книги из ГПНТБ / Егоров Н.И. Физическая океанография

скоростей и пульсаций, примут вид:

p, — коэффициент молекулярной вязкости.

Уравнение Рейнольдса отличается от уравнений Навье—Стокса

дополнительными членами вида —pu'v' — турбулентные напряже­ ния, обусловленные пульсационными скоростями, которые обра­ зуют симметричный тензор второго ранга, называемый тензором напряжений. Турбулентные напряжения принято обозначать:

Система четырех уравнений содержит десять неизвестных ве­ личин: давление, компоненты осредненной скорости и шесть тур­ булентных напряжений. Для решения системы необходимо либо знать характеристики турбулентных напряжений, либо каким-то образом связать их с характеристиками осредненного движения. Такие связи устанавливаются в так называемых полуэмпирпческих теориях турбулентности. Непосредственные исследования самих пульсационных составляющих скорости осуществляются в стати­ стической и спектральной теориях турбулентности.

Полуэмпирические теории турбулентности. Первым шагом в установлении связей между турбулентными напряжениями и ха­

100

жениями и напряжениями, обусловленными молекулярной вяз­ костью, которые выражаются соотношением

где А — некоторый условный (виртуальный) коэффициент турбу­ лентной вязкости, обусловленный не движением (переносом) от­ дельных молекул, а переносом количества движений путем тур­ булентных движений конечных объемов жидкости.

Существенным различием коэффициента турбулентности А от молекулярного р является зависимость его от самих характери­ стик движения. Кроме того, коэффициент А существенным обра­ зом зависит от тина и масштаба осреднения. Для морской турбу­ лентности вопрос о периоде осреднения, как пространственном, так и временном, имеет существенное значение. По наблюдениям, ко­ эффициенты вертикальной турбулентной вязкости колеблются в пределах от 10-1 до 104 см/с2, а коэффициенты горизонтальной турбулентной вязкости превосходят их в 103—108 раз. Так как ко­ эффициент А не физическая константа, а зависит, в свою очередь, от осредненной скорости, были предприняты попытки установить связь коэффициента турбулентной вязкости с осредненной скоро­ стью. Более или менее успешной оказалась попытка Прандтля (1925). Он выдвинул гипотезу о переносе количества движения от­ дельными молями жидкости в направлении, перпендикулярном осредненному потоку (по оси Z) на некоторое расстояние 1и на­ званное им путем смешения. Это расстояние, проходимое молями (объемами) воды без изменения средней скорости до их столк­ новения.

Разность осредненных скоростей на расстоянии h может быть

приближенно представлена в виде /1 - ^ —. Эту разность Прандтль

принимает пропорциональной турбулентным пульсациям, т. е.:

du и' h Ж ’

/du

vh -д— • dz

Тогда для турбулентного напряжения рu'v'

о

| « V |= / 2

du dz

101

где

P = ~ i i T 2.

р

знак, запишем формулу в таком виде:

Сравнивая с формулой Буссинеска, получим

А = 12

Путь смешения / — малоопределимая и трудноизмеримая ве­ личина. Однако в отличие от А он не зависит от средней скорости, а является только функцией положения рассматриваемой точки. Величину / оказывается возможным выразить во многих задачах через характерные величины с размерностью длины. Так, напри­ мер, в задачах о турбулентном течении вблизи твердой стенки I можно принять пропорциональной расстоянию до границ потока.

В морской турбулентности теория Прандтля находит примене­ ние при решении задач, имеющих в качестве определяющих пара­ метров величины с размерностью длины, как это имеет место, на­ пример, в задаче о турбулентном перемешивании в ветровых вол­

где х2 = 0,38—постоянная Кармана. Отсюда

Формула Кармана может быть использована только для верти­ кальной турбулентности, когда имеют место резкие изменения ско­ рости по вертикали (срезывающий поток).

Статистическая теория турбулентности. В статистической теории турбулентности оановное внимание уделяется изучению составляю­

102

щих пульсационной скорости течения и', v', w'. Эти составляю­ щие рассматриваются как случайные величины, для которых и оп­ ределяются основные статистические характеристики.

Так как средние значения и' = v' =w' = 0, то по принятому ус­ ловию в качестве меры амплитуды пульсационных скоростей при­ нимаются корни квадратные из средних значений квадратов пуль­

сационных составляющих У (и')2; ]/ (и')2; У (w')2.

