1. Графический метод решения задачи линейной оптимизации

Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.

1. Строится область допустимых решений (ОДР) ЗЛП.

2. Строится вектор-градиент целевой функции в какой-нибудь точке Х_0, принадлежащей ОДР –.

3. Линия уровня C₁x₁+C₂x₂ = а (а – постоянная величина) - прямая, перпендикулярная вектору–градиенту– передвигается в направлении этого вектора в случае максимизацииf(x_1,x₂)до тех пор, пока не покинет пределов ОДР. Предельная точка (или точки) области при этом движении и является точкой максимумаf(x_1,x₂).

4. Для нахождения ее координат достаточно решить систему из двух уравнений прямых, получаемых из соответствующих ограничений и дающих в пересечении точку максимума. Значение f(x_1,x₂),найденное в полученной точке, является максимальным.

При минимизации f(x_1,x₂) линия уровня перемещается в направлении, противоположном вектору-градиенту. Если прямая при своем движении не покидает ОДР, то соответствующий максимум или минимумf(x_1,x₂)не существует.

Если линия уровня параллельна какой-либо прямой из ограничений задачи, то оптимальное значение целевой функции будет достигаться в любой точке этой прямой.

Пример. Для изготовления двух видов продукции А₁ и А₂ используют три вида ресурсов S₁, S₂, S₃, запасы которых составляют  и  усл. ед. соответственно. Расход ресурсов на  ед. продукции приведен в таблице:

Виды ресурсов	Запасы ресурсов	Расходы ресурсов на 1 изд.
		А1	А2
S1			
S2			
S3			
	Прибыль	 руб.	 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, который обеспечит наибольшую прибыль от ее реализации.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть надо выпустить изделий A₁ - x₁ шт., а изделий А₂ - x₂ шт. Тогда прибыль от реализации составит 2x₁ + 3x₂ и она должна быть максимальной. Получим целевую функцию: F=2x₁ + 3x₂→ max.

На одно изделие А₁ затрачивается 1 усл. ед. ресурса S₁, тогда на x₁ шт. затратится x₁ усл. ед. На одно изделие А₂ затрачивается 3 усл. ед. ресурса S₁, тогда на x₂ шт. затратится 3x₂ усл. ед. На оба изделия затратится x₁+ 3x₂ усл. ед. ресурса S₁. Так как всего в наличие 18 усл. ед., то получим первое ограничение: x_x_18. Аналогично получим остальные ограничения.

Запишем модель: найти максимальное значение функции F=2x₁ + 3x₂ при условиях

xx	
xx	
x	
x	x

Построим область допустимых значений:

1) первое ограничение по ресурсу S₁ x_x_; прямая x_x_= проходит через точки ; неравенству соответствует полуплоскость, содержащая данную прямую и лежащая ниже неё (контрольная точка < принадлежит полуплоскости);

2) второе ограничение по ресурсу S₂ 2x_x_: прямая 2x_x_= проходит через точки ; неравенству соответствует полуплоскость, содержащая данную прямую и лежащая ниже неё (контрольная точка < принадлежит полуплоскости);

3) неравенству x_ соответствует полуплоскость, содержащая прямую x_= и лежащая ниже неё.

4) x₁правее ОX_;

5) x₂выше ОX₁.

Рис. 1.

Вектор-градиент имеет координаты 

Построим линии уровня x_x_ = а. При а = получим прямую x_x_ =, проходящую через точки. Так как задача на максимум, то передвигаем линию уровня в направлении градиента. Предельной точкой (последней из области допустимых решений, с которой соприкасается линия уровня) является точка С. Значит, в ней достигается максимум функции F.

Найдём её координаты. Для этого решим систему: