Математика в экономике, сборник задач
.pdf– мгновенный или точечный темп прироста зависимой переменной y
(функции f (x)) в точке x ; совпадает с логарифмической производной за-
висимой переменной y (функции f (x)) в точке x . |
||||||
7. Теоретическая |
или |
|
точечная эластичность зависимой перемен- |
|||
ной y (функции |
f (x)) в точке x : |
|||||
Ex (y)= lim |
y y |
= |
dy |
× |
x |
|
|
dx |
y |
||||
x→0 Dx x |
|
|
или |
f (x) f (x) |
|
df (x) |
|
x |
|
|||
Ex ( f (x)) = lim |
= |
× |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Dx x |
dx |
|
f (x) |
||||||
x→0 |
|
|
|
||||||
Эластичность - |
это безразмерная |
величина, равная пределу при |
x → 0 отношения относительного приращения функции к относительно- му приращению аргумента или, что то же самое, пределу при x → 0 от- ношения процентного изменения функции к процентному изменению ар- гумента. Приближённо эластичность функции показывает, на сколько процентов изменится значение функции в данной точке x при изменении аргумента на один процент.
Если Ex ( f (x)) >1, то функцию f (x) называют эластичной; если
Ex ( f (x)) <1, то неэластичной; если Ex ( f (x)) = 1, то нейтральной в точке
x .
Пусть, например, Q = D(P) − функция спроса от цены товара. Тогда: а) спрос Q = D(P) эластичен по цене (EP (Q) >1);
б) спрос Q = D(P) неэластичен по цене (EP (Q) <1);
в) спрос нейтрален при условии |
|
EP (Q) |
|
= 1. |
||||||
|
|
|||||||||
3.80. Функция |
y = f (x)задана таблично: |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
10 |
20 |
30 |
|
40 |
|
50 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
35 |
150 |
210 |
|
250 |
|
270 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти : 1) средний прирост, 2) относительный прирост функции, 3) темп прироста в следующих диапазонах изменения аргумента: а) от 10 до
20 ; б) от 20 до 30; в) от 30 до 40; г) от 40 до 50.
3.81. Для заданных функций найти: а) мгновенный прирост, б) мгно- венный темп прироста, в) точечную эластичность и вычислить значения этих характеристик в указанных точках:
1) |
y = 5 − 2x, |
x1 = 1, x2 = 2; |
2) |
y = x2 + 3x +1, |
x1 = 1, x2 = 3; |
||||||
3) |
y = x4e−x , |
x = 1, |
x = 4; |
4) |
y = |
x −1 |
|
, |
x = 3,5; |
x = 5; |
|
x - 3 |
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
71
5) y = ln(1+ x)+1, |
x = 0, |
x |
2 |
= e −1; |
6) |
y = 2sin 0,5x, |
x |
= π , |
x |
2 |
= π; |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
æ 1 ö1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
7) y = ç ÷ + 3, |
x1 = 1, x2 = 4; |
|
8) |
y = |
|
|
, |
x1 |
= e, x2 = e |
. |
|||||||
|
ln x |
||||||||||||||||
è e ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x) |
|
||||
3.82. Показать, |
что |
между |
мгновенным |
темпом |
роста |
|
|||||||||||
(см.п.2.2.4) и мгновенным темпом прироста r(x) дифференцируемой |
|
||||||||||||||||
функции y = f (x) имеется следующая зависимость: R(x)= er(x) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
3.83. Доказать, |
что |
при всех |
|
x > 0 |
средняя величина |
степенной |
|
||||||||||
функции прямо пропорциональна предельной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3.84. * |
Для линейной функции |
y = a + bx |
доказать следующие ут- |
|
|||||||||||||
верждения: |
a > 0, b > 0, |
то при изменении x от |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) если |
0 до + ∞ эластичность |
|
|||||||||||||||
возрастает от 0 до +1; |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
б) если |
a < 0,b > 0, |
то |
при |
изменении |
|
от - a b |
до |
+ ∞ |
|
||||||||
( - a b < x < +¥ ) эластичность убывает от + ∞ до +1; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) если a > 0, b < 0, то при изменении x от 0 до - a b |
(0 < x < - a b) |
|
|||||||||||||||
эластичность убывает от 0 до − ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дать графическую иллюстрацию всех трёх рассмотренных случаев. |
|
|
|||||||||||||||
3.85. Показать, что: |
|
|
|
|
|
y = a × xα |
(здесь a, α − постоян- |
|
|||||||||
1) эластичность степенной функции |
|
ные) совпадает с показателем степени;
2)все функции одной переменной с постоянной эластичность явля- ются степенными;
3)эластичность показательной функции y = a × bx (здесь a, b − по-
стоянные) пропорциональна аргументу.
