книги из ГПНТБ / Теплов Л. Очерки о кибернетике

к вежливому безбожию, от религии у них сохранилась только манера выражаться. Энтропия понятия «бог» достигла максимума.

Моделирование путем обобщения называется и н д у к ц и е й и рав­ носильно округлению числовых величин: информация теряется в наиме­ нее ценных, последних выборах. Индуктивными моделями нам служат Показания измерительных приборов, всевозможные следы событий, слеп­ ки. Луч света далекой звезды несет в своем спектре сообщение о ее со­ ставе и является моделью eg вещества. Разнообразные звуки, донося­ щиеся со двора, могут быть моделью детских игр, ссор и потасовок.

1 ' .Всякая информация есть модель чего-нибудь — существующего или даже несуществующего: будущей плотины или призрака.

*Для кибернетики, несомненно, больший интерес представляет об­

ратный процесс моделирования —д е д у к ц и я , когда информация на­ копляется в модели. Если художник пишет портрет, он черпает инфор­ мацию «из натуры», но поступает обычно иначе, чем фотоаппарат. Он постепенно организует поле своей картины, постепенно накапливает ин­ формацию в ней. Вначале он рисует не данного человека, а его предель­ но упрощенное подобие, например шар на кубе. Потом шар превра­ щается в удлиненный эллипсоид — это голова, а куб в усеченную пи­ рамиду — это шея и грудь. Наросты и вмятины на эллипсоиде, соответ­ ствующие глазным впадинам, носу, ушам и губам, имеют сначала руб­ левые, почти геометрические формы и только потом сглаживаются. Каждый раз художник фиксирует внимание на рассогласованиях меж­ ду создаваемой им моделью и объектом, постепенно устраняя эти рас­ согласования. Несведущие зрители обычно не одобряют дедуктивных упражнений художника: им кажется, что он напрасно кроит полотно рез­ кими, Ломаными линиями, тогда как проще было бы «сразу» изобразить домик или физиономию. Но художник давно на горьком опыте убедился, что пропускная способность его восприятия недостаточна, чтобы сразу вместить все обилие информации, содержащееся в натуре. Он предпочи­ тает, не торопясь, сделать первые, наиболее ценные выборы, проверить их, а потом двигаться дальше.

Дедуктивное моделирование начинается с отбора простейших, почти всеобщих отношений. Накладывая одно простое отношение на другое, можно постепенно и подконтрольно получать все более сложные отно­ шения, более полную информацию в последующих выборах.

гСамым простым и всеобъемлющим является, по-видимому, отноше­

ние различимости или «несовместности»: стул — стол, Луна — Земля, выводистина, это прежде всего р а з н ы е вещи. В отношении «раз­ личимо» участвуют по крайней мере три компонента: два между собой различаются, а третий различает. «Самым фундаментальным понятием кибернетики, — пишет У. Р. Эшби, — является понятие «различия», озна­

180

Назовем это отношение «оператором несовместности» и будем обоз­ начать косой чертой, которая имеет, кстати, свое имя: она называется «штрихом Шеффера».

Модель, отражающая только одно отношение различимости в мире, оказывается изоморфной множеству беспорядочно расставленных точек; одна точка — это стул, другая — стол, третья — Луна сегодня, четвер­ тая— Луна вчера и т. д. Если точки расставлены в порядке — сеткой или вкруг, если это не точки, а кружочки, камешки, лампочки, электри­ ческие заряды на пластинке изолятора и что угодно (лишь бы различи­ мое) , дело нисколько не меняется.

Если данный объект А становится отличным от самого себя, значит он изменился, и наиболее радикальное, наиболее различимое изменение его может состоять в том, что его уже нет. Был пузырь — и лопнул. А упало, Бе пропало... Эта явная несовместность предмета А с самим собой при помощи оператора несовместности или его символа — штриха Шеффера может быть изображена, как А/А, и названа, например, о т р и ­ ц а н и е м . Она говорит уже не о полной несовместности, а о сходстве, ибо пузырь существующий и пузырь лопнувший объединяются отрица­ нием в некоторое множество пузырей прошлого, настоящего и будуще­ го. «Каждое положение и противоположение оба относятся к одному и тому же роду» ’.

