Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5171 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский Ю.А. Интегральные многообразия в нелинейной механике

.pdf
Скачиваний:
30
Добавлен:
27.10.2023
Размер:
22.84 Mб
Скачать
☆

3 4 0 г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Интегрируя в левой части (1.47) no частям и вводя во вто­ ром интеграле в правой части новую переменную интегри­ рования z — х — А, которую снова обозначим через т, имеем

 

t

^ dx =

w(t, t)уt —w(t, g yu - J

t

*9

 

 

 

= e j* 1V (t, i 0) В (et) y x dx +

U

<—д

+ e j W (t, T + A)B1(ex + eA)yxdx +

t> -A

t

+ 8 j W {t, T ) Y (X, gx, xXt *х_д> yx, yx- \, e) dx. (1.48)

to

На основании (1.5) и (1.6) нетрудно убедиться в справед­ ливости соотношения

-dW{^ т) = — eW (/, т) В (ет) — eW (t, х + А) Вг(ет + еА),

и следовательно, равенство (1.48) можно записать в виде

W(t, i)yt — W (t, t0)y,' =

=

e to-j

ДW (t, X - f

A) ßj (ет + eA) yx dx —

 

l

W (t, X +

A) (ex -f eA) dx -j-

 

t

 

 

+

(t, x)Y (x,gx, xXt хх_д, yx, yx_Д, e)dr. (1.49)

 

^0

 

 

Принимая во внимание условия (1.6), имеем

W (t , t) = I ,

W (t, X + A) = 0 для t — Л < X < t.

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я С ОТ К ЛО НЯ ЮЩ И МС Я А РГ УМ ЕНТ ОМ 341

Тогда из равенства (1.49), учитывая начальные условия (1.9), окончательно получаем

y t = W (t, t0) ф2 (t„, е) -f-

+

8

j

W (t, 1 + A) ß 1(ex -)-еД)фа(т, e)dx-\-

 

 

Г

 

gx, xX)

! (1.50)

+

8

[ W (t, x) Y ( T ,

X x- b , yx, tjx_Д, e) dx,

 

 

и

 

 

t£{t0 — A ,t0].

 

 

0,

= ф*(*. 8)

для

Так как при доказательстве существования решения си­

стемы (1.36), и тем самым системы (1.34), мы наложили

на начальные функции условия (3.39), то функция <р2 (t, е) в (1.50) также должна удовлетворять этим условиям.

Выберем теперь е*, р*, сг* так, чтобы при

 

іФА(/, е)|< D ( s ) < p * < р; |Ф2(/, е)|< D (е)<

а*< а;

е < е * < 8 3 < 8

(1.51)

выполнялись неравенства (1.39).

Тогда, как показано выше, всякое решение х, у системы {1.1) с начальными условиями (1.9), (1.10) будет удовлетво­ рять системе (1.34) и начальным условиям (1.35) при Фх =

Фі> Фг == Фг-

(1.51),

при которых существует решение

Но

условия

xt, yt

системы

(1.34),

удовлетворяющее начальным усло­

виям (1.35) (и тем самым системы (1.1), удовлетворяющее начальным условиям (1.9)), эквивалентны условиям, при которых существует многообразие интегральных кривых для системы (1.1) (напомним, что функции / и h в (1.2) удо­

влетворяют

условиям I / (/,

g, е) I < D (е) < р ,

| h (t, g, в) |<

< D (в) С

о, е < е).

у системы (1.1)

(при е С 8*),

Поэтому

все решения х,

лежащие на многообразии St,д, являются также решениями интегро-дифференциальной системы (1.34) (или (1.36)) и, следовательно, для каждого из них можно указать соответ­

ствующие начальные функции

= Ф^, Ф2 =

Ф2, т. е. эти

решения можно представить в виде

 

x = f{t, g, е) = f(t, g,

ФІ, Фг, е),

I

y = h{t,g,B) = h (t, g, Ф*, Ф2, е).

(1.52)

I

342 г л . VII. СИСТЕ МЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Рассмотрим теперь неравенства (1.46), справедливые для решений интегро-дифференциальных систем (1.34) и (1.36). В силу того, что все решения х, у системы (1.36) являются одновременно решениями систем (1.34) и (1.1), мы можем взять в неравенствах (1.46) вместо одного из решений решение (1.52), лежащее на многообразии St,д.

