книги из ГПНТБ / Теплов Л. Очерки о кибернетике

Но мы уже знаем, что это неверно: отношение несовместности или различимости действительно является самым элементарным отноше­ нием, позволяющим моделировать более сложные явления мира.

Сравнивая булеву алгебру логики с обычной алгеброй чисел, можно заметить, что она более «слаба» — содержит меньше запрещений, а сле­ довательно, меньше информации. В булевой алгебре, например, возмож­ ны такие равенства:

(а+ в)с = ас + вс; ав + с= (а+с) (е + с ),

из которых только первое разрешено в алгебре чисел. Если подставить числа во второе равенство, получится противоречие:

2-7+3 = 17 (2 + 3)-(7 + 3) =50.

Но если мы истолкуем буквы алгебры Буля, как обозначения не­ которых классов, множеств предметов или событий, то второе равен­ ство окажется верным и очень полезным. Ведь дедуктивная система са­ ма по себе может быть верна только своему методу построения. Как модель она может годиться для одних содержательных толкований и не годиться для других. Так, фотография, вклеенная жуликом в чужой пас­ порт, может точно изображать некоего человека, но не того, на чье имя выписан паспорт.

Ослабляя или усиливая запреты, уменьшая или увеличивая количе­ ство информации в модели, мы можем подгонять ее к отношениям, ко­ торые требуется смоделировать. Так поступил великий русский матема­ тик Н. Лобачевский. Ослабив классическую геометрию Эвклида, сняв «постулат о параллельных», он получил непротиворечивую и полезную модель. Снимая другие запреты, получают более общие геометрии — аффинную, проективную и топологию. Теми же методами сейчас созда­ ны новые алгебры — групп, колец, полей.

В алгебру Буля можно подставить числа (нормы), например 1 и 0, считая, что 1— это обозначение истинности высказывания, а 0 — обоз­ начение ложности. Такое толкование моделирует всю формальную ло­ гику.

Вместе с тем оно очень похоже на более сильную систему — двоич­ ную арифметику, хотя и не допускает разрядных переносов. Истинность или ложность построений формальной логики поэтому можно вычислять вручную, на арифмометре или любой машине двоичного счета.

Булева алгебра годится для общего описания преобразований, со­ вершаемых над двоичными кодами. Любое сочетание нулей и единиц мо­ жет быть изменено, например, так, что нули превратятся в единицы, а единицы — в нули: .

было 011110011011, стало 100001100100.

Но это и есть операция отрицания, когда ложь (0) становится исти­ ной (1), а истина — ложью.

199

При сопоставлении двух кодов знак за знаком сверху вниз:

11110101101

11000100111 —

мы имеем три возможности: нуль сопоставляется с нулем, единица с единицей и, наконец, единица с нулем. Для обозначения первой естест­ венно оставить нуль, для обозначения второй — единицу. А для обозна­ чения третьей придется прибегнуть к двум действиям; в одном из них

кодов, когда истина (1) и ложь (0) дают в итоге истину (1). Кроме того, это сложение, ибо 1 + 0 = 1 , 0 + 0 = 0; правда, 1 + 1 в обычной ариф­ метике равняется двум, в двоичной— 10, а у нас 1 + 1 = 1. Но в «логи­ ческой арифметике» можно принять и другой результат: 1 + 1=0 .

Действительно, давно известно, что связка «или» в речи имеет два оттенка. Когда говорят: «девушка пугалась, увидев паука или мышь», полагают, что слабонервная девица пугалась также, увидев сразу и мышь и паука, т. е. высказывания «пугалась паука» и «пугалась мыши» истинны одновременно, обе истины совместимы и 1 + 1 = 1. Но когда говорят: «Иду в театр или кино», «или» должно быть понято в раздели­ тельном смысле. Нельзя одновременно идти в два разных места. Поэто­ му если высказывание «иду в театр» истинно, то «иду в кино» — ложно; совместимость обеих истин ложна, т. е. 1 + 1 = 0 . Обычно считают не­ разделительное «или» основным, а разделительное «или» — производ­ ным, поскольку результат, даваемый им, может быть получен при неко­ тором сочетании операторов.

