Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Байкальский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика в экономике, сборник задач

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.03.2015

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

a ×Dx ö

sin

a × Dx

= -a lim sinçax +

= -asin ax .

× lim

(x) = lim

a × Dx

x→0 Dx

x→0

2 ø

x→0

Следовательно, y′ = -asin ax .

Пример 3.2. Для функции f (x)= íìx,

x £ 1

найти односто-

î- x2 + 2x, x > 1

ронние производные f−′(1) и

f+′(1). Определить, имеет ли функция в точ-

ке

x =1 производную.

определяется формулой f (x) = x , по-

Решение. При x £1

функция

этому

f (1+

x)− f (1)

x −1

f−¢(1) =

lim

= 1.

x→−0

При x >1

функция

f (x) = −x2 + 2x, следовательно,


		f+¢ (1) =	lim	f (1+ Dx)- f (1)		= lim - (1+

			x→+0		Dx	x→+0
		lim	-1- 2Dx - (Dx)2 + 2 + 2Dx -1 = -
		x→+0			Dx
	Итак,		f+′(1) =1,		f−′(1)= 0.	Поскольку
ная	′	(1) не существует.
	f

Dx)2 + 2(1+ Dx)-1 =

lim Dx=0 .

x→+0

f+′ (1) ¹ f−′(1), то производ-

3.1. Пользуясь определением производной, найти производные следующих функций:

1) y = x3 ;	2) y =	x	;
4) y = x−1 ;	5) y = log 2 x ;
3.2. Дать	интерпретацию отношению

		3) y = sin 3x ;
		6) y = 3		.
			x2
f (x)	=	f (x + x)− f (x)			и
Dx		Dx

¢	Df (x)	в следующих случаях:

производной f (x) = lim	Dx
x→0

1) материальная точка М движется прямолинейно в заданном на- правлении по закону s = f (t), где x = t − момент времени, а s − путь, прой- денный материальной точкой за время t , t ³ 0 ;

2) фирма производит продукцию одного вида, производственная функция Q = f (t) определяет зависимость объёма выпущенной продукции Q от времени работы фирмы x = t , t ³ 0 ;

3) рассматривается рынок	одного товара, для которого известна
S = f (P)- функция предложения	S от цены товара x = P .

3.3.Найти односторонние производные функций в указанных точ-

ках. Определить, имеют ли функции в этих точках

а) производные;

б)

бесконечные производные:

f (x) = 5

1) f (x) = 3

+1 вточке

x = 0;

в точке

x = 0;

3) f (x) =

ln x

в точке

x = 1;

4) f (x) = 2

в точке

x = 0 ;

5) f (x) =

x −1

x +1

в точках

x = ±1;

ìx3 - x2 ,

x £ 1,

f (x)= íï x2 -1

> 1

в точке

x = 1;

x = 0,

ì0,

7) f (x)= íï

¹ 0

в точке

x = 0;

1/ x

î1

+ e

f (x) =

8*)

1 - e− x 2

в точке

x = 0 .

x ¹ 0 непрерывна

3.4.

Показать,

что функция

f (x) = íïx sin

x ,

x > 1

î0,

точке x = 0, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой производных.

3.5.

Известно, что

f (0) = 0 и существует предел lim

f (x)

. Дока-

зать, что этот предел равен

′

x→0

(0).

3.6.Доказать, что если функция f (x) имеет производную в точ-

ке x0	, то lim	x × f (x0 )- x0	× f (x)	= f (x0 )- x0	× f ¢(x0 ).
		x - x0
	x→x0

3.2.Производная явной функции

1.Таблица производных основных элементарных функций.

(xα )′ = α × xα −1, α ¹ 0,

2 . (sin x)′ = cos x .

3. (cos x)′ = -sin x .

a − действительное число.

(tgx)

5. (ctgx) = -

(arcsin x) =

cos2 x

sin2 x

1- x2

(arccos x) = -

8. (arctgx)

(arcctgx) = -

1+ x2

1- x2

10.

(ax )′

= ax ln a,a > 0,a - действительное число.

11.

(ex )′ = ex .

12.

(loga

)¢ =

, a > 0, a ¹ 1,

13.

(ln

)¢ =

x ln a

a − действительное число.

