Элементы теории множеств

Элементы теории множеств

Множество – основное математическое понятие. В обычной жизни его смысл заложен в словах: «совокупность», «класс», «стая», «табун», «стадо» и т.п. Теория множеств как математическая дисциплина создана немецким математиком Г. Кантором, которая получила признание в качестве самостоятельного раздела математики к 1890 году, когда были получены ее приложения в анализе и геометрии. Главная заслуга Георга Кантора заключается в установлении того факта, что понятие бесконечность является не абстракцией, придуманной философами, а реальностью; бесконечные совокупности предметов существуют наравне с конечными.

Множество относится к математическим объектам, для которых нет строго определения. Мы можем лишь в какой-то мере дать описание основных его свойств.

Кантор описывает множество следующим образом:

Определение.

Множество Sесть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое.

 Понятие множества. Способы задания множества

Мы под множествомбудем понимать следующее:

Определение.

Множество – набор (совокупность) определенных, различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое, и обладающий некоторым общим свойством. . Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами. .

Для того, чтобы указать, что х– элемент множестваА, записываюти читают «хпринадлежитА». Чтобы указать, чтохне является элементом множестваА, записываюти читают «хне принадлежит множествуА».

Для ряда числовых множеств в математике приняты стандартные обозначения:

Обозначения числовых множеств: N – множество натуральных чисел. Z – множество целых чисел. Q– множество рациональных чисел (дроби). R – множество действительных чисел

Существует два способа задания множества:

Рисунок 1. Способы задания множеств

Множества можно разделить на конечные и бесконечные.

Определение.

Конечныммножеством называется множество, состоящее из конечного числа элементов. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов

Пример 1.

• Конечные множества:множество букв алфавита, множество студентов 2 курса специальности «Юриспруденция» и т.д.

• Бесконечные множества:множество натуральных чисел, множество точек прямой и т.д.

К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустыми обозначают Ø.

Пример 2.

Ø = , поскольку среди действительных чисел нет решения данного уравнения.

Определение.

Если каждый элемент множества Вявляется также и элементом множестваА, то говорят, что множествоВназываетсяподмножествоммножестваА. (Ввключено вА).

Пример 3.

Множество ,, тогда, т.е..

Основные свойства включений: Каждое множество есть подмножество самого себя: . Если ,,то. Пустое множество есть подмножество любого множества: Ø . Каждое не пустое множество Ø имеет по крайней мере два различных подмножества: самоАи пустое множество Ø. Каждый элемент множества Аопределяет некоторое подмножество множестваА: если, то.

Определение.

Множества АиВназываютсяравными(илисовпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, т.е.и.

Если множества не равны, то пишут .

Пример 4.

Множества и, гдеиудовлетворяют уравнению, т.е., значит.

Определение.

Множество всех подмножеств множества Аназываетсямножеством-степеньюмножестваА.

Пример 5.

Пусть , тогда{Ø}, т.е. если множество состоит из двух элементов, то множество-степень состоит из четырех подмножеств.

Пусть , тогда{{4}, {2,3}, {3,4}, {2,4}, Ø}, т.е. если множество состоит из трех элементов, то множество-степень состоит из восьми подмножеств.

Таким образом, если конечное множество Асостоит изnэлементов, то число всех его подмножеств равно.

Определение.

Множество Uназываетсяуниверсальнымдля системы множествА,B,C, …, если каждое множество системы является подмножествомU, т.е.,,, …. .