3.86. Вычислить эластичность Ex ( f (x)) функции f (x)= a × x3 , a > 0 ,
a − параметр. Используя эластичность, ответить на вопрос, на сколько про- центов изменится значение функции в произвольной точке x , если аргу- мент увеличится на 1%. Определить абсолютную погрешность, которая при этом допускается: 1) в общем случае; 2) при a = 2 .
|
3.87. Доказать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Ex ( f (x))= Mf (x); |
2) Ex ( f (x)) = d (ln f (x)) |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
Af (x) |
|
|
d(ln x) |
|
|
|
|
|
|
||||
3) Eax (b × f (x)) = Ex ( f (x)) (a > 0, |
b > 0− параметры); |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||
4) |
если x = f −1(y )− функция, обратная y = f (x), тогда Ey |
(x)= |
|
|
; |
|||||||||
Ex (y) |
||||||||||||||
|
|
|
æ f (x) |
|
|
|
|
|
||||||
5) |
Ex ( f (x)× g(x))= Ex ( f (x))+ Ex (g(x)); |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6) E ç |
|
|
÷ = E |
|
( f (x))- E |
|
|
(g(x)). |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
7) |
Ex (Af (x))= Ex ( f (x))- 1. |
|
x èç g(x) |
ø÷ |
x |
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72
3.88. Пусть задана функция y = f (x), x > 0, y > 0. Вычислить эла-
стичности Ex ( f (x)), если: 1) f (x)= 2 × x - 5, 2 ) f (x)= 23x+5 , и определить, при каких значениях переменной x функции являются эластичными, а при
каких − неэластичными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.89. По известной величине среднего |
продукта AP(x) |
ресурса x |
|||||||||||||
найти совокупный TP(x) и предельный MP(x) продукты: |
|
|
|
(0,2)x−5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 x |
|
|
AP(x)= |
3 |
|
1 |
|
|
|
||
1) |
AP(x)= 0,5 + ln(2 + 3x) |
; |
2) |
|
+ |
|
|
- |
|
; |
|||||
x |
x3 4 |
x |
|||||||||||||
|
AP(x)= 2 - |
5 |
|
3arctg0,4x . |
|
|
|
|
|
||||||
3) |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x2 |
x |
|
|
производства C (д. ед.) и |
|||||||||
3.90. Зависимость |
между издержками |
||||||||||||||
объёмом |
выпускаемой |
продукции Q |
(ед.) выражается |
|
функцией |
C = 10Q − 0,04Q3 . Определить средние и предельные издержки при объёме
продукции, равном 5 ед. Сравнить полученные результаты и определить, что произойдёт со средними издержками при увеличении выпуска продук- ции на малую величину.
3.91. Для заданных ниже вариантов функций издержек C = f (Q):
1) |
C =10 + Q |
; 2) C = 2ln(Q +1)+ 7 ; 3) С = arctg(2Q +1) |
|
3 |
|
найти предельные издержки MС и их значения при объёмах производства: 5 ед., 10 ед., 20 ед. Дать экономическую интерпретацию полученных ре- зультатов.
3.92. Для заданных ниже вариантов функций издержек C = f (Q): 1) C = 50 × Q - Q2 + 0,02 × Q3 ; 2) C = 30 + 2 × Q + 0,1Q2
а) найти мгновенный темп прироста, эластичность и их значения при объёме производства Q =10 (ед.);
б) определить, на сколько процентов (приближённо) изменятся из- держки, если объём производства возрастёт от 10 (ед.) до 10,2 (ед.).
Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.93.Как связаны предельные и средние затраты предприятия, если эластичность полных затрат равна 1?
3.94.Найти коэффициент эластичности спроса по цене, если:
1) D =11,5× P−0,2 ; |
2) D = 0,5P . |
3.95.Определить, при какой цене эластичность спроса по цене равна
−0,5, если функция спроса задана уравнением D = 8 - 0,5× P ?
3.96. Для функций спроса: 1) D = 23− 2P ; 2) D = |
5 |
|
найти эла- |
|
P +1 |
||||
|
|
стичность спроса по цене и определить, является ли спрос эластичным, нейтральным или неэластичным при следующих значениях цены: а) P1 = 4 ;
б) P2 = 7 . Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
73
3.97. Пусть функция спроса описывается формулой D = D ×e-k×P2 |
, |
0 |
|
где D0 и k > 0 − известные величины. Найти, при каких значениях цены P спрос будет эластичным.
3.98. Для функций предложения: 1) S = 3P − 24; 2) |
S = |
|
6 |
найти |
|
9 |
- P |
||||
|
|
|
эластичность предложения по цене и определить, при каких значениях це- ны предложение будет: а) эластичным, б) нейтральным, в) неэластичным. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.99. Функции спроса и предложения от цены выражаются соответ-
ственно уравнениями: 1) D=7- P и S=P+1; 2) D = |
P + 8 |
и S = P + 0,5. |
|
P + 2 |
|||
|
|
Найти: а) равновесную цену; б) эластичность спроса и предложения
для этой цены; в) изменение дохода (в процентах) при увеличении цены на
5% от равновесной. Дать экономическую интерпретацию полученных ре-
зультатов.
3.100. На рынке имеется три покупателя со следующими функциями спроса:
D1 = -P + 6 ; D2 = -3P + 15 ; D3 = -P + 8. Определить эластичность
рыночного спроса по цене, когда цена на рынке будет равна 4,5 д. ед. 3.101. При цене моркови 8 д. ед. за 1 кг на рынке было три продавца,
имеющих прямолинейные функции предложения. Первый из них с эла-
стичностью EP1 (S(8)) = 1,6 предлагал 10 кг, второй с EP2 (S(8)) = 2 предла-
гал 12 кг, а третий с EP3 (S(8)) = 1 предлагал 40 кг моркови. Какова будет отраслевая эластичность предложения по цене при P =12 д. ед.
3.102. Доход фирмы-монополиста от реализации товара в количестве Q вычисляется по формуле R(Q) = P(Q)×Q , где PD = P(Q)- функция цены
от спроса на данный товар. Доказать, что верно равенство:
æ |
- |
1 |
ö |
MR(Q)= Pç1 |
η |
÷, |
|
è |
|
ø |
где η = Ep (QD )− эластичность спроса по цене товара. Проанализируйте из-
менение дохода с увеличением цены на товар при различных вариантах эластичности спроса.
3.103. Известно, что спрос на рынке рассматриваемого товара полно- стью удовлетворяется. Общий доход от продажи товара
R(Q) = 375×Q - 0,2×Q3 , где Q − количество реализованного товара. Найти функцию спроса от цены товара. Определить, в каких пределах спрос эла-
74
стичен. Что надо делать, чтобы доход возрастал, если начальная цена равна а) 300 д. ед., б) 200 д. ед.?
3.104. Функция потребления C = f (I ) описывает зависимость рас- ходов индивидуального потребителя в зависимости от величины дохода I. (Заметим, что речь идёт о непроизводственных или текущих "бытовых" расходах за определённый период времени, которые не связаны со сбере- жением, инвестированием и производством.) Для функции потребления
C = 5 + 0,5 × I + 0,5I найти предельную склонность к потреблению (MPC = f ′(I )) и эластичность потребления по доходу (EI (C)), а также вы-
числить их значения, соответствующие доходу в 16 д. ед. Дать экономиче- скую интерпретацию полученных результатов.
3.105. Для функции потребления C = 8 + 0,75× I + I :
1)определить равновесный уровень дохода I *, который обеспечива- ет совпадение доходов и расходов (потребления);
2)вычислить предельную склонность к потреблению и эластичность потребления по доходам при найденном равновесном уровне дохода I *.
Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.
3.106. Спрос населения на продовольствие характеризуется постоян- ной эластичностью по доходу EI (D) = E . Известно, что в истекшем году
расходы населения на продовольствие составляли r% от дохода. В теку- щем году ожидается рост доходов населения на δ % . Определить, какую
часть своего дохода население будет тратить на продовольствие в текущем году, если цена на него, а также общий уровень цен останутся неизменны- ми.
Решить задачу: 1) |
в общем виде; 2) |
при EI (D) = 0,8 ; r |
=50%; |
|||||||
δ =10% . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.107. Л. |
Торнквистом были предложены следующие варианты |
|||||||||
функций спроса потребителей D , зависящих от дохода I на: а) малоцен- |
||||||||||
ные товары D = α × I ×(I + β ) ; б) товары первой необходимости D = |
|
α × I |
|
; |
||||||
|
I + β |
|||||||||
|
I 2 +γ |
|
|
|
|
|
|
|||
в) товары второй необходимости (относительной роскоши) |
D = α ×(I -γ ) |
; |
||||||||
|
|
α × I ×(I -γ ). В них |
|
|
I + β |
|
||||
г) предметы роскоши D = |
α , β , γ − параметры, |
α , |
β , |
|||||||
|
|
I + β |
|
|
|
|
|
|
|
|
γ > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждой из предложенных функций найти коэффициент эластич- |
||||||||||
ности спроса по доходу. |
При заданных значениях |
параметров |
|
α = 5, |
||||||
β =10, γ = 15: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) найти |
коэффициент эластичности |
спроса |
по |
доходам |
при |
|||||
I* = 100(д. ед.) |
и определить, на сколько процентов (приблизительно) |
из- |
75
менится спрос на соответствующие товары, если доход увеличится на 2% от I *.
2) найти коэффициент эластичности спроса по доходам при I* = 10(д. ед.) и определить, на сколько процентов (приблизительно) изме- нится спрос на соответствующие товары, если доход уменьшится на 0,3 д. ед. от I *.
Дать экономическую интерпретацию полученным результатам. 3.108. Потребитель весь свой доход расходует только на три товара:
хлеб, колбасу и молоко. В настоящее время 20% своего дохода он расходу-
ет на хлеб, 50% - на колбасу и 30% - на молоко. Определите эластичность
спроса на молоко по доходу, если эластичность спроса на хлеб по доходу
равна – 1, а эластичность спроса на колбасу по доходу равна 2.
3.109. На рынке некоторого товара в равновесии потребляется 20 единиц блага по цене 4 д. ед., при этом коэффициент эластичности спроса по цене равен (– 0,3), а коэффициент эластичности предложения по цене равен (+0,4).
1)Вывести функции спроса и предложения при условии, что они ли-
нейны.
2)Определить равновесный объём и рыночную цену при введении потоварного налога, уплачиваемого производителями в размере 2 д. ед.
3.8. Теоремы Ролля и Лагранжа
Теорема Ролля. Если: 1) функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a,b]; 2) дифференцируема на интервале (a,b); 3) f (a) = f (b), то
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
существует точка c (a,b) такая, что f (с)= 0. |
|
||||||||
Точки, |
в которых производная функции f (x)равна нулю, называют- |
||||||||
ся стационарными. |
|
|
|
|
|
|
f (x) определена и непрерыв- |
||
Теорема Лагранжа. Если: 1) функция |
|||||||||
на на отрезке |
[a,b]; |
2) дифференцируема на интервале (a,b), тогда суще- |
|||||||
ствует точка |
c (a,b) |
такая, что справедлива формула |
|
||||||
|
|
|
f (b)− f |
(a) |
= f |
|
(c). |
(3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||
|
|
|
b − a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.110. Определить, удовлетворяют ли условиям Ролля функции:
1) f (x) = x2 -1, x [−1,1]; |
2) f (x) = íìx, |
x Î[0,1), |
|
î0, |
x = 1; |
76
3) |
f (x) = |
|
x |
|
, |
x [−1,1]; |
4) |
f (x) = |
5 - x2 |
, |
x Î[-1,1]; |
|
||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
éπ |
|
5π ù |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = ln sin x, |
|
|
||||||
|
f (x) = 1 - 3 |
|
x2 , x Î[-1,1]; |
|
|
|
||||||||||||
5) |
|
6) |
x Î ê |
6 |
, |
|
ú |
; |
||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
6 û |
|
Если да, то найти все стационарные точки соответствующей функции на заданном отрезке.