2. Основные правила дифференцирования. Пусть c − постоянная

величина и функции u = u(x) и			v = v(x) дифференцируемы, тогда
1. (с)′ = 0. .		2. (cu)′ = c ×u¢ .					3. (u ± v)′ = u¢ ± v¢ .
4.	(u × v)′ = u¢×v + u ×v¢.	æ u ö′				u¢×v - u ×v¢	,v ¹ 0 .
		5. ç		÷	=
						v2
		è v ø
6.	Если функция u = u(x)	дифференцируема в точке x0 , функция y = f (u)
дифференцируема в точке		u0 = u(x0 ), то сложная функция y = f (u(x))
дифференцируема в точке		x0 и
	y′x (x0 ) = fu′(u(x0 ))×u′(x0 ).						(3.1)

Пример 3.3. Применяя таблицу производных и правила дифферен- цирования, найти производные следующих функций:

1)	y = 2x3 - 5x2 + 7x + 4 ;
3)	y = x			×(3ln x - 2);
		x
5)	y = (2x5 + 3)4 ;
7)	y = ln tg		x	;

	2

9) y = ex ×arctgex - ln 1+ e2x .

Решение. 1) y¢ = (2x3 )′ - (5x2 )′ +


2)	y = x3 × arctgx;
4)	y =	sin x - cos x		;
4)	y =	sin x + cos x		;
		sin x + cos x
6)	y = sin(2x + 5);
8)	y = arcsin		2x2	,	x <1	;
			2x2
			1+ x4
			1+ x4

(7x)¢ + (4)¢ = 2(x3)′ - 5(x2 )′ + 7(x)¢ + 0 =

= 2×3x2 - 5× 2x + 7 ×1 = 6x2-10x + 7 .

3 ¢

= (x ) arctgx + x (arctgx) = 3x

arctgx +

1+ x2 .

3) Перепишем функцию в следующем виде

y = x3/ 2 ×(3ln x - 2), тогда

3/ 2 ′

3/ 2

3 1/ 2

3/ 2 3

= (x ) ×(3ln x - 2)+ x

×(3ln x - 2)

×(3ln x - 2)+ x

= 2 x

× x =

1/ 2

×ln x - 3x

+ 3x

x ln x .

y¢ = (sin x - cos x)′ ×(sin x + cos x)- (sin x - cos x)×(sin x + cos x)′

(sin x + cos x)2

(cos x + sin x)×(sin x + cos x)- (sin x - cos x)×(cos x - sin x) =

(sin x + cos x)2

(sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)2

(sin x + cos x)2

5) Применим формулу (3.1) производной сложной функции, учиты-

вая, что промежуточный аргумент

u = (2x5 + 3), а

f (u)= u4 . Вычислим

f ¢(u)= 4u3, u¢(x) = (2x5 + 3)′ =10x4 ,

подставляя в формулу (3.1), получим

y¢ = y¢x (x) = 4(2x5 + 3)3 ×10x4 = 40x4 ×(2x5 + 3)3.

6)y¢ = cos(2x + 5)×(2x + 5)′ = 2cos(2x + 5).

7)При нахождении производной здесь последовательно дважды ис- пользуется формула производной сложной функции:

y¢ =

ö′

æ x

ö′

×çtg

×ç

= cosec x .

sin x

cos

è 2

2sin

×cos

2x2

ö′

y¢ =

2x2

ö2

1+ x

1- ç

+ x

(1 + x4 )

4x ×

(1 + x4 )- 4x3 × 2x2

= .

(1 + 2x2 + x4 )(1- 2x2 + x4 )

(

4 )2

4x ×(1- x4 )

1+ x

(1- x4 )×

(1+ x4 )

(1+ x4 ).

9) Используя свойства логарифма, перепишем исходную функцию в

виде y = ex × arctgex -

ln(1+ e2x )

и вычислим производную

e2x

y¢ = (ex × arctg ex )¢ - (

2 ln(1+ e2x ))¢ = ex × arctg ex

2 ×

× 2e2x =

1+ e2x

(1+ e2x )

= ex × arctg ex.

f ′(x0 ), если

Пример 3.4. Вычислить

f (x) =1- 3

f (x)= x2 × cos(x - 2), x0 = 2.

, x0 = 8;

Решение. При решении данных примеров следует сначала найти про-

изводные

′

(x), а затем вычислить их значения в точках x0 :

−

- x2 ;

f (x)= - 3 x

(8) = - 33 8 - 82 = - 3 - 4 = -12 ;

- 2 sin 0 = 4.

