2.3. Задачи разделения затрат на постоянные и переменные

Перед тем, как приступить к решению задач данного раздела, необходимо изучить следующие разделы курса: линейная регрессия, модели разделения затрат на постоянные и переменные.

В данной части задания предусматривается решение одной задачи разделения затрат на постоянные и переменные.

Задача № 4

По данным отчётности за прошедший год совокупные затраты по всем статьям - Z и количеству произведённой продукции -V в помесячном разрезе составили

Таблица 1

№ месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
количество (тыс.руб.) Х	1,5	4,0	5,0	7,0	8,5	10,0	11,0	12,5	14,0	13,0	11,5	16
затраты (тыс.руб.) У	5,0	4,5	7,0	6,5	9,5	9,0	11,0	9,0	13,0	12,5	15	14

Определить: 1) величину постоянных издержек и удельных переменных затрат;

2) Рассчитать количество продукции, обеспечивающее безубыточный режим;

3) Сделать прогноз необходимых средств на заданный объём производства - V_зад.

4) Сделать прогноз возможного выпуска продукции при заданной величине затрат - Z_зад.

5) Рассчитать результат (прибыль или убыток) при отклонении V_зад на +/-Q%.

Решение

Разделить затраты на постоянные и переменные можно тремя методами: высшей и нижней точки, корреляционным и наименьших квадратов.

Метод высшей и нижней точки.

Из таблицы 1 выбираем наибольшее и наименьшее количество выпускаемой продукции с соответствующими им значениями затрат:

V_max = 16 т.шт. Z₁ = 14 т.руб.

V_min = 1,5 т.шт. Z₂ = 5 т.руб.

Определить разности V и Z

V = V_max - V_min = 16 – 1,4 = 14,5 т.руб.

Z = Z₁ - Z₂ = 14 - 5 = 9 т.руб.

Вычислим величину удельных переменных затрат:

Z 9

Zv₁ = V= 14,5 = 0,62 т.руб./т. штук

Тогда величина постоянных затрат составит:

Z_c = Z₁ - Zv₁* V_max = 14 - 0,62*16 = 4,08 т.руб.

На основании приведённых расчётов можно построить уравнение затрат:

Z = 4,08 +0,62*V

Корреляционный метод.

Представим на плоскости Z0V точки с координатами (Z_i ,V_i ) из таблицы 1.

Для этого выберем на координатных осях необходимый шаг квантования, исходя из максимальных значений соответствующих чисел. Так, в нашем примере абсцисса (количество продукции) имеет максимальное значение, равное 16, а ордината (затраты) - 15.

Поэтому градация осей принята такой, какой она изображена на рис.1

Далее на плоскости Z0V наносятся точки, координаты которых считываются из таблицы 1. Затем проводится прямая линия, наиболее приближенная к точкам на плоскости, и с учётом принятого масштаба (в нашем примере М 1:1) считывается величина постоянных затрат - Z_c. В нашем примере Z_c = 2,9 т. руб.

Для вычисления удельных переменных расходов необходимо построить прямоугольный треугольник, гипотенуза которого должна совпадать с линией затрат - Z, а катеты должны быть параллельны координатным осям. В нашем примере АВС. Как известно, удельные переменные расходы определяются тангенсом угла наклона , образуемого линией затрат с положительным направлением оси абсцисс. Величину этого тангенса можно определить отношением противоположного катета к прилежащему из  АВС.

Таким образом:

ВС 9,1

tg = Z_v¹ = АС = 14 = 0,65

Следовательно, уравнение затрат будет:

Z = 2,9 + 0,65*V

Метод наименьших квадратов:

Метод наименьших квадратов отыскивает прямую, наилучшим образом приближающуюся к точкам на плоскости Z0V, алгоритмически и без изображения соответствующих точек на плоскости Z0V.