3.111. Пусть f (x) = x(x -1)× (x - 2)× (x - 3). Доказать, что все три корня
|
′ |
|
|
|
уравнения f (x) = 0 действительны. |
|
|
|
|
3.112. Доказать, что если функция |
f (x) определена и непрерывна на от- |
|||
резке |
[a, b], дифференцируема |
на интервале |
(a,b), |
то функция |
F(x) = ( f (x)- f (a))×(b - a)- ( f (b)- f (a))×(x - a) имеет по |
крайней мере |
одну стационарную точку на интервале (a,b).
3.113. Проверить, применима ли формула Лагранжа к функциям:
1) |
f (x) = 5x2 + x - 2 |
на отрезке |
[0,2]; |
2) f (x)= ln x |
на отрезке [1,e]; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
é |
1 |
|
1 |
ù |
|
|
|
|
|
|
f (x) = 5 x |
4 |
(x -1) |
|
|
|
||||||||||
3) |
|
на отрезке |
ê- |
|
, |
|
ú . |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ë |
|
û |
|
|
|
|
|
||
Если да, то найти фигурирующую в формуле Лагранжа |
(3.6) точку c . |
|||||||||||||||
|
3.114. На кривой |
y = f (x) найти точку, в которой касательная парал- |
||||||||||||||
лельна хорде, соединяющей точки A и B , пояснить полученный результат |
||||||||||||||||
графически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
y = x3 , |
A(-1,-1), B(2, 8); |
|
|
|
2) y = 4 − x2 , A(- 2,0), B(1, 3). |
||||||||||
|
3.115. Построить график функции |
|
y = |
|
x −1 |
|
на отрезке [0,3]. Пояснить, |
|||||||||
|
|
|
|
почему нельзя провести касательную, параллельную хорде, соединяющей точки A(0, 1) и B(3, 2). Какое условие теоремы Лагранжа здесь наруша-
ется?
3.116. Доказать, что:
1) если производная f ′(x) тождественно равна нулю на интервале (a,b),
то функция f (x) постоянна на этом интервале;
2)если f ′(x)< 0 на интервале (a,b), то функция f (x) убывает на этом ин-
тервале;
77
3)если f ′(x) > 0 на интервале (a,b), то функция f (x) возрастает на этом интервале.
3.9. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя
1. Неопределённости |
0 |
|
или |
∞ . Правило Лопиталя. |
Если: |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) в некоторой окрестности точки a , за исключением, |
быть может, |
||||||||||||||||||||||||||
самой точки |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
дифференцируемы функции f (x) и ϕ(x), ϕ (x) ¹ 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||
2) lim f (x) = lim ϕ(x) = 0 |
|
или |
lim f (x) = lim ϕ(x)= ¥ и |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x→a |
|
|
x→a |
|
|
f ′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
x→a |
|
|
|
|
|
||||||
3) существует lim |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x→a |
|
ϕ (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
тогда существует lim |
f (x) |
, причём |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= lim |
f ′(x) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) |
|
ϕ′(x) |
|
(3.7) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
x→a |
|
|
|||||||||||||
|
|
′ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
lim |
f |
(x) |
= |
(или |
|
|
|
|
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ϕ (x) |
0 |
|
∞ |
), а функции f (x) |
и ϕ (x) удовлетво- |
||||||||||||||||||||||
|
x→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряют тем же условиям, что и функции |
f (x) |
и ϕ(x), |
то равенство (3.7) |
||||||||||||||||||||||||