1. Если эти величины разделить па среднюю скорость потока U то получим первую статистическую характеристику турбулентно­ сти, называемую и н т е н с и в н о с т ь ю турбулентности (продоль­ ную, поперечную и вертикальную):

2. Среднее от произведения двух пульсационных скоростей, во обще говоря, отлично от нуля и характеризует некоторым образом связь между данными компонентами скорости в рассматриваемой точке потока. Всего можно составить девять различных комбина­ ций средних произведений компонент скорости, которые образуют симметричный тензор второго ранга, называемый т е н з о р о м м о м е н т о в к о р р е л я ц и и :

и который отличается от тензора турбулентности Рейнольдса лишь постоянным множителем р.

В качестве меры статистической связи между пульсирующими величинами (например, и', v') используется обычно не момент корреляции, а коэффициент корреляции, определяемый из соот­ ношения

U V

R-

Y u , 2 - V v ' 2

Коэффициент корреляции является основной количественной ме­ рой статистической связи между исследуемыми пульсирующими ве­ личинами. Если отсутствует линейная статистическая связь, то, как известно, R = 0, а при линейной функциональной связи R = 1 (по модулю).

3. Кроме корреляции между различными пульсационными ско­ ростями, измеряемыми в одной точке, большой интерес представ­ ляет корреляция между пульсационными скоростями в двух раз­ личных точках потока Mi и Мг, разделенных некоторым расстоя­ нием г. Можно составить девять различных произведений из

103

пульсационных скоростей, образующих в общем случае несиммет­ ричный тензор, называемый тензором моментов связи второго по­ рядка:

средних квадратических отклонений соответствующих пульсаци­ онных скоростей, получим девять коэффициентов корреляции, ко­ торые в данном случае будут зависеть от расстояния между точ­ ками М1 и М2.

Выберем точки Mi и М2 на оси X, тогда для пульсационной скорости и' в точках Mi и М2, находящихся на расстояниях х друг от друга, получим коэффициент корреляции

UIU2

V ?Кг

Очевидно, что если х = 0 (точки Mi и М2 совпадают), то

Ru=l, а при x-voo

Если проинтегрировать теперь функцию Ru(x) от 0 до оо, то по­ лучим еще одну основную статистическую характеристику турбу­ лентности с размерностью длины — продольный масштаб турбу­

лентности

ОО

Lx = \ R u{x)dx.

о

Расположив точки Mi и М2 по оси Y, получим поперечный масштаб турбулентности

ОО

1 у= 5 Я п(У)dy-

о

Кроме рассмотренных коэффициентов корреляции большое значе­ ние имеет корреляция между одной и той же компонентой пульса­ ционной скорости, измеренной в одной точке, но в различные мо­ менты времени, т. е.

Q ( / ) = _____U> U' (^0~М)______

V W W V W W + W '

Этот коэффициент корреляции суть функция времени и называ­ ется коэффициентом автокорреляции. Интегрирование Ru (t)

104

(а также R v(t) или Rw(t)) по времени от нуля до бесконечности дает масштаб с размерностью времени — временной масштаб тур­ булентности.

Если за и ' (t0) и u'(t0 + t) принять значения скорости одной и той же частицы в моменты to и to + t, то получим коэффициент кор­ реляции в форме Лагранжа, имеющий существенное значение при исследовании турбулентной диффузии.

Спектральная теория турбулентности. В спектральной теории турбулентности основной характеристикой турбулентности явля­ ется спектр турбулентности. В данном случае мгновенная скорость u(t) в турбулентном потоке рассматривается как результат нало­ жения большого числа простых синусоидальных колебаний с раз­ личными частотами и определенными амплитудами. Основной ве­ личиной, характеризующей разложение функции u(t), служит спектральная функция F(n), которая определяется следующим равенством:

u’2(t, п, n-\-dn)

F(n)u

и'2 (t)

где u'2(t, n, ti + dri) — средний квадрат доли величины u'2(t), соот­

ветствующий интервалу частот от п до n + dn\ u'2(t) — осредненная составляющая всех частот. Следовательно, F (п) dn определяет часть кинетической энергии пульсаций с частотами от п до n + dn от общей осреднепной энергии пульсационного движения.

Спектральная функция удовлетворяет очевидному условию

со

J F(n)dn = 1.

6

Спектральную функцию F(n) можно связать с рассмотренными выше коэффициентами корреляции (по Тейлору) следующими фор­ мулами:

СО

F ( n)u= 4 I" R u (0 cos 2r.ntdt,

о

где Ru(t) —коэффициент автокорреляции, или автокорреляцион­ ная функция, или

F («)ц= -4 - f R u (х) cos 2т-п -й- dx,

и о и

где Ru(x) — коэффициент продольной корреляции.

В свою очередь, спектральную функцию можно выразить через коэффициенты корреляции Ru(t) и Ru(x), так как они являются

105

парами преобразования Фурье:

со

R u (r)= [ F (я)„ cos 2r.iit dn, 6

Приведенные основные статистические характеристики турбу­ лентности дают достаточно полную статистическую картину потока. Однако определение (измерение) этих характеристик в море свя­ зано с большими трудностями. Для измерения вертикальной тур­ булентности, характеризующейся малыми пространственными и временными масштабами, необходимы малоинерционные и высоко­ точные приборы.

Некоторые успехи в этом направлении достигнуты на кафедре физики вод моря и суши МГУ, где был создан малоинерционный прибор-турбулиметр под руководством А. Г. Колесникова; с по­ мощью этого прибора проведен ряд наблюдений в Атлантическом и Индийском океанах и на Черном море. В результате обработки записей получены интересные данные об интенсивности турбулент­ ности, вертикальном коэффициенте турбулентного обмена и неко­ торых других статистических характеристиках турбулентности в поверхностном слое моря.

Однако полученных данных пока слишком мало для более или менее подробного анализа статистических характеристик турбу­ лентности.

Для горизонтальной турбулентности, имеющей значительные временные и пространственные масштабы, требования к инерцион­ ности и точности приборов значительно ниже. Современные букво­ печатающие вертушки БПВ, дающие осредненные значения ско­ рости за 2—3 минуты, могут быть использованы для изучения статистических характеристик горизонтальной турбулентности. В на­ стоящее время по наблюдениям на буйковых станциях получены корреляционные и спектральные функции для составляющих го­ ризонтальной скорости, оценены масштабы турбулентности, опре­ делены значения горизонтальных градиентов турбулентности.

Тем не менее полученные данные весьма ограниченны. На их основе пока нельзя дать какие-либо теоретические предсказания о функциональном виде и изменчивости во времени и простран­ стве приведенных статистических характеристик турбулентности. Однако, несмотря на отсутствие общей теории, дающей ответ на указанные вопросы, в настоящее время существуют теории упро­ щенных (идеализированных) схем турбулентности — изотропной и локально-изотропной. Рассмотрим сущность этих теорий.

Изотропная и локально-изотропная турбулентности. Турбулент­ ность называется однородной, если ее осредненные статистические характеристики в какой-либо точке потока не зависят от положе­ ния этой точки в пространстве, а двухточечные характеристики

106

(например, моменты связи) определяются только взаимным рас­ положением точек Mi и М2. Однородная турбулентность изотропна, если ее двухточечные характеристики не зависят также и от ори­ ентации отрезка MiM2 в пространстве.

Очевидно, что для однородной турбулентности тензор моментов связи будет симметричным. Для изотропной турбулентности, кроме того, все недиагональные компоненты тензора моментов связи дол­ жны обращаться в нуль, а из диагональных характеристик при выборе одной из осей вдоль отрезка М\М2 (например, оси ОХ)

парные компоненты будут равны между собой (u'v'=w'w').

При малых расстояниях г между точками Mi и М2 можно по­ лучить уравнение для моментов связи

Решение указанного дифференциального уравнения имеет вид

При г= 0 и'и' = и'2 и из приведенного уравнения получаем закон затухания интенсивности турбулентности со временем

const

ЫУ12

Естественно, что, рассматривая Мировой океан или отдельные океаны, нельзя применить постулат об изотропной турбулентности. Однако если рассматривать отдельные районы океанов, то к ним могут быть применены закономерности изотропной турбулентно­ сти. Для учета этого ограничения вводится понятие локально-изо­ тропной турбулентности.

Турбулентный поток можно рассматривать (по Колмогорову) как наложение большого числа разномасштабных «вихрей», наи­ более крупные из которых образуются в результате неустойчиво­ сти осредненного потока, а размеры наименьших определяются действием сил вязкости. Крупномасштабные вихри, следовательно, получают энергию от осредненного движения и передают ее без существенных потерь более мелким вихрям, и так вплоть до самых мелких «вихорьков», рассеивающих энергию в тепло благодаря вязкости. Ввиду хаотичности механизма дробления вихрей есте­ ственно предположить, что, начиная с некоторого масштаба L, вихри теряют свойства преобладающей ориентации, и их, начиная с этого масштаба, можно считать изотропными.

Интервал локальной изотропии можно разделить в свою оче­

пируется в тепло. В инерционном подынтервале все статистические

107

характеристики турбулентности могут зависеть только от величины потока энергии по каскаду вихрей е, который равен скорости дис­ сипации турбулентной энергии, а также от условий задачи и пара­ метров, ее определяющих. В вязкостном подынтервале кроме ука­ занных параметров необходимо учитывать кинематическую вяз-

u

кость жидкости V= ---.

р

Исходя из указанных положений, оказывается возможным опре­ делить такую статистическую характеристику, как масштаб тур­ булентности вязкостного подынтервала А, который разграничивает инерционный и вязкостный подынтервалы. Он оказывается равным

турбулентности уделяется инерционному подынтервалу. Верхняя граница этого интервала определяется опытным путем.

В этой теории оказалось удобнее пользоваться в качестве ос­

связи. Однако их применение удобно тем, что при больших рас­ стояниях между точками Мi и М2 разность скоростей будет опре­ деляться преимущественно большими вихрями. При малых рас­ стояниях между точками М\ и М2 крупные вихри будут переносить эти точки как одно целое, а разность скоростей будет определяться только малыми вихрями, которые можно считать изотропными.

Для рассмотренных структурных функций можно получить де­ вять величин типа £>д(, которые образуют тензор второго ранга.

Если теперь положить, что расстояние между точками не пре­ вышает верхней границы инерционного подынтервала £, то, следо­ вательно, тензор характеризует изотропную турбулентность, для которой по аналогии с моментами связи вместо девяти компонент Dju остается только три, из которых две равны между собой.

Принимая Ui = и, v2 = v, w3 = w, для остающихся компонент тен­ зора можно записать:

Du=[u(M2) - u ( M i ) f ,

D22= \v(M 2) ~ v ( M l)f,

£>зз= [w (M2) — w (Afi)]2.

108

Компонент тензора D33 будет равен Du, если отрезок М\М2 на­ правлен по оси X, и D22, если отрезок взят по оси Y. Для структур­ ных функций Dn и D22 оказалось возможным найти аналитические выражения, имеющие вид

Du = Ci (е/-)2К D22 = c2(ег)г/з,

где Ci и с2 — некоторые постоянные, г — масштаб турбулентности. Эти формулы выражают известный «закон двух третей». А. Н. Кол­ могоровым получено соотношение между структурными функци­ ями Du и D22

D22 = 4 Du*

Для инерционного подынтервала локально-изотропной турбулент­ ности оказалось возможным получить аналитическое выражение и для спектральной функции

F ( k ) = С .182/зЙ_Г/з,

называемое «законом 5/з», где сз — безразмерная константа, k =

для среднемасштабных движений и 10~5 для океанских движений. Для того же интервала локально-изотропной турбулентности получено также аналитическое выражение для коэффициента тур­

булентности

A = c4e'V 4

где с4 — постоянная, г — масштаб турбулентности.

Формула представляет известный «закон 4/з» Ричардсона—Обу­ хова. Она получила широкую экспериментальную проверку. Для горизонтальной турбулентности в море «закон 4/з» подтвердился для масштабов от нескольких десятков сантиментов до несколь­ ких километров, что дает возможность считать справедливым вы­ воды локально-изотропной турбулентности для значительных по масштабу турбулентных движений.

§ 13. Некоторые особенности морской турбулентности

Турбулентность в верхнем слое моря. Интенсивные турбулент­ ные движения в верхнем слое океана приводят к перемешиванию приповерхностных вод и формированию верхнего однородного слоя, на нижней границе которого образуется слой скачка плотности, температуры (термоклин) и солености (галоклин).

Турбулентные движения в верхнем слое океана черпают свою энергию главным образом из энергии ветровых волн и дрейфовых течений и тратят ее на работу против архимедовых сил.

Перемешивание, связанное с турбулентностью такого происхож­ дения, называют ветровым перемешиванием.

109