(x) = 2xcos(x - 2)- x sin(x - 2);

f (2) = 2× 2cos0

3.7.Найти производные функций:

	x3	2	2) y =	3x + 5	;
1) y =	3 - x + 4x - 5;			7

3) y =

;

5) y = 3x -

;

4x4

7) y = ç1

;

9) y = x + 2 ×

- 33

;

11)

y =

;

13) y =

x × 3

;

ö2

15)

y =

ç x -

;

17)

y = x + 2sin x − 6cos x ;

19)

y =

+ 3× tgx - 7;

21)

y = 5sin x - 4 × ex ;

23)

y = x2

+ 3 × 5x ;

25)

y = 2ln x +

;

27)

y = 2x − arctgx + 3;

29)

y = x3 ×cos x ;

31)

y = (x2 - 2)×sin x + 2x cos x ;

33)

y = x2 × ex ;

35)

y = 2x

× (sin x +1);

37)

y = (ex - 5)× arctgx ;

39)

y = 3

×ln x ;

41)

y =

;

x2 +

43)

y = cos x ;

45)

y =

2×sin x

;

1+ cos x

47)

y =

1+ ex

;

- ex

y =

;

4x3

y = x2

;

ö2

y = ç1

÷ ;

10)

y = 6 × 3

- 4 × 4

;

12)

y =

+ 2 ;

3 x

14)

y =

x × 4

;

ö3

y =

x +

16)

÷ ;

18)

y =

cos x

+ 5 × tgx + 4;

20)

y = ctgx + 4sin x ;

22)

y = 5

+ 7 × ex ;

24)

y = 8 × 4

- 2x

+ 5;

26)

y = x + ln x +

;

28)

y = sin x + 5arcsin x ;

30)

y = (x +1)×ctgx ;

32)

y = 2 ×

×sin x ;

34)

y = x3 ×(ex -1);

36)

y = ex

× arcsin x ;

38)

y = ex

× (3 - sin x - cos x);

40)

y = (x3

- 2x)× log3 x ;

42)

y =

;

1- 4x

44)

y =

tgx

;

46)

y =

cos x

;

+ 2sin x

48)

y =

;

49)	y =	log5	x + 2		;	50) y =		1+ ln x		;
									x
				x
				x
51) y = arcsin x ;						52)	y =		arctgx	;
51) y = arcsin x ;						52)	y =		x2 + 1	;
		x							x2 + 1
		3x
53)	y =	22x	;			54)	y = 32 x × 5x .
		3

3.8.Используя правило вычисления производной сложной функ- ции, переписать таблицу производных, заменив в функциях аргумент x на функцию u(x).

3.9.Найти производные сложных функций:

y = sin 6x ;

3) y = cos2x - sin

;

æ x + 2

y = 2ctgç

÷ ;

y =

3x+1

;

9) y = lg(5x + 7);

11)

y = (1 - 5x)7 ;

13)

y = 3

;

(4 + 3x)2

15)

y =

;

(4x + 1)× 5

(4x +1)

17)

y =

;

(1 - x 2 )5

19)

y = 4

;

1 + 3x 2

21)

y =

;

cos x +1

23)

y = tg6 x ;

25)

y = tg ln x ;

27)

y = ln(x3 + 2x + 1);

29)

y = esin x ;

31)

y = arccos

;

33)

y = ln(x2

+ 2x);

2) y = 6cos 3x ;

4) y = cos3x + sin 32x ; 6) y = tg(3x + 5);

8) y = 25x+7 ;

10) y = arcsin 52x ;

12) y = (2 + 3x)10 ; 14) y = 1- 2x ;

16) y = 2x + 5 × (2x + 5)2 ;

18)	y = (1+ 5x2 )3 ;
20)	y = 3
		1 + x 4					;
22)	y = 5								;
		2x - sin x
24)	y = sin2 x ;
26) y = sin					;
				x
28)	y = ln cos x ;
30)	y = earctgx ;
32)	y = arcsin(sin x);
34)	y = ln			x5				;
			x5 +			2

	æ	x		x	ö	2
35)	y = çsin		+ cos		÷ ;
35)	y = çsin	2	+ cos	2	÷ ;
	è	2		2	ø
37)	y = sin3	x	;
37)	y = sin3	3	;
		3

39) y = 4 1 + cos 2 x ; 41) y = tg2x ; 43) y = 5tg3x ;

45) y = arcsin(e3x );

47) y = 5ln cos 1+ x2 ;

Найти производные функций.

3.10.

y = (

x -1)× ç

+ 1÷ .

3.12.

y = 2 ×

1 +

sin x

ö2

3.14.

y = ç

÷ .