В результате получим:

|/(*. g, Фі, Фа, е) — fit, g, е )|<

 

< у* (г, D) е- “<^°Ул>(Фь ФІ, Ф2, Ф^),

 

(1 .оЗѴ

I h (t, g, Фь Фа, е) — h (t, g,

e)| <

 

 

 

 

 

 

 

Сту^е,

0)е _0‘<^ ' >)ѵ(Л)(Ф1, ФІ, Ф2, Ф2).

 

 

 

Заменяя в (1.53) произвольное фиксированное g на glt

мы можем взять вместо решения f (t, g, Фа,

Ф2, e),

h (t,

g, Фх, Ф2, e) системы

(1.36)

решение xt, yt системы

(1.1)

с начальными функциями Фі, <р2; вместо Ф* и

Ф2 поставим

/ (t,

gt, е) и h (t,

gj,

е). Тогда

получим неравенства

 

 

I xt — f (/,

gt, s)l <

у * (в,

D ) < га('~ '° У д>(Ф і, /,

ф2, ft),

 

 

I yt — h {t, gt, e)| <

T)* («, D) е-«('-'» у А> (фі, ft cp2t h),

 

имеющие место для любых

решений xt, yt системы диффе­

ренциальных

уравнений

с

запаздывающим

 

аргументом

(1.1) и с начальными условиями (1.9). Теорема

доказана.

З а м е ч а н и е

1.1. Теорема 1.1 является обобщением

на

системы

с

запаздыванием

результатов,

полученных

вработах 1131], [200].

За м е ч а н и е 1.2. В аналогичной постановке вопрос

осуществовании и свойствах интегрального многообразия для систем с запаздыванием, в случае, когда в системе

(1.1)

коэффициенты А, Лх, В, Вх — постоянные, рассмот­

рен

в работе [201].

§ 2. Интегральные многообразия нерегулярно-возмущенных

систем с запаздыванием

В настоящем параграфе приведем некоторые результа­ ты, относящиеся к установлению существования и анализу устойчивости интегральных многообразий для одного клас­ са нерегулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнении с запаздывающим аргументом [158].

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ G ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

343

1. Постановка задачи. Рассмотрим систему нерегуляр­ но-возмущенных дифференциальных уравнений с запазды­ ванием следующего вида:

=х, у, г),

=

 

х >*д)y + B{t, x , x A)yA+

g(t, X, ха, у, уа, е),

 

 

 

 

 

 

 

(2. 1)

где X — m-вектор, у — п-вектор,

хА — х (/ — еД),

уА =

— у (t — еД), е 2> 0 — малый параметр.

 

Предположим, что для этой системы выполняются следую­

щие условия.

 

 

 

 

 

1°. Вектор-функции f (t, х, у, е), g (t, х, хА, у, г/д, е)

определены и непрерывны в области

 

 

 

t£R,

X, Ха £

£/і Уд € ^ р»> е €

(2-2)

здесь Q — область в евклидовом

пространстве Rm, UPa —

Ро-окрестность у = 0.

 

 

принадлежат классу

2°. В области (2.2) функции f a g

 

 

 

(М (е) |j,=i,Ä=o;

%(е, р)х,у, хА,уА),

 

где М (е)

0, Я (е, р) -► 0 при е

0, р -»- 0.

 

3°.

Функции А (і, X, Хд), В (t, X, ха) непрерывны, огра­

ничены

в

области (2.2):

 

 

 

 

 

 

\A(t, X, XA)\<L

\B(t, X, *A)|< L !,

(2.3)

кроме того, матрица В (t, х, хд) удовлетворяет условию Липшица

I B(t, x', ха) — B(t, х", xl)|

{\х' — х" | + | хд —хі|}.

 

 

(2.4)

4°. Собственные значения а,

= а t (t, х, хд) (і =

1,2,...)

матрицы А + Вс~еА удовлетворяют условию

 

Re«; С — 2 р < 0 .

(2.5)

2. Теорема о существовании интегрального многообра­ зия. При выполнении указанных выше условий для си­ стемы (2.1) справедлива следующая теорема.