Но разделительное «или» в применении к одинаковым кодам дает важный результат:

111010111101100

V111010111101100

Р000000000000000

Оно позволяет устранять совпадающие коды, повышая содержательность информации. Недаром некоторые логики (например, московский профес­ сор И. Жегалкин) считали разделительное «или» основным, а неразде­ лительное — производным.

Из приведенных здесь примеров употребления логических операто­ ров видно, что они однозначно описывают любые превращения двоичных кодов. Иначе говоря, если имеется какое-либо сообщение

...11100101010111011...

и от него должен существовать переход к команде

...10100011011011001...

200

то обязательно существует (и не одна) последовательность операторов,

можно описать в терминах булевой алгебры. Недаром же эта алгебра выведена из наблюдений за мыслительной деятельностью человека! А

по логике заметил, что формальный аппарат ее можно было бы исполь­ зовать для описания сеток и цепей переключателей, например телефон­ ных. В тридцатых годах эта идея постепенно нашла продолжателей. Со­ ветский инженер В. И. Шестаков, японцы А. Накасима и М. Хандзава, австриец А. Риттер, а также американский студент Клод Шеннон, впо­ следствии ученый, создавший теорию информации, показали, что цепь переключателей — устройств, преобразующих сигналы, — может быть описана в виде логической формулы и, наоборот, всякая логическая фор­ мула может быть реализована в виде цепи из некоторых элементов, каж­ дый из которых выполняет одно логическое действие: отрицание, конъ­

Различные варианты теории релейно-контактных схем стали ору­ дием теории и практики инженерной автоматики. При сочинении слож­ нейших схем переключений, от которых и у бывалых проектировщиков начинает порой мутиться ум, стали пользоваться выкладками, напо­ минающими обычные расчеты. Сокращая эти выкладки по правилам булевых подстановок, инженеры смогли экономить электрические при­ боры.

Естественно было предположить, что и в нервной системе человека ее элементы — нейроны — тоже выполняют операции булевой алгебры. Эта мысль была высказана в 1943 г. американскими математиками Уорреном Мак-Каллоком и Уолтером Питтсом, которые допустили, что существуют три вида нейронов, отличающихся величиной порога воз­ буждения и свойствами синапсов. А именно: нейрон отрицания возбуж­ дается от одного возбуждения, пришедшего от предыдущего нейрона, но синапс его тормозит следующий по цепочке нейрон; конъюнктивный и дизъюнктивный нейроны передают в синапсе возбуждение, причем для конъюнктивного нейрона нужно, чтобы ему были поданы два возбуж­ дающих сигнала, а для дизъюнктивного достаточно одного — его порог возбуждения ниже.

201

Мак-Каллок и Питтс установили так­ же, что для полного совпадения свойств сети, составленной из условных нейронов, с формулами булевой алгебры в сетях не­ обходимо наличие обратных связей.

Правда, «нейроны» новой теории

скольку Шеффер установил возможность одного логического оператора. В резуль­ тате были выведены два варианта такого единственного условного нейрона, кото­ рый может составлять однородные цепи и сетки, выполняющие заданную последо­ вательность логических операторов.

Так появилась возможность говорить об элементе Шеффера, или «нейроне Шеффера», как модели живого нейрона, операторе несовместности в сигнальной системе живых существ.

Предполагается, что «нейрон Шеф­ фера» имеет четыре входных дендрита, два из которых постоянно получают воз­ буждение, а два снабжены синапсами, преобразующими возбуждение предыду­ щих нейронов в торможение данного; по­ рог равен единице. Вариант универсаль­ ного элемента — «смеситель» имеет три входа с синапсами, передающими воз­ буждение; его порог равен двум.

Если элемент Шеффера, для того чтобы он стал элементом отрицания, дизъюнкции или конъюнкции, должен быть взят несколько раз и по-разному включен в общую цепь, то «смеситель» Неймана преобразуется в любой логиче­ ский элемент путем изменения сигналов, постоянно действующих на его входы.

Иначе говоря, из элементов Шеффера могут быть составлены структур­ ные сигнальные системы с жесткими свойствами, из элементов Нейма- н а — программные сигнальные системы, управляемые и перестраиваемые с помощью информации, поступающей на их входы.

Уже Н. Винер отмечал, что нейроны кошки являются регистратора­ ми совпадения раздражений, поступающих от других нейронов.