Точечная модель, изображающая отношение отрицания, уже не мо­ жет иметь любую, а в общем хаотическую форму. В ней должны быть четко отображены связи между объектами и их отрицаниями. Хотя само отрицание можно обозначать как угодно, но точки в зависимости от это­ го обозначения получают сразу свои законные места. Вся модель обре­ тает знакомый облик кристаллической решетки с ее строгим, хотя и пре1 дельно примитивным порядком. «Отрицание» я тоже могу обозначить

даже удобнее, потому что к обычным словам привязывается масса не­ определенных значений: говорят, например, «отрицательный тип», «от­ рицательный заряд». Когда понятие «отрицание» употребляется в об­ щем смысле, речь идет не об электронах и не о недостатках характера, просто хочется как-то обозначить связь или сходство между, объектами, при которых все же сохраняется различие между ними.

При этом значении слова можно сказать: «ложась спать, я отрицаю выключатель настольной лампы», вызвав недоумение, даже некоторые опасения у близких. А ведь я действительно произвожу отрицание: вы­ ключатель остался тот же, а положение его изменилось. Поэтому лучше обозначить выключатель буквой, например А, и записать:

~ А или А.

Можно придать слову «отрицание» латинизированный вид — «контра­ дикция», сказать: «Я произвел контрадикцию настольной лампы».

1 В. Минто. Индуктивная и дедуктивная логика. 1902, стр. 109.

181

То, что мы проделали, перейдя от абстрактного «объекта» к кон­ кретному «выключателю», называют содержательным истолкованием формальной системы. Это очень интересный переход. С одной стороны, символ А более неопределенная вещь, чем слово «выключатель», ведь А может быть чем угодно. Значит, этот переход ведет к уменьшению не­ определенности, увеличению количества информации.

С другой стороны, символ А в данном случае входит в систему «А — не-А» с неопределенностью в 1 бит, и, выбрав А, мы получаем п о л н у ю информацию. Как можно спорить об этом А и высказывать разные суж­ дения о нем? Никак. А о «выключателе» можно спорить, так как бы­ вают очень разные выключатели: замок можно назвать выключателем двери, а водопроводный кран— выключателем воды. Ограничившись выключателями электричества, мы придем к другой неясности: будет ли таковым ре оста т , которым постепенно гасят свет в кинотеатрах? По­ нятие «выключатель» существенно неполно, в него входит неопределен­ ность: это обозначение множества, напоминающее «музыкальную блон­ динку». Напротив, одна из самых больших абстракций — точка — есть понятие предельно точное и полное. Все люди, сведущие в математике, имеют о точке одинаковое знание, прочную основу для дальнейших по­ строений.

Когда говорят «отрицание» в с м ы с л е т и л ь д ы , я хорошо знаю, что это такое, а если некто говорит, что он отрицает, например, классическую музыку, боюсь, и его не все поймут, и он сам кое-чего не понимает.

Примером перехода от содержательной системы к формальной в математике может служить замена арифметических выражений типа 2 + 3 алгебраическими а+ b. Поэтому можно называть формальную си­ стему алгеброй системы содержательной. Алгебра —■это дедуктивная модель отношений, тогда как в содержательном истолковании ее всегда появляется след индукции. Отношение само по себе вещь тонкая, и, что­ бы его выразить точно, удобнее называть о п е р а ц ию, приводящую к этому отношению, и описывать ее табличкой или матрицей, где пока­ зано, что было до операции и что стало после нее.

Наслаивая одни отношения на другие, можно постепенно улучшать и развивать дедуктивную модель, не теряя полноты информации — ясности и строгости. Так, группы связанных объектов могут входить между собою в новую связь, и, если она охватывает обе группы целиком, ее можно назвать сложением, «объединением», дизъюнкцией, нераздели-

«конъюнкция», «пересечение», «умножение» и т. п.