344г л . VII. СИСТЕМЫ С О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я А РГ УМ ЕНТ ОМ

Те о р е м а 2.1. Пусть относительно уравнений (2.1) выполняются условия 1°—4°. Тогда можно указать такие

положительные

р, е

(р •< р0,

е < е0), что для

каждого

О <

е <

е существует п-мерная

вектор-функция

h (t, xt

e),

удовлетворяющая условиям

 

 

 

 

 

 

I h (/, X, e)| <

D (e) < p,

 

 

 

 

 

I h (t, x', e) — h (t, Xй, e)| <

у (e) | x' — x" |,

 

где D (e)

0,

у (e) -> 0 при e

 

0, такая,

что соотноше­

ние

 

 

 

 

X,

е)

 

(2.7)

 

 

 

 

 

У — h ( t ,

 

определяет интегральное многообразие St<e& для

системы

(2.1),

и притом единственное.

Рассмотрим

класс

С (D, у)

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

«-мерных

вектор-функций Н (t,

х, г), определенных для

/ £ R,

X £ Q,

е £ Е8о

и удовлетворяющих

условиям

 

 

 

j Я {t, X, е)| <

D,

 

 

 

 

 

 

 

IН (і,x', е)— Я (t, х", е)| < у | х’ — х" |,

 

где D, у — фиксированные положительные числа. Для не­ которой функции Я (t, X, е) из класса С (D , у) рассмотрим уравнение

—jjf = / (^, X, Я (i, X, е), е)

(2.9)

с начальным условием х (t0) = х 0, х 0 £ £2. В силу предпо­ ложений относительно функций f и Я решение уравнения (2.9) существует и единственно. Обозначим его в виде

xt ==-■X

(z, t0, х0, Я),

где z = t — 10.

(2.10)

Пусть Я,

Я — две функции класса С (D, у). Положим

Xt

X

tß, х0, Я),

Xf — X (z, ^g, XQ, Я).

(2 . 11)

Принимая во внимание условие 2° и неравенство (2.8). имеем

d (xt — xt)

<

Ä.(e, D )IЯ (/, x „ e) — Я (t, x „ e)J +

 

dt

 

 

+ Я(е, Z))(l -fy )|^ t — xt \,

 

 

 

(2. 12)

где обозначено

 

 

IЯ — Я I — sup I Я (/, X, z) — H(t, X, e)j.

(2.13)

 

 

t,X

 

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

345

Решая это дифференциальное неравенство, находим

I Xt — Xt I < I X0 — X0 I eMe,£>)0+v)|z| _|_l ^ .Z? H l(gMe,D)(l+v)lz| _ J )_

7

(2.14)

Рассмотрим систему

 

8 dVdt’ " = A xf Xt-ел)V (*« s) + B (*. xt> */-ед) V{t — еД, s),

 

(2.15),

V {t, S)|KS = 0, Ftf, s)|,=s = / (

(2.15),

где V (i, s) — (n X п)-матрица. Так как функции

А (t , х,

хд) и В (t, X, Хд) удовлетворяют условию 4°, то для матрицы

V (i, s) легко установить справедливость оценки

 

 

I V (t, s)| <; Ке е {‘

S),

i> s ,

(2.16)

где К — положительная постоянная.

 

Н (t,

Рассмотрим теперь преобразование S(tX функций

X, е) класса С (D, у) в функции StiX(Я):

 

о

 

 

 

s t,x ( H ) = 4" I

* + 2)g{*+ 2;

х

(г < х >Н У'

 

Х(г — еД, t, X, Ну, Н [/ + г;

X (г, t, х, Н), е];

 

Я [і -f- г — еД, Х(г — еД,t,x ,H )\ ej}Яг.

(2.17)

В силу условия 2° и неравенств (2.8), а также (2.12) и (2.14),

из соотношения (2.17)

находим

 

I StJC(Я)) <

JL {A4 (е) + 2А, (е, D) D],

(2.18)

\strJ H ) - s t.xAH)I<

 

 

< — [ЯЦе, £>)(1 + у)|х0 — х0| +/СХ(е, D)\H — Я||] х

X (1

 

р [ ------— + Х (е .О )(1 + ѵ )] W

_|_ е в К в ,о к і + ѵ ) А )

—Joo el 8

1 dz. (2.19)

Определим теперь D и у как функции параметра е, таким образом, чтобы D (е) -»-0, у (е) -*■ 0 при е О,

и подберем е С е0 так, чтобы при в ■< е выполнялись

846 ГЛ. VII. СИСТЕ МЫ с отклоняющимся АР ГУМ ЕНТ ОМ

неравенства

D (е) < р < р0,

— - { М (е ) + 2А,(е, D)D) < Д

( 2.20)

Me, £>)(1 + ? ) < - £ - ,

4КХ(е, D)( 1 +e*ME.D)(H-v)|A!)< 1.