202

изощрялись математики, у них получались системы, обладающие всеми нужными свойствами, кроме

одного: величина информации в них оставалась неизменной. Двоичная

203

Причиной этого был ч е т в е р т ы й закон логики, сформулирован­ ный значительно позднее других, уже в XYIII веке Лейбницем, — закон «достаточного основания». Он явился первым вариантом закона с о х р а ­ н е н и я и н ф о р м а ц и и и устанавливал, что всякая логическая фигу­ ра должна иметь достаточно определенные основания в предпосылках. А все предпосылки алгебр, как известно, заключаются в аксиомах и пра­ вилах вывода.

Между тем сам Джордж Буль отчетливо указывал на выход из это­ го положения. Он установил, чтологическая алгебра полностью изо­ морфна т е о р и и в е р о я т н о с т е й . И действительно, согласно точно­

му определению, теория вероятностей есть не что иное, как булева ал­ гебра с п е р е м е н н о й н о рмой , которая может изменяться от нуля

до единицы. Именно в процессе изменения нормы увеличиваются пол­ нота и ценность информации, создаются условия для ее накопления и со­ вершенствования.

В строгих рамках аристотелевых силлогизмов отражается работа сравнительно простых, точных и зарегулированных систем, где суще­ ствуют только «да — нет», «правда — ложь». Более сложные и менее надежные системы уже различают правдоподобие, а не правду, сомни­ тельность, а не ложь; в них есть ряды ступеней правдоподобия и ряды ступеней сомнительности.

С того момента, как мы научаемся говорить, мы постепенно полу­ чаем ощущение неполноты информации и со временем овладеваем уме­ нием учитывать эту неполноту так, чтобы то, что мы ожидаем встретить в мире, не очень расходилось с тем, что действительно встречается. Мы бессознательно приписываем каждому сообщению известную интуитив­ ную вероятность, которую можно обозначить числом: скажем, 1— пол­ ная достоверность, 0 — полная, беспардонная ложь, Ч2 — полная неоп-

204

ределенность, а другие дроби, лежащие между этими значениями, обоз­ начали бы степени достоверности или недостоверности. Эти вероятно­ сти, которые можно назвать вероятностями верификации или ценности, прямо противоположны вероятностям ожидания, вычисляемым в Шенноновой теории информации. Действительно, сообщение с вероятностью ожидания 7г несет наибольшее количество информации; напротив, сооб­ щение с вероятностью верификации 7г никакой целесообразной инфор­ мации не содержит.

Такие сообщения или суждения может в неограниченном количестве выдавать источник шума, они вполне подобны мутациям в наследствен­ ности или случайным движениям в поведении.

Из сочинений Майн-Рида, рассказов Зощенко и стихов Верхарна я наугад выбираю подлежащие и сказуемые:

Истинны эти сообщения или ложны? Как поступил упомянутый воз­ любленный, действительно ли Леонидов что-то рассказывал, рвет сейчас ветер знамена или же они поникли в тишине? Никто не знает. Никакой конкретной истины тут нет, и дробь 7г означает полное отсутствие ин­ формации о данном явлении.

Но информация о множестве явлений, о частоте их может появиться и в шумовых сочетаниях. В полном соответствии с принципами кибер­ нетики мы начинаем поиск не от нуля, а от ранее достигнутого уровня. В понятиях, образующих новые суждения, заложен прошлый опыт, они не бессмысленны. Известно, что самые непреклонные возлюбленные со временем поддаются обволакивающей силе обожания, что человек по фа­ милии Леонидов не может прожить век, не рассказав что-либо кому-ли­ бо, если он не глухонемой. Можно учесть частоту ветреных дней в на­ ших .широтах и вывести вероятное поведение знамен. Всегда у самого неожиданного сочетания понятий появляется тенденция изменить веро­ ятность к нулю или единице, всегда г и п о т е з а требует действия в оп­ ределенном направлении, чтобы стать новой истиной.

В конце концов, если Люций жил-жил и умер, и Гай умер, и Андро­ ник умер, и Марк, и Тит, и Порций — все были люди и все умерли, то вывод:

(Весьма правдоподобно, что) все люди смертны.

И создается вероятностный силлогизм:

Кай (почти наверняка) человек.'

Следовательно, Кай тоже (вероятно) смертен.

Так мы получаем новую информацию — предвидение, что ныне бла­ гополучно здравствующий Кай не избежит, общей участи. Этой инфор-

2 0 5

мации явно не было в результатах опыта. Может сложиться впечатле­ ние, что «вероятностная логика» обладает способностью создавать ин­ формацию «из ничего» или черпать ее неведомыми науке каналами избудущего, как уверяет немецкий мистик Э. Васмут. А на самом деле она только экстраполирует законы прошлого на будущее. Если Кай до­ живет до того времени, когда контроль информации посредством сопо­ ставления кодов ДНК обратят против индивидуального старения, то ста­ тистика изменится, и Кай не будет смертным.

Об этом самом Кае можно высказать разные гипотезы; например:

Первое сообщение несколько более вероятно, чем второе, ибо, как нам известно из опыта, большинство мужчин имеет детей и среди них сравнительно мало косноязычных. К сожалению, нет никакой возможно­ сти изменить вероятности этих гипотез, так как не может быть «внеш­ ней» информации о существовании самого логического Кая или обстоя­ тельствах его жизни: вполне возможно, что его выдумали средневеко­ вые логики.

Частотные методы моделирования никогда не дают, конечно, полной информации об истинности «да» или «нет». Сколько бы мы ни наблюда­ ли, что любое четное число можно представить в виде суммы двух про­ стых чисел, например:

8 = 5 + 3; 10 = 5 + 5; 12 = 5 + 7,

но до наших дней никто не мог с полной ясностью вывести это из общих аксиом. Весьма и весьма правдоподобно, что нет такого четного числа,, которое нельзя разложить в сумму двух простых, может быть, так же правдоподобно, как смертность Кая, но математической дедукции до> сих пор ничего неизвестно относительно разложения всех четных чисел.

Многие математики и логики — Р. Карнап, А. Тарский, Д. Пойа, А. Зиновьев — в последнее время разрабатывают логические системы с переменной и многозначной нормой.

В логике происходит переворот, равносильный тому, который неког­ да Ньютон и Лейбниц произвели в численном анализе, создав дифферен­ циальное и интегральное исчисление. Тогда, по определению Энгельса,, в математику пришла диалектика. Энгельс был уверен, что диалектики утвердится и в логике, где будет преодолена ограниченность дихотоми­ ческой истинности: «да—да, нет—нет, а что сверх того, то от лукавого».

Основная идея теории вероятностей, на которой утверждается ве­ роятностная логика, состоит в том, что относительные частоты резуль­ татов, уже полученных в прошлых опытах, позволяют о ж и д а т ь неко­ торых событий в будущем, предсказывать их, даже если они в такой именно форме и не происходили.

Если, например, некоторое событие А происходит с вероятностью 4/5, то можно заведомо высчитать вероятность обратного ему события

206

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ СИГНАЛОВ

из них снладывается любая автоматическая машина

Когда безразлично — шнур это, нерв или провод. * Техника связи снаб­ жает автоматику решениями. $ От «ионики» к электромеханике. $ Изобре­ тения из арсенала телеграфа. * Изобразительный телеграф. * Говорящие машины и телефон. * От электромеханики к электронике, бесконтактным преобразователям. $ Электронная лампа как клапан, усилитель и элемент памяти. $ Ближайшие родственники электронной лампы. * Кристалл при­

ходит на смену вакууму. * Солион — модель живой клетки.

Чтобы полностью понять явление природы, мы должны его воспро­ извести, поставить эксперимент. Чтобы убедиться в правильности наших представлений о работе данной сигнальной системы, ее надо построить, хотя бы мысленно.

Аристотель подметил очень много свойств мышления, но не мог объ­ яснить ни одного.

Физиология нервной системы, объясняющая работу мозга, началась от Декарта, хотя то, что он писал о нервной системе, кажется наивным

исмешным. В те времена связями управления в машинах служили про­ стые тяги и стержни, а силовыми узлами — гидравлические и пневмати­ ческие системы. Декарт предположил, что внутри нерва, ведущего в мозг, проходит тонкий шнур, этот шнур натягивается при раздражении

иоткрывает в мозгу клапан; из мозга, как из баллона, через клапан вы­ ходит особый нервный газ, который по полому нерву проходит в мыш-

208