+ cos x

3.16.	y = tg2x +							2 tg32x +								1 tg5				2
.								3								5
.	y = 1 tg2
3.18.										+ ln cos									.
3.18.								x		+ ln cos								x	.
	2
3.20.	y = x × (sin ln x - cosln x).
3.22.	y =	ln		x			-			1	× ln				x2				.


														1	+ x2
	1+ x2							2						1	+ x2
3.24.	y = ln				1+ sin x								.
					1 - sin x
	y = ln(3x2 +																).
3.26.	y = ln(3x2 +										9x4 + 1						).
						× (						-1).
3.28.	y = e		2x
3.28.	y = e		2x						2x

3.30.	y = ln						e4 x				.
3.30.	y = ln				e4 x			+1			.

36)

y =tg 2 x + ctg 2 x ;

38) y =

;

(1 + cos 4x)6

40)

y = 5

;

5x - sin 2x

42)

y = ln ctg(3x +1);

44)

y = 2

;

sin x

46) y =

arctg

48)

y = lnsin tge5x+1 .

3.11.

y = 3 × 3

4 × ç3

2 +

3 x2

y =

3x +

3.13.

+ 2

3.15.

y =

x ö2

çsin

- cos

÷ .

2 ø

3.17.

y = e− x -sin e− x ×cose− x .

3.19.

y = -ctg2

- 2ln sin

3.21.

y = cos x × ln tgx - ln tg

3.23.

y = ln

x2 -1

-1

3.25.

y =

sin x

+ ln

1 + sin x .

cos2 x

cos x

y = ln(x +

3.27.

x2 +1

3.29.

y =

+ e

− x

- e

−x

3.31.

y = ln(e2x

e4 x

		x	-
3.32.	y = x × arccos				4 - x2

	2		.

3.34.	y = arctg(x +1)+				x +1
				x2 + 2x +

3.33. y = x ×arcsin x + 1- x

3.35. y = arccos	9 - x2		, x > 0 ..
	9	+ x2

3.36.	y = x × arctgx -		1	ln(1+ x2 )-			1	× (arctgx)2 .
			2				2				(x -1)(x - 3)3
					1

3.37.	y = ln(1 +	x +1)+				× (x - 2)×			x +	3.38. y = ln
					3
											(x - 2)3(x - 4

3.39. Найти значения производных функций в указанных точках: 1) f (x) = 2 + x - x2 , найти f ′(0), f ′(1), f ′(10);

(1 -

f (x) =

, найти

′

f (0,01);

π ö

f (t)=

cost

, найти

f ¢ç

;

- sint

6 ø

f (x) = (x -1)

× (x - 2)

× (x

′

- 3)

, найти

f (1),

f (2),

f (3);

f (t) = ln

2et

′

, найти

f (0);

+ 1

f (x) = sin

2x - cos

æπ

;

2x , найти f ¢ç

è 8

1 ö

1 + x

y =

arctgx - ln 4

, найти y¢ç

;

1 - x

2 ø

8*)

y =

× e

′

, найти y (− 1),

y (1),

y− (0),

y+ (0).

′

u = x

4 - x

+ 4arcsin

2 .

3.40. Вычислить u (2)+ u (0), если

æπ

æ 3π

3.41. *

Для функции y = 2

cos x

+ cos x вычислить y¢ç

, y¢ç

y−¢

æπ

y+¢

æ π

è 6

è 4

и определить,

существует ли производная функции в

÷ ,

è 2

точке

x = π .

3.42. Количество продукции Q (ед.), произведённой бригадой рабо- чих в течение дня описывается функцией Q = -t3 + 5t2 + 75t , где t - время (ч), 0 ≤ t ≤ 8. Найти производительность труда бригады рабочих через 1, 2, 4, 6 часов после начала работы. Сделать экономический анализ.

3.43. Известна зависимость расхода автомобилем горючего на 100 км пути от скорости движения автомобиля: f (x) = 20 - 0,4x + 0,005x2 , где x − скорость в км/ч, f (x)− расход горючего в литрах на 100 км. Найти за- кон изменения скорости расхода горючего. Сравнить скорости расхода го- рючего при движении со скоростью 60 км/ч и 80 км/ч.

3. Логарифмической производной функции y = f (x) называют про-

изводную натурального логарифма модуля этой функции:

d(ln

f (x)

)

æ d(ln

)

¢ ö

f (x)

÷ .

y ø

Логарифмическую производную используют при вычислении про- изводных функций, содержащих операции умножения, деления, возведе- ния в степень. Найдём, в частности, производную показательно-степенной

функции

y = uv ,

где

v - функции независимой переменной x :

u = u(x), v = v(x),

u > 0.