Тогда из неравенств (2.18) и (2.19) для е •< г получаем оценки

\St,x(H)\<D(e),

 

(2.21)

і Sü„ (Я) — S6*. (Я )І <

У(e)l *o — x01+

_L 1Я — Я 1.

(2.22)

Из неравенства (2.22), в частности, следует

 

і 5/J0 (я ) — S/.*. (Я )І <

У(е) I

— *о|>

(2.23)

15Мо (77) -

S tlXt(Я)I <

- і - 177 - Я ||.

(2.24)

Неравенства (2.21) и (2.23) показывают, что оператор Sts переводит семейство С (D (е), у (е)) в себя, а неравен­ ство (2.24) обеспечивает единственность решения уравне­ ния

H = StiX(H).

(2.25)

Обозначим это решение h (t, х, е).

Функция h (t, X, е ), как функция класса С (D (е), у (б)), удовлетворяет условиям (2.6), и поэтому для завершения доказательства теоремы 2.1 остается показать, что соотно­ шение (2.7) определяет интегральное многообразие для системы (2.1).

Из соотношений (2.17) и (2.25) имеем тождественно

 

о

 

 

h{t, X, е) =

j V {t, t +

г) g{t + г, X (г, t, х, h)\

 

X(z — еД, t, X, h);

h[t + z, X (z, t, x, h), e];

 

h [t +

г — EA, X (z — sA, t, x, h), ej; e} dz.

(2.26)

Заменим здесь хна X (t — tQ, t0, x, h) и заметим, что, в силу определения оператора X,

X [г,

— 10, t0, X, /г), h] = X (t + z - 10, t0, x, h). (2.27)

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

347

Тогда,

совершая

в

(2.26)

замену переменной

т — г + t

и вводя

обозначения

 

 

 

 

X ( t

—

10, t0, X,

h) =

x „

h [t , X

(t — t 0, t0, X, h),

e] = y „

получаем

 

 

 

 

 

(2.28)

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У, =

j

V(t,

%)g{%, X x,

JCT_ e A , yx, Ут-гА, e)ÜX.

 

 

— o o

 

 

 

 

 

Дифференцируя это тождество no t как по параметру и учи­ тывая соотношения (2.15)х и (2.15)а, получаем

€

= А (t, Хь Xt—zA) yt + В (t, xt, Xt- г А ) Уt - г А +

 

+ g(t, Xt, Xt-гА, yt, Уt-г A, e).

С другой стороны, по определению оператора X, имеем

=

Ч Уь <0-

Таким образом, функции (2.28) являются решением

дифференциально-разностной

системы (2.1), которое при

t = t0 сводится к X, h (t0, X,

в) (при t £ lt0 — еД, f0] y t =

= h (t, X(, e) ]. Этим завершается доказательство теоремы. С л е д с т в и е 2.1. На интегральном многообразии

■Sf.eA. определяемом

соотношением

(2.7),

переменная х

удовлетворяет системе

 

 

Ау

8), е),

(2.29)

—

= f ( t , X, h(t, X,

и поэтому исследование решений нерегулярно-возмущенной системы (т + п) дифференциальных уравнений с запаздыва­ ющим аргументом (2.1) на интегральном многообразии St,aд сводится к исследованию решений системы т обыкновенных дифференциальных уравнений (2.29), которая регулярно зависит от малого параметра е , и кроме того, не содержит запаздывающего аргумента.

3. Теоргма об устойчивости интегрального многообра­ зия. Перейдем к исследованию устойчивости интегрального многообразия 5<,Ед.

Обозначим через С;0_еДЛ класс непрерывных на сегмен­ те U0 — еД, f0] функций Ф (t) и введем для них норму

«ф Г = sup ІФ (01-

A . U ]

348 г л . VII. С ИС ТЕ МЫ С

О Т К Л О Н Я Ю Щ И М С Я АР ГУ МЕ НТ О М

Свойство устойчивости

интегрального многообразия S/.eA

для нерегулярно-возмущенной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом характеризуется следующей теоремой.