Искомую прямую обозначим через

Z = Z_c + Z_v¹*V

Коэффициенты Z_c и Z_v¹ рассчитываются по формулам:

(1)

(2)

Для удобства вычислений составим таблицу следующего вида:

Таблица 2

№ п/п	Vi	Zi	Vi2	Vi Zi
1	1,5	5,0	2,25	7,5
2	4,0	4,5	16,0	18
3	5,0	7,0	25	35
4	7,0	6,5	49	45,5
5	8,5	9,5	72,25	80,75
6	10	9,0	100	90
7	11	11	121	121
8	12,5	9,0	156,25	112,5
9	14	13	196	182
10	13	12,5	169	162,5
11	15,5	15	240,25	232,5
12	16	14	256	224
	118	116	1403	1311,25

В последней строке таблицы 2 записаны суммы соответствующих столбцов. Подставляя их в формулы (1) и (2) находим коэффициенты Z_c и Zv¹, которые и представляют искомые значения постоянных и удельных переменных затрат.

Уравнение затрат составит:

Z = 2,75 + 0,70*V (3)

1. Рассчитать количество продукции, обеспечивающее безубыточный режим.

Как известно, безубыточный режим предполагает равенство совокупных затрат величине выручки при одном и том же количестве продукции. Пусть цена единицы продукции равна 2 000 руб. Тогда уравнение выпуска будет:

В = 2*V (тыс. руб.) (4)

Для определения точки безубыточности приравняем (3) и (4) и найдём значение количества продукции, обеспечивающее это равенство.

2,75 + 0,70 *V_тб = 2* V_тб

Откуда

V_тб = 2,115 (тыс. штук)

Таким образом, безубыточный режим будет иметь место, если количество реализуемой продукции будет не меньше 2 115 штук по цене 2 руб. за штуку.

2. Прогноз необходимых средств на заданный объём производства.

Пусть V_зад = 3 тыс. штук. Тогда, подставляя V_зад в уравнение затрат (3), найдём искомую величину

Z = 2,75 + 0,7*3 = 4,85 тыс. руб.

3. Прогноз возможного выпуска продукции при заданной величине затрат

Пусть Z_зад = 3,5 тыс. руб.

Для расчёта прогнозного значения выпуска продукции необходимо иметь производственную функцию вида:

V = V_o + V₁*Z (5)

Для её построения необходимо выполнить все расчёты из пункта 1.3, поменяв местами V и Z.

Для нашего примера уравнением выпуска будет:

V = - 1,21 + 1,11 *Z (6)

Подставим в уравнение (6) Z_зад = 3,5

V = - 1,21 + 1,11*3,5 = 2,675 (тыс. штук)

Следовательно, располагая 3,5 тыс. рублями, можно произвести продукцию в количестве 2,675 тыс. штук.

4. Расчёт ожидаемого результата при отклонении V_зад на +/- Q%.

Пусть Q = 15%, а V_зад = 3 тыс. штук.

Как известно, прибыль или убыток можно рассчитать по формуле:

V - V_тб

Р= Z_c * V_тб (7)

Ранее (п. 1.3) мы нашли Z_c= 2,75 и V_тб = 2,115 (п. 2)

Для ответа на поставленный вопрос необходимо рассчитать Р по формуле (7) для V_зад, V_зад - 0,15* V_зад и V_зад + 0,15* V_зад.

Для V_зад:

3 - 2,115

Р₁ = 2,75 * 2,115= 1,151 тыс. руб.

V_- = V_зад *(1 - 0,15) = 3*0,85 = 2,55 тыс. штук

V₊ = V_зад *(1 + 1,15) = 3*1,15 = 3,45 тыс. штук

2,55 - 2,115

Р₂ = 2,75 * 2,115= 0,566 тыс. руб.

3,45 - 2,115

Р₃ = 2,75 * 2,115= 1,736 тыс. руб.

Таким образом, при производстве заданного количества продукции, равного 3 тыс. штук, прибыль составит 1,115 тыс. руб., при сокращении данного количества на 15%, т.е. при производстве 2,55 тыс. штук, прибыль составит 0,566 тыс. руб., а при увеличении выпуска на 15%, т.е. 3,45 тыс. штук, прибыль составит 1,736 тыс. руб.