Такое обилие знаков и слов, обозначающих одно и то же отноше­ ние, появилось не случайно.

Ведь, находя очень общие отношения, мы не договорились относи­ тельно того, что с чем относится, что скрывается за образом точек. А это могут быть совершенно разные вещи.

182

Отношение различимости, например, дает возможность считать пред­ меты и составлять числа. Операции с числами, поставленными в простые или производные от них отношения, называются «арифметикой».

Различимость двух мест на плоскости или в пространстве позволяет считать их отдельными геометрическими точками, точки соединять ли­ ниями и истолковывать систему отношений, как «геометрию».

С древних времен отношения чисел и пространственные отношения изучались порознь. Рене Декарт, создавший аналитическую геометрию, открыл возможность изображать пространственные отношения числовы­ ми и наоборот. Раньше только треугольники решались аналитически.

Группы разных предметов, объединяемые каким-нибудь общим признаком, называются в математике «множествами». Множества вхо­ дят между собою в отношения, очень похожие на арифметические отно­ шения чисел.

Электрические приборы — переключатели, соединяемые в различных комбинациях, также входят в отношения, которые можно описывать в терминах арифметики, теории множеств или геометрии.

Поскольку кибернетику очень интересует сеть нейронов в нервной ткани, можно описывать взаимодействие нейронов на том же языке элементарных отношений.

По отношению к своим формальным алгебрам арифметика, геомет­ рия, теория переключателей и нейронов являются содержательными истолкованиями.

Даже к арифметике в обычной жизни люди прибегают нечасто. По­ строения геометрии и расчеты анализа, отношения между множествами, переключателями или нейронами увлекают только специалистов. Но каждый человек обменивается с другими мыслями, говорит и слушает. Отношения между словами по опыту известны каждому. Их изучает наука л и н г в и с т и к а . А за ними стоят отношения между значениями слов — по ня т и я ми , которые изучает наука логика.

Содержание мыслей и речей человека разнообразно и конкретно. Форма их зависит от того кода-языка, которым человек пользуется; русская речь, например, управляется законами русской грамматики — морфологии и синтаксиса. Все русские люди одинаково используют эти законы независимо от того, о чем они говорят: о футбольном состяза­ нии или о квантовой механике.

Очень давно удалось подметить, что существуют более общие зако­ ны мысли, выражающейся в речи, независимые от того языка, которым пользуется говорящий, и от предмета, о котором ведется речь. Эти за­ коны стали предметом особой науки — классической логики. Уже в со­ чинениях Аристотеля (384—322 гг. до н. э.) содержится стройное учение

людей искусно рассуждать, выступая в суде обвинителями или защит­ никами.

183

Один из учеников Протагора, обратив навыки спора против самого учителя, заявил, что платить сразу по окончании курса несправедливо: может быть, наука не пошла впрок, и он не сможет кормиться ремеслом юриста. Ученик обещал заплатить, как только выиграет свой первый процесс. Протагор согласился.

Время шло, юноша развлекался, как мог, и, по-видимому, не думал заниматься тяжбами. Он не проиграл и не выиграл ни одного процесса, так как ни в одном из них не участвовал. Протагор разозлился, подал в суд, требуя обещанной платы. Охотно согласившись на разбиратель­ ство, юноша решил защищаться и доказать, что он не должен платить Протагору.

История не сохранила нам подробностей процесса: неизвестно, кто убедительнее выступал. Но судьи в конце концов обнаружили, что они не могут решить дело ни в чью пользу. Действительно, это ведь был первый процесс ученика, и по условию, если бы он его выиграл, то дол­ жен был платить. Но если бы он заплатил, то это значило, что он про­ играл процесс и платить не должен. Любое решение было незаконным, хотя условия казались вполне разумными.

Тысячелетия — срок немалый, и за это время история видела не­ справедливости крупнее, чем те жалкие драхмы, которые недополучил старый афинский кляузник со своего достойного последователя. Но чтото есть в этом «деле», что заставляет каждого насторожиться: нельзя смириться с тем, что тяжба Протагора с учеником действительно не имеет никакого решения.