Т е о р е м а 2.2. Пусть относительно системы (2.1) выполняются условия 1°—4°, приведенные на стр. 343. Тогда можно указать такие положительные р*, е* (р*<р,

е* < е), что для 0 < е ■< е* интегральное многообразие Si,s& устойчиво в том смысле, что любое решение (xt, yt) системы (2.1), удовлетворяющее начальным условиям

x t ,

= *о. Ut = Ф(0

для

* €1*0— еД, g,

 

if) £ £ f » —е Д Д , , Iфif

*

(2.30)

Ф

Р * D (е)>

с течением времени будет притягиваться к многообразию Si,ед по закону

1у, — h (t, X, е)1 <

К* (е, D) е-*Г

Iф(0 — h(t, х(>г 1[<Д)

 

 

 

(2.31)

еде K*(R,D)-+K

+ -^-(1

— еиЛ)

при г 0, D -* 0.

 

а 4

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим систему интегро-

дифференциальных уравнений с запаздывающим аргумен­

том вида

 

 

 

 

HY

 

X, у, е),

t > t 0

при (X = х0, t = g , (2.32)

-#■ =

/(*,

у = ѵ(/, д ф ( д

+

 

 

Н—~ ]

V (t,

t г

F A ) ß (^ + г -f- £А, хг+ЕД, хг) Ф (/ -f-

/в— f — еД 0

 

 

 

+ г) dz + -і-

j

V (/, f +

г) g (t +

г, хг, хг_ £Д, yt+z-eд, e) d2 ,

 

 

 

( > ( ,,

(2.33>

где F (/, s) определяется из системы (2.15Д, Ф (t) — произ­ вольная функция класса Ct0—eA,t„. Докажем, что если

норма IФ !(Д) достаточно мала, то эта система имеет един­ ственное решение, определяемое функцией Ф (t).

Будем строить это решение методом последовательных приближений. Возьмем произвольную непрерывную

 

 

§ 2. МНОГООБРАЗИЯ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

349

функцию ho (t, X, е), определенную для

t >

t0, х

£ Q, е £ Е-

и удовлетворяющую условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

h*o(t,

X, е) =

0

при

f < /„,

 

 

 

 

 

 

 

 

X,

е)| +

/С IФ (г'о)І -С

 

(е) < р,

 

 

(2.34>

 

 

I hl{t, x',

е) —hl (/, х", е)| <

у| х' — х"\,

 

 

где постоянные К, D, р, у имеют прежние значения.

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уоs К У, х>ф . е) = ho(Л X, е) +

V ((, /0)Ф (t0),

(2.35)

 

 

 

= f (t, xhtk, hk, e), t >

t 0

(k =

0, 1 .. .),

(2.36)

 

 

 

 

 

H,

=

 

при

t = 70,

 

 

 

 

 

 

 

X t

X 0

 

 

 

y = hk{t,x,(S,z)

= V (t,t0)<S>(t0) +

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0-— t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

 

+

-jj-

/„—f-еД

V{t, t

z

eIS) В (t

z

еД, л:2+ед) Ф (^ +

+

 

?

V (t, t +

г) g [t -f- z;

 

 

ед, hk—i

I

dz + —- i

 

 

+

 

 

 

to-*

 

 

 

 

 

 

Ф, e), E]

 

 

+

2 ,

 

 

/ife_i (/ + z — еД,

 

dz

 

 

 

\ Ф, e), (k=

1,2,

...), *>/„•

(2.37)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

соотношения

(2.35),

учитывая

неравенства

(2.16)

и (2.34), получаем

неравенства

 

 

 

 

 

 

 

 

h 0 (t, X,

Ф, e)|<D (e),

 

 

 

 

 

 

 

 

IIК (*. X - ф - е)

—

К {t, X, Ф, е)| <

 

 

(2.38)

 

 

< v |

i —

 

 

ОЬ

 

 

Ф| (4), .

 

справедливые при е -< е,

t > t 0.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим уравнения (2.36) при к = 0. В силу нера­

венств

(2.38)

и

предположений

 

относительно

функции

/,

решение этого уравнения существует

и единственно.
Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности