьем – открытой.

Теорема. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство.

В случае превышения запаса над потребностью вводится фиктивный (n+ 1)-й пункт назначения с потребностьюи соответствующие тарифы считаются равными нулю.

Аналогично вводится фиктивный (m+ 1)-й пункт отправления с запасом грузаи тарифы полагаются равными нулю. Этим задача сводится к закрытой транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи.

Решение транспортной задачи включает следующие этапы:

1.Нахождение первоначального опорного плана (метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости). При этом число заполненных клеток должно быть равноm+n-1.

При нахождении опорного плана методом северо-западного углазапасы очередного поставщика используются для обеспечения запросов очередных потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего используются запасы следующего по номеру поставщика.

Заполнение начинается с левой верхней клетки (северо-западный угол). На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Если в очередную клетку таблицы требуется поставить перевозку, а поставщик или потребитель имеют нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого исключается из рассмотрения поставщик или потребитель.

Метод минимальной стоимостипозволяет построить решение, близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи. На каждом шаге заполняется только одна клетка, соответствующая минимальной стоимости, и исключается из рассмотрения только один поставщик или один потребитель. Очередную клетку, соответствующую минимальной стоимости, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы исчерпаны полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. При этом если поставщик еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения.

2.Проверка опорного плана на оптимальность, например, методом потенциалов.

Пример. Четыре предприятия используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырьё сосредоточено в трёх пунктах, а запасы соответственно равны 160, 140 и 170 ед. Тарифы перевозок заданы матрицей

.

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Исходные данные задачи запишем в виде таблицы, а опорный план получим методом минимального элемента.

Минимальный тариф, равный 1, находится в клетке (1,3).

х₁₃ = min(A1,B3)=A1=160.

Запишем это значение в соответствующую клетку и временно исключим из рассмотрения строку А1.

Теперь потребности пункта B3 считаем равными 190-160=30 ед. В оставшейся части таблицы наименьший тариф находится в клетке (3,2) и равен 2.

х₃₂ = min(A3,B2)=B2=50.

Внесём значение в соответствующую клетку и исключим из рассмотрения столбец B2.

Запасы пункта А3 считаем равными 170-50=120 ед.

В оставшейся части (строки А2, А3 и столбцы В1, В3, В4) минимальный тариф равен 3 и находится в клетке (3,3).

х₃₃ = min(A3,B3)=В3=30.

И так далее, пока не исчерпаем запасы и не удовлетворим потребности. Получим следующую таблицу.

Потребности Запасы		B1=120		B2=50		B3=190		B4=110
		β1=2		β2=2		β3=3		β4=6
A1=160	α1=-2	7	8		1 160		2
A2=140	α2=2	4 120	5		9		8 20
A3=170	α3=0	9	2 50		3 30		6 90

Число заполненных клеток равно 6 и m+n-1=3+4-1=6 – план невырожденный.

Оптимальный план найдём методом потенциалов.

В оптимальном плане транспортной задачи заполненным клеткам отвечают равенства , а пустым – неравенства. Тогда, получим

, положим , тогда.

(Обычно равным нулю принимают потенциал строки или столбца с наибольшим числом заполненных клеток.)

Теперь проверим пустые клетки на выполнение неравенства .

Запишем систему неравенств:

.

Для клетки (1, 4) неравенство не выполняется, значит в неё нужно "ввезти" груз. Строим цикл.

Цикл перерасчёта таблицы- это последовательность ячеек, начинающаяся и заканчивающаяся в одной и той же клетке, с вершинами, лежащими в занятых клетках, кроме одной.

Вершина цикла– клетка, в которой происходит поворот под прямым углом.

"Перемещаем" груз по следующим правилам:

1. Каждой из клеток, связанных циклом присваивается знак: пустой ячейке "+", остальным - поочерёдно знаки "-" и "+" .

2. Среди минусовых клеток находим число и прибавляем его к числам, стоящим в плюсовых клетках, и вычитаем из чисел, стоящих в минусовых клетках; остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

В нашем примере цикл образуют четыре ячейки: (1,4) – пустая, для которой не выполняется неравенство, и клетки (1,3), (3,3), (3,4) – заполненные.

х = min(160, 90)=90. Значит в плюсовые клетки "завозим" 90 ед. груза, из минусовых "вывозим". Получим новый опорный план:

Потребности Запасы		B1=120	B2=50	B3=190	B4=110
		β1=0	β2=2	β3=3	β4=4
A1=160	α1=-2	7	8	1 70	2 90
A2=140	α2=4	4 120	5	9	8 20
A3=170	α3=0	9	2 50	3 120	6

Расставим потенциалы и проверим пустые клетки на выполнение неравенства :

Для клетки (2,2) неравенство не выполняется. Значит, строим цикл с вершиной в этой клетке.

х = min(50, 70, 20)=20. Значит в плюсовые клетки "завозим" 20 ед. груза, из минусовых "вывозим". Получим новый опорный план:

Потребности Запасы		B1=120	B2=50	B3=190	B4=110
		β1=1	β2=2	β3=3	β4=4
A1=160	α1=-2	7	8	1 50	2 110
A2=140	α2=3	4 120	5 20	9	8
A3=170	α3=0	9	2 30	3 140	6

Полученный план является оптимальным (неравенство выполняется для всех пустых клеток).

Ответ: ,

=50*1+110*2+120*4+20*5+30*2+140*3=1330.