Прологарифмируем равенство

y = uv ,

получим

ln y = v lnu .

Найдём

производные

левой

правой

частей:

y′

y = uv :

= v¢×ln u

×u¢ Þ y¢ =

yçv¢×ln u +

×u¢

или,

подставляя

y¢

= uv çv¢×ln u +

×u

¢÷.

Пример 3.5. Используя логарифмическую производную, найти про-

изводные следующих функций: 1) y = xsin x (x > 0);

2) y =

x(x2 +1)

1- x2

Решение.

Логарифмируя

исходную

функцию,

получим

ln y = sin x ×ln x .

Отсюда

y′

= cos x ×ln x +

sin x

sin x ö

y¢

= çcos x ×ln x +

÷× y Þy¢ =

çcos x ×ln x

÷ × xsin x .

2) Имеем

= ln

+ ln(1+ x2 )-

1- x2

тогда

y¢

1+ 3x2

- 2x4

(

4 )

1+ x

1- x

x 1- x

y¢ = y ×

(1+ 3x2 - 2x4 )

Þ y¢ =

1+ 3x

- 2x4

x(1- x4 )

(1- x2 )

1- x2

3.44. Найти производные функций:

1)	y = xx ;
3)	y = (sin x)x ;
5)	y = 3		(x + 2)×(x -1)2		;
				x5

7) y = xe x ;
9)	y = (sin x)arcsin x ;
11) y =		(ln x)x		;
			xln x

2) y =		(x - 3)2 (2x -1)				;

				(x + 1)3
4)	y = (ln x)1 x ;
6)	y = 3			sin 3x	;
				- sin3x
	1
8)	y = x			;
			x
10) y = x(xx ) ;

12)* y = x(x2 ) + x(2x ) + 2(xx ).

3. 3. Производные высших порядков

Если производная функции y = f (x) определена и является функци-

ей,	дифференцируемой в точке x , то её производную называют производ-
ной	2-го		порядка (или 2-ой производной) функции				y = f (x) в точке x :
¢¢		¢	′	′′
¢¢		¢		′′
f (x) = ( f		(x)) . Если		f (x) является дифференцируемой в точке x , то про-
				¢¢¢	¢¢	′
изводная 3-го порядка				¢¢¢	¢¢	(x)) и т.д.
изводная 3-го порядка				f (x) = ( f		(x)) и т.д.
	В общем случае: если производная (n −1)-го порядка							f (n−1)(x) диф-
ференцируема в точке x ,					то её производную называют производной n -го
порядка (или n -ой производной) функции y = f (x) в точке x :
	f (n)(x)= (f (n−1)(x))′,				n = 2,3,....
	Обозначают n -ую производную y(n), f (n)(x),						d n y	или	d n f (x)	.
							dx n		dxn

Производные, начиная со второй, называют производными высших поряд- ков.

Пример 3.6. 1) Найти производную второго порядка функции

y= x × e−x ;

2)для функции y = x3 - 3x2 + 5, найти y′, y′′,... ;

3)для функции y = 2x , найти y(n);

4) для функции y = e	2x	×sin 3x , найти y	′	′′	′′′	(0).
			(0),	y (0), y
Решение. 1) y¢ = e−x - x ×e−x = (1- x)e−x ;
y¢¢ = ((1- x)e−x )′= - e−x - (1- x)e−x = (x - 2)e−x .
2) Последовательно вычислим y¢ = 3x2 - 6x,					y′′ = 6(x −1), y′′′ = 6,

yIV = yV = ... = 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 206 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.07.2019113.15 Кб4Маркетинговые исследования Лекции.doc
#
09.11.20182.12 Mб4Маркетинговые коммуникации Гл16 КСО.doc
#
09.11.201810.26 Mб6Маркетинговые коммуникации Гл17 Соц. отчет.doc
#
11.07.2019253.44 Кб26Маркетинговые коммуникации Лекции.doc
#
09.11.2018220.16 Кб3Маркетинговые коммуникации Ответы на экзамен.doc
#
08.03.20151.91 Mб60Математика в экономике, сборник задач.pdf
#
01.07.2025100.84 Кб0Материал к сообщениям по сложным единым преступ...docx
#
01.05.2025371.2 Кб3Матрицы.doc
#
08.03.20154.35 Mб48МатыскинаТеория статистики.pdf
#
08.03.2015207.36 Кб14Машинотех продук готовая.doc
#
01.05.2025272.38 Кб0Международная стандартизация.doc