можно продолжить, перейдя к пределу отношения вторых производных |
и |
||||||||||||||||||||||||||
т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1∞ ,0∞ ,∞0 . Неопределённо- |
||||||
2. Неопределённости вида 0× ¥,¥ - ¥ , |
|||||||||||||||||||||||||||
сти вида 0 ×¥ , |
∞ − ∞ приводятся к неопределённостям вида |
|
0 |
или |
∞ |
||||||||||||||||||||||
0 |
∞ |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при помощи |
простейших алгебраических преобразований (см. ниже при- |
||||||||||||||||||||||||||
меры), а затем раскрываются с помощью правила Лопиталя. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Неопределённости |
вида |
|
1∞ ,0∞ ,∞0 сводятся к |
неопределённости |
|||||||||||||||||||||||
0 ×¥ с помощью предварительного |
|
|
логарифмирования или использования |
тождества f (x)g(x) |
= eg(x)ln x . |
|
|
|
|
|
||||
Неопределённости, возникающие при вычислении односторонних |
||||||||||
пределов, а также пределов при |
x → ∞ , |
x → −∞ , x → +∞ раскрываются |
||||||||
аналогично. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.11. Найти пределы: |
|
|
|
|||||||
1) |
lim |
|
|
x4 |
−16 |
; |
2) lim |
x − sin x |
; |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|||||
|
x→2 x3 + 5x2 − 6x −16 |
|
x→0 |
|
|
|||||
3) |
lim |
ekx |
, где k > 0, k - действительное, n − натуральное числа. |
|||||||
|
||||||||||
|
x→+∞ xn |
|
|
|
|
|
|
|
78
Решение. Убедившись, что имеет место неопределённость
применим затем правило Лопиталя:
|
|
|
1) lim |
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
-16 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
0 |
= lim |
|
|
(x |
4 |
-16) |
¢ |
|
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→2 x3 + 5x2 - 6x -16 |
0 |
|
x→2 (x3 + 5x2 - 6x -16)¢ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
4x3 |
|
|
|
|
|
= |
|
32 |
|
=1 |
|
3 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
- 6 |
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→2 3x2 +10x |
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − sin x)′ |
|
|
|
1− cos x |
|
|
|
|
|
|
(1− cos x)′ |
|||||||||||||||||||
lim |
|
|
x − sin x |
= |
|
0 |
= lim |
= lim |
= |
|
0 |
= lim |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(x3 )¢ |
|
|
3x2 |
0 |
(3x2 )′ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
||||||||||||||||||||||||||||
lim |
sin x |
= |
0 |
|
= |
1 |
× lim |
sin x |
= |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6x |
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
0 |
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ×k ×ekx |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3) lim |
ekx |
= |
∞ |
= |
lim |
|
|
|
k ×ekx |
= |
∞ |
= |
lim |
|
|
|
= |
¥ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¥ |
|
|
|
|
|
|
¥ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→+∞ xn |
|
|
|
|
x→+∞ n × xn−1 |
|
|
x→+∞ n ×(n -1)xn−2 |
|
00 или ∞¥ ,
=
=,...,=
lim |
k n ×ekx |
=¥, |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь правило Лопиталя применено n раз. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 3.12. Найти: 1) lim (x2 ln x); |
|
æ |
1 |
|
1 ö |
||
|
2) lim |
ç |
|
- |
|
÷ ; |
||
|
|
|
||||||
|
|
x→+0 |
x→0è x |
|
ex -1ø |
3) lim xsin x .
x→+0
Решение. 1) Здесь мы имеем неопределённость вида 0 ×¥ . Предста-
вим произведение функций в виде дроби, получив неопределённость ∞¥ ,
применим правило Лопиталя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
lim (x2 ln x)= |
|
lim |
= |
lim |
|
|
x |
|
= - |
lim |
x2 = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→+0 |
|
|
x→+0 |
|
|
|
|
x→+0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 x→+ |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2) Имеем неопределённость вида |
|
|
∞ − ∞ . Приведём дроби к общему |
||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателю и, получив неопределённость |
|
0 |
, применим правило Лопита- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ля: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ex -1- x |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|||||||||||
æ 1 |
|
1 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
limç |
|
- |
|
|
÷ = |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
= |
|
. |
||
|
ex -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ xex |
|
2 |
||||||||||||||||
x→0è x |
|
ø |
x→0 x(ex -1) |
|
|
x→0 ex -1 |
x→0 2ex + xex |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3) Здесь – неопределённость вида |
00. |
Положим y = xsin x , тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ln y = ln xsin x = sin x ×ln x. |
|
Вычислим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79
lim ln y = lim |
sin x × ln x = |
lim |
ln x |
|
|
= lim |
|
|
1/ x |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||
1/ sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→+0 |
|
x→+ |
0 |
|
x→+ 0 |
|
x→+0 |
|
- cos x / sin2 x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
- |
lim |
sin 2 x |
= - |
lim |
|
sin x |
× |
|
lim |
tgx |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x→+0 x × cos x |
x→ + |
0 |
|
|
|
x→+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, |
|
lim y = lim xsinx = e0 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→+0 x→+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.117. Раскрыть неопределённости вида |
0 |
или |
|
∞ |
, вычислить пре- |
|
|
|||||||||||||||||||||||
делы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2) lim1-cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) lim ex -1; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
3) lim |
x3 -3x2 + 2 |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 x3 -4x2 + 3 |
|
|
||||||||
4) lim |
ex -e−x |
|
; |
|
|
|
5) lim |
π -2arctgx; |
|
|
6) lim |
|
|
|
lnx |
|
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1+ 2lnsinx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→0 ln(1+ x) |
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
e3/ x -1 |
|
|
|
|
x→ +0 |
|
||||||||||||||||
7) lim |
x2 -1+ lnx |
; |
|
|
8) lim |
|
tgx - x |
; |
|
|
|
|
|
9) lim |
|
lnx |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→1 |
ex -e |
|
|
|
|
|
x→0 x -sinx |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ xn |
|
|
n N ;
3.118. Раскрыть неопределённости вида 0 ×¥ или∞ − ∞, вычислить пределы:
1) |
lim x × ctgπx ; |
|
x→0 |
4) |
lim x ln3 x ; |
|
x→+0 |
|
|
æ |
1 |
ö |
|
2) |
|
|
; |
||
lim xçex |
-1÷ |
||||
|
x→∞ |
ç |
|
÷ |
|
|
|
è |
|
ø |
|
5) |
lim(ex + e− x - 2)× ctgx ; |
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
3) lim xn × ex ;
x→− ∞
6) lim ln x × ln(x -1);
x→1+0
|
æ |
|
|
1 ö |
|
|
|
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
ö |
|
|
|
7) |
limçctgx |
- |
|
÷ |
; |
|
8) |
limç |
|
|
- |
|
|
|
÷ |
; |
|||||
|
|
|
ln x |
||||||||||||||||||
|
x→0è |
|
x ø |
|
|
|
x→1è x -1 |
|
|
|
ø |
|
|
||||||||
|
æ 2x |
|
|
π |
ö |
|
æ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ö |
|||
9) |
limç |
|
- |
|
|
|
÷ ; |
10) |
limç |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||||||
|
x→π è ctgx |
|
cos x ø |
|
x→1 è x2 -1 |
|
|
-1ø |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.119. Раскрыть неопределённости вида 1∞ , 0∞ ,∞0 , вычислить преде-
лы:
|
|
|
1 |
|
2) lim(tgx)1 ln x ; |
3) |
lim (sin x) |
x |
; |
||
1) |
lim |
x |
x |
; |
|
||||||
|
x→+0 |
|
x→+ 0 |
|
|
||||||
|
x→+∞ |
(π - 2x)cos x ; |
5) lim(ex + x)1 x ; |
|
|
|
|
|
|
||
4) |
lim |
|
|
1 |
|
|
|
||||
6) |
lim x1− x . |
|
|||||||||
|
π |
|
|
|
x→0 |
|
|||||
|
x→ 2 −0 |
|
|
|
|
x→1+0 |
|
|
3.120. Установить, существуют ли пределы, применимо ли к их вы- числению правило Лопиталя и приводит ли к правильному ответу его фор- мальное применение:
1) lim |
x2 sin(1 x) |
; |
2) lim |
2 + 2x + sin x |
. |
||
sin x |
|||||||
sin x |
|
||||||
x→0 |
|
x→∞ (2x + sin x)×e |
80