«Странно, — рассуждает читатель, — история эта довольно проста: я без труда могу удержать в голове все условия, и, кажется, чтобы ре­ шить задачу, надо только хорошо подумать... (Кстати, что значит — по­ думать?) Кроме того, есть подозрение, что она применима не только к древнему судебному казусу, а к массе похожих обстоятельств. Несом­ ненно, я сам часто прибегаю к такому же построению цепочек: «если то-то, то, следовательно, то-то, и наоборот»... И при этом уверен, что делаю нечто законное и полезное. Цепочки эти всегда позволяют мне сказать «да — или нет»... (Кстати, почему именно это?) На моих глазах то же самое делали математики, с упоением выводя мелом на доске длинные цепи символов, и самоуверенные адвокаты, применяющие за­ коны к случаям многогранной практики. Кажется, наука должна бы ра­ зобраться в этой темной истории с Протагором...»

О таких случаях действительно рассуждали немало. И самое про­ стое решение этой неразрешимой проблемы (если можно так выразить­ ся) предложил недавно советский кибернетик М. Нейман '. Он изобра­ зил отношения задачи в виде двух элементов (например, телефонных реле), каждый из которых может принимать два состояния. Первый элемент изображает условия договора, второй — решение суда. Суще­ ствует прямая связь от условия к решению, а также обратная связь от1

1 М. Нейман. Автоматические явления и процессы. М., 1957, стр. 127— 132.

184

решения к условию — обыкновенные провода. Получается замкнутая си­ стема, генерирующая периодические колебания «да — нет —да — нет — да ■— нет»...

Конечно, Нейман не решил — платить или не платить. И кто-нибудь может возразить, что он вообще ничего не доказал, так как старик-со­ фист и его ученик—это, мол, одно, а два щелкающих электрических реле— совсем другое. Могут ли они подчиняться одному закону? Нет ли в этой подмене порочной вульгаризации? Судебное дело выражает ведь отно­ шения общественные, социальные, а пара переключателей — техниче­ ские, электромагнитные, так сказать.

Но социальные отношения, как и всякие иные, могут быть иногда — далеко не всегда! — простыми: либо вовсе элементарными, либо произ­ водными от элементарных отношений. Тогда к ним можно подобрать какую-нибудь алгебру, устранить индуктивную неопределенность, моде­ лировать на машинах. При этом можно сравнивать дедуктивную модель с индуктивной и так управлять саморазвитием первой, чтобы она не входила в различимое рассогласование со второй.

Обращение к дедукции подобно работе садовника, создающего французский парк. Как в семени скрыто все будущее дерево, в исход­ ной системе определений, аксиом и операций данной алгебры скрыта вся возможная дедуктивная модель. Садовник может обрезать ветви, кото­ рые разрастаются не в ту сторону, куда ему надо. Эта возможность вы­ бора остается за ним, и он вкладывает в расположение естественно рас­ тущих ветвей свой порядок, например превращает дерево в куб или ва­ зу. Математик также выбирает области, которые кажутся ему практи­ чески плодотворными, и старается не выходить за их пределы. Правда, дерево не может расти без ствола, а ствол не дает плодов; ныне охвати­ вшее математику стремление разобраться в собственных основаниях, менее богато практическими приложениями, чем, скажем, арифметика. Но и корни, как мы увидим дальше, дают богатые плоды...

«Духа дедукции» недавно выпустил из бутылки китайский логик Хао Ван, работающий в Америке. Он заставил электронную машину с огромной скоростью совершать преобразования, которые предусмотрены знаменитой системой оснований математики, созданной Б. Расселом в А. Уайтхедом. Машина бойко начала выводить следствия, доказывать теоремы и за полчаса выдала столько математических истин, что разоб­ раться в них стало почти невозможно.

Машина — замкнутая сигнальная система, которая непрерывно вы­ дает истины, только истины, и ничего, кроме истин... Не правда ли, странная вещь? Еще недавно автор этой книги убеждал вас, что предо­ ставленная самой себе машина не может выдать ничего, кроме шума! Не попал ли он в положение бродячего пророка, которого прокураторИудеи раздраженно спрашивал: «Что же это такое — истина?»

Истина, несомненно, есть некоторый порядок, и каждая новая исти­ на содержит в себе нечто, отличное от шума, а значит, информацию. Но новую информацию несут только независимые истины. Система

185

истин, вытекающих одна из другой, разительно напоминает тот же про­ цесс кристаллизации, который время от времени помогал нам усвоить основы кибернетической статистики. Порядок при дедукции не увеличи­ вается, а распространяется, и новая информация к математику прихо­ дит извне, когда он замечает, что увлекся выкладками, которые ни к че­ му не годятся.

При удачно выбранных исходных данных и отсутствии ошибок в выкладках дедуктивная модель не может быть неполной в первом вы­ боре, не может противоречить сама себе, потому что она заведомо опи­ сывает одну ситуацию, которую сама создает. Истинность ее — величи­ на постоянная. В каждой части ее столько же информации, сколько в примененных при построении ее предпосылках, которые выбраны из не­ которого числа возможных, но непригодных суждений и поэтому содер­ жат соответствующее количество информации.

Математик Курт Гедель обнаружил, что в концевых выборах де­ дуктивная система всегда имеет неопределенность: в ее терминах мож­ но выразить такие положения, которые ее методами построения нельзя вывести — нельзя указать, истинны они или ложны. Кстати, этот факт почему-то использовали для посрамления способностей машин.

Подобно узору калейдоскопа, дедуктивная система может вклю­ чать случайный выбор в основу своих построений. Тогда при содержа­ тельном истолковании одной и той же алгебры получаются разные мо­ дели — например разные арифметики.

Как известно, арифметика очень полезная вещь. Построение нату­ рального ряда чисел и открытие возможности арифметических операций над ними дало человечеству существенные преимущества в моделиро­ вании отношений внешнего мира.

Во-первых, в числе содержится отвлечение от многих качеств пред­ мета или явления ради одного, важного в данный момент. Сначала это было количество, простая дискретность вещей, заложенная в их внешней форме. Наши предки умели считать деревья, зерна, дома и самих себя, а главным образом деньги, объемы, веса, но не умели считать часы и ми­ нуты, поскольку время текло для них непрерывно. Сейчас мы умеем считать почти все. Даже красоту девушки можно выразить числом, на­ пример:

1 : 1000 или 0,001,

что означает — одна на тысячу.

Во-вторых, в счете была освоена дискретная информация — вполне определенная, устойчивая, удобная для преобразований. Преобразова­ ния, применяемые в счете: сложение, умножение и др., были строго нормированными операциями, так что, где бы и кто бы их ни произво­ дил, он всегда приходил к одному и тому же результату.

Правда, счет элементарной математики мог передать только сравни­ тельно простые отношения внешнего мира, но открытие дифференциаль­ ного и интегрального исчислений привело к тому, что путем многократ­ ного повторения элементарных счетных действий стало возможно при­

185

ближаться к точной формулировке отношений большой сложности, в том числе и изменяющихся зависимостей (функций). Поэтому многие бывают удивлены, услышав, что наша десятичная арифметика случай­ ная, а иногда даже плохая по сравнению с другими возможными ариф­ метиками, например двоичной, которая вместо десяти цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 — обходится всего двумя: 0 и 1.

Действительно, информация приобретает наиболее удобное для преобразований и хранения, защищенное от помех и высокосодержа­ тельное выражение в двоичной системе. Поэтому полезно рассмот­ реть возможность получения чисел и действий над ними в нормальном, двоичном коде.

Понаблюдайте, как работает кассирша в магазине: она занята тем, что, нажимая кнопки, переводит десятичные цифры платежей в свое­ образное «двоично-десятичное» выражение, так как цифры воплощены

всостоянии клавишей «нажато — не нажато».

Вполной клавиатуре, где на каждый разряд отведено десять кла­

вишей (в пространственном двухмерном коде), число 19 510 выглядит так:

19510 0—00001 ■ 9—01000 8-00000 7-00000 6-00000 • 5—00100 4-00000 3-00000

2-00000

1— 10010

А в одномерной развертке так:

00001010000000000000000000010000000000000000010010.

Один взгляд на клавиши или развертку убеждает, что мы имеем дело с большой избыточностью, введение которой может показаться не­ нужным. Между тем в сочетаниях нулей и единиц выражен только тот неоспоримый факт, что информация содержит сведение о выборе одной из десяти цифр в каждом разряде. Выбранную цифру мы отмечаем еди­ ницей. а остальные, невыбранные, — нулями.

Избыточность такого кода проистекает из обилия запрещенных ком­ бинаций, которые по правилам кодирования являются бессмысленными, не несут никакого содержания. Если в любом вертикальном ряду кла­ вишей будут нажаты сразу две, то создастся неопределенность относи­ тельно того, какая десятичная цифра стоит в данном разряде. В каж­ дом разряде должна быть нажата только одна клавиша, хотя бы кла­ виша нуля, иначе образуется неопределенность.

18’

Для выражения пятизначного числа при избранном способе кодиро­ вания требуется 50 двоичных знаков, дающих 250 вариантов, из них только 99 999 окажутся содержательными, а остальные—запрещенными.

Как повысить содержательность нашего «двоично-десятичного> кода?

Одна десятичная цифра несет 3,3 бита информации, четыре двоич­ ных знака, следовательно, могут передать любую десятичную цифру. И если мы переменим правила кодирования, для пятизначного числа по­ требуется не 50, как раньше, а всего 20 нулей и единиц. На те же 99 999' содержательных вариантов придется 220 вариантов двоичного кода, т. е. все же значительно больше миллиона.

Почему же появляется избыточность теперь? Потому что каждый десятичный разряд описывается четырьмя двоичными знаками, которые могли бы нести 4 бита информации, а несут только 3,3 бита. Из 16 воз­ можных комбинаций используется только 10, а так как нельзя же взять 3,3 знака, то эта избыточность кажется неустранимой.

Все дело в десятке! Откуда он взялся?

Издавна люди пользовались десятью пальцами рук для помощи в- счете. Это привело к тому, что при числе 10 счет задерживался: надо было прибегать к своим ногам или рукам товарища. Так считали, на­ пример, индейцы племени майя. Затем была открыта возможность опе­ рировать с большими величинами, вести счет группами равной величины так же, как единицами. Это было великое открытие, резко повысившее содержательность цифровой информации: вместо

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

можно было написать «24». Чтобы упорядочить построение этих групп, была введена разрядная система счета, в которой некоторое число еди­ ниц составляло группу второго разряда, то же самое число групп вто­ рого разряда — группу третьего и т. д. Но какое же число?

Разные народы выбирали это число (основание системы счета) поразному, часто даже не одно, а несколько: 5, 10, 12, 20, 60. От вавилон­ ского приема считать по 60 у нас остались единицы измерения времени: в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Как пережиток всплывает еще иногда счет по 12 — дюжинами. Но десяток вытеснил все другие осно­ вания, и нашей системой счета стала десятеричная.

Однако считать не обязательно на пальцах, и нет почти никакого смысла в выборе основания 10. Неудобно уже то, что 10 делится только на 2 и 5, тогда как 12, например, делится на 2, 3, 4 и 6.

При большем основании требуется меньше знаков для изображения каждого числа (кроме первых чисел натурального ряда), но больше знаков надо помнить. При меньшем основании требуется помнить и ис­ пользовать мало знаков, но зато запись чисел вырастает.

Есть предположение, что многие народы на ранних стадиях разви­ тия счета пользовались двоичным счетом. Его знали, в частности, ки­ тайцы, египтяне и наши предки — славяне. В древнерусском